قانون مساحة القطاع الدائري

بواسطة: - آخر تحديث: ٠٥:٠٠ ، ٤ أغسطس ٢٠١٦
قانون مساحة القطاع الدائري

القطاع الدائري

القطاع الدائري هو قسمٌ من الدائرة محدودٌ بثلاثة حدود؛ نصفي قطر وقوس، وتسمّى الزاوية المحصورة بين نصفي القطر بزاوية القطاع أو الزاوية المركزية، ولها طرقٌ خاصةٌ في الحساب، فالقطاع الدائري الذي زاويته 180 درجة هو عبارة عن نصف الدائرة، والقطاع الذي زاويته 90 درجةٍ ما هو إلا ربع دائرةٍ، وللقطاع الدائري قانونا مساحة ومحيط؛ لأنّه شكلٌ ثنائي الأبعاد لذلك فليس له حجم، وفيما يلي نفصّل هذه القوانين مع ذكر بعض الأمثلة التوضيحيّة.


مساحة القطاع الدائري

تعتمد مساحة القطاع الدائري في أي دائرةٍ على الزاوية المركزية لهذا القطاع، وقانون مساحة القطاع عبارةٌ عن مساحة الدائرة (وهي مربع نصف القطر مضروباً في ط) مضروباً في نسبة الزاوية المركزية للقطاع (هـ) إلى زاوية الدائرة الكلية 360، ورياضياً يعبّر عنه كما يلي:

مساحة القطاع الدائري=مساحة الدائرة×(هـ/360).
مساحة القطاع الدائري=نق²×ط×(هـ/360).

أمثلة توضيحية:

  • مثال1: دائرةٌ طول نصف قطرها يساوي 5 سم، وفيها قطاعٌ دائريٌ بزاوية مركزية تساوي 64 درجة، فما هي مساحة هذا القطاع.

الحل:

مساحة القطاع الدائري=نق²×ط×(هـ/360).
مساحة القطاع=5²×3.14×(64/360).
مساحة القطاع= 25×3.14×0.1777
=13.949سم².
  • مثال2: قطاعٌ دائريٌ مساحته 17.258م²، إذا كان نصف قطر الدائرة التي فيها القطاع هو7سم، فما هي الزاوية المركزية لهذا القطاع.

الحل:

مساحة القطاع الدائري=نق²×ط×(هـ/360).
17.258=7²×3.14×(هـ/360).
17.258=153.86×(هـ/360).
هـ/360=17.258/153.86
هـ/360=0.112
هـ=0.112×360
هـ=40.38 درجة.


محيط القطاع الدائري

محيط القطاع الدائري ما هو إلا طول القوس مجموعاً إلى نصفي القطر، وطول القوس هو عبارةٌ عن محيط الدائرة مضروباً في نسبة الزاوية المركزية إلى 360، ورياضياً:

محيط القطاع الدائري=طول القوس+2نق.
طول القوس=(هـ/360)×محيط الدائرة.
طول القوس=(هـ×360)×2×نق×ط.


أمثلة توضيحية:

  • مثال1: دائرة اقتطع منها قطاعٌ بزاوية 98 درجة، وفيها نصف القطر يساوي 25 سم، فما هو طول قوس القطاع، وما هو محيط القطاع الدائري.

الحل:

طول القوس=(هـ/360)×محيط الدائرة.
طول القوس=(هـ×360)×2×نق×ط.
طول القوس=(98/360)×2×25×3.14.
طول القوس=0.272×50×3.14
طول القوس=42.73 سم.
محيط القطاع=طول القوس+2نق.
محيط القطاع=42.73+(2×25).
محيط القطاع=42.73+50.
محيط القطاع=92.73 سم.


  • مثال2: إذا اشترى أحمد بيتزا على شكل دائرةٍ مساحتها 706.5 سم²، فإذا أراد أن يطعم ستة أشخاص بالتساوي، فما هي مساحة القطعة الذي يأخذها الشخص الواحد.

الحل:

نجد طول نصف القطر من مساحة الدائرة:
مساحة الدائرة=نق²×ط.
706.5=نق²×3.14.
نق²=706.5/3.14.
نق²=225.
نق=15 سم.
    • نجد مساحة القطعة والتي ستكون على شكل قطاعٍ دائريٍ، ولكن قبل المساحة لا بد من معرفة زاوية القطاع، وهي كالتالي:
زاوية القطاع الواحد=360/عدد القطاعات.
زاوية القطاع=360/6.
زاوية القطاع=60 درجة.
مساحة القطاع الدائري=نق²×ط×(هـ/360).
مساحة القطاع=15²×3.14×(60/360).
مساحة القطاع=225×3.14×0.166.
مساحة القطاع=117.27 سم².
حصة الشخص الواحد من البيتزا تكون 117.27 سم² بيتزا.