قانون مساحة الدائرة ومحيطها

بواسطة: - آخر تحديث: ١٣:٥٢ ، ١٢ أبريل ٢٠١٦
قانون مساحة الدائرة ومحيطها

الدائرة

هي مجموعة نقاطٍ كثيرةٍ تدور حول نقطةٍ ثابتةٍ تسمّى مركزاً، وتبعد عنها بعداً ثابتاً، والمسافة بين أيّ نقطة من هذه النقاط والمركز تعرف بنصف القطر، ووتر الدائرة هو المسافة بين أيّ نقطتين على محيط الدائرة. وهناك حالةٌ خاصّةٌ من الوتر، هي القطر وهو القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتين على محيط الدائرة مارّة بالمركز.


مساحة الدائرة

لقد جاءت كلمة مساحة من الفعل مسح ويعني تمرير شيءٍ على شيءٍ آخر، ومساحة الدائرة تعني تغطية كلّ النقاط التي هي داخل الدائرة. مساحة الدائرة = نق2×ط

حيث نق هي نصف القطر، وط عبارة عن ثابت يساوي 3.14 أو 22/7

مثال: دائرة نصف قطرها 5سم، احسب مساحتها. الحل: مساحة الدائرة= نقsup>2</sup>×ط

= 25×3.14 
= 78.5سمsup>2</sup>

ملحوظة: (مساحة الدائرة تقاس بوحدةٍ مربعةٍ مثل سمsup>2</sup>،مsup>2</sup>،دسمsup>2</sup> وهكذا)


محيط الدائرة

هو طول الخط المنحني الذي يضمّ كلّ النقاط التي شكلت الدائرة. وهذا ما اكتشفه العالم غياث الدين الكاشي، مع مجموعة علماءٍ آخرين، حيث قاموا بفك دائرةٍ مصنوعةٍ من حبل، وقاموا بقياس طول الحبل، ليجدوا أنّه هو محيط الدائرة، وعند تكرار العملية على أكثر من دائرة لوحظ أنّ النسبة بين محيط الدائرة (طول الحبل المفكوك) على القطر ثابتة.


قانون محيط الدائرة: محيط الدائرة= 2نق×ط

مثال:

دائرة نصف قطرها 7م، احسب محيطها.


الحل:

محيط الدائرة = 2نق×ط

= 2×7×3.14 
= 43.96م


أمثلة متنوّعة على مساحة الدائرة ومحيطها

مثال1:

باب بيت تلتصق به نافذةٌ من الأعلى على شكل نصف دائرة، إذا كانت أبعاد الباب هي 1.8م و0.7 م، احسب مساحة الباب والنافذة معاً.


الحلّ:

مساحة الباب= الطول × العرض

= 1.8 × 0.7
= 1.26مsup>2</sup>

مساحة نصف الدائرة= 1/2 × نقsup>2</sup> ×ط

= 1/2 ×(0.7/2)sup>2</sup> × 3.14
= 0.192325 مsup>2</sup>
مساحة الباب والنافذة معاً = مساحة الباب+مساحة النافذة
= 1.26 + 0.192325
= 1.452325مsup>2</sup>


مثال 2: ما مساحة المنطقة المحصورة بين دائرة نصف قطرها 10 سم، ودائرة نصف قطرها 7سم.


الحل: مساحة الدائرة الكبرى = نقsup>2</sup> ×ط

= 10sup>2</sup>×3.14
= 314سمsup>2</sup>
مساحة الدائرة الصغرى = نقsup>2</sup> ×ط
= 7sup>2</sup> ×3.14
= 153.86سمsup>2</sup> 

المساحة المحصورة = (مساحة الدائرة الكبرى - مساحة الدائرة الصغرى)

= 314 - 153.86
= 160.14سمsup>2</sup>


مثال3:

دائرة نصف قطرها 50 سم، قطع منها جزء بزاوية 120 درجة، احسب محيط ومساحة الشكل المتبقي.


الحل:

1-مساحة الدائرة = نقsup>2</sup>×ط

= 50sup>2</sup>×3.14
= 7850 سمsup>2</sup>
مساحة الجزء المتبقي = 2/3 × مساحة الدائرة
= 5233.33 سمsup>2</sup>

2- محيط الدائرة = 2نق ×ط

= 2×50×3.14
= 314 سم

محيط الجزء المتبقّي= (2/3×محيط الدائرة) + (2×نق)

= 209.33+100
= 309.33سم

ملاحظة: ( الجزء الذي زاويته 120 يشكّل ثلث الدائرة والجزء المتبقّي يشكل ثلثي الدائرة)