قانون مساحة المخروط

بواسطة: - آخر تحديث: ٠٦:٠٨ ، ٢١ يناير ٢٠١٨
قانون مساحة المخروط

تعريف المخروط

المخروط (بالإنجليزيةCone) هو عبارة عن مجسم له قاعدة واحدة مسطحة على شكل دائرة، وله جانب واحد فقط ويكون مُنحنِيَ الشكل، وهذا الجانب عبارة عن مثلّث قائم الزاوية يلتف حول أحد ضلعيه الأقصر من الوتر، أما النقطة المدببة التي تقع أعلى المخروط فتُسمّى رأس المخروط.[١]


حساب مساحة المخروط

لا بد من التذكير أولاً بأن المخروط القائم متشكل من قطاع دائري، وأن مساحة القطاع الدائري تمثل المساحة الجانبية للمخروط القائم، أما قاعدة المخروط فهي عبارة عن دائرة، ولحساب المساحة الكلية للمخروط القائم لابُد من حساب المساحة الجانبية بالإضافة إلى مساحة القاعدة.[٢]

وبهذا فإن:[٢]

المساحة الكلية للمخروط القائم =(مساحة الجانبية+ مساحة القاعدة).
المساحة الكلية للمخروط القائم =(مساحة القطاع الدائري+ مساحة القاعدة).
المساحة الكلية للمخروط القائم =(π×نق× ل+ π ×نق²).
علماً بأن:
ل: طول راسم المخروط
نق: نصف قطر قاعدة المخروط.

كما يمكن استخدام القانون الآتي لحساب المساحة الجانبية للمخروط القائم وهي:[٢]

قانون مساحة القطاع الدائري= (زاوية القطاع الدائري المركزية/360درجة)×مساحة الدائرة.
علماً بأن الزاوية المركزية للقطاع الدائري=180درجة.


فيما يأتي أمثلة توضح كيفية حساب مساحة سطح المخروط القائم:

  • مثال1: ورقة على شكل نصف دائرة، قطرها يساوي6.28 سم، فإذا علمت أنه تم تحويلها لمخروط قائم أجوف، احسب المساحة الجانبية لهذا المخروط؟[٢]
الحل:
المساحة الجانبية للمخروط القائم= مساحة القطاع الدائري.
المساحة الجانبية للمخروط القائم=(درجة180/360)×π×نق².
المساحة الجانبية للمخروط القائم= 1/2×π×نق².
المساحة الجانبية للمخروط القائم= 2/πنق².
بما أن نق=القطر/2، بالتالي فإن نق=3.14، وبتعويض نق بالقانون.
ينتج أن:
المساحة الجانبية للمخروط القائم= 2/(π ×3.14×3.14)
المساحة الجانبية للمخروط القائم=π4.9298سم²، (الجواب بدلالة π).


  • مثال2: إناء على شكل مخروط دائري قائم، نصف قطر قاعدته تساوي 15سم، وطول راسمه يساوي 30سم، فإذا علمت أنه يراد تغطيته بورق تغليف احسب مساحة ورق التغليف اللزم لتغطتية الإناء.[٢]
الحل:
المساحة الكلية للمخروط القائم= المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
المساحة الكلية للمخروط القائم =(π×نق× ل+ π ×نق²).
المساحة الكلية للمخروط القائم =(π(²15)+ π 30×15).
المساحة الكلية للمخروط القائم =(π225+ π 450).
المساحة الكلية للمخروط القائم =675 π، (الجواب بدلالة باي).


  • مثال3:جد المساحة الكلية لمُجسم يمثل مخروط قائم، إذا علمت أن نصف قطر قاعدته يساوي7م، أما ارتفاعه فيساوي 24 م؟[٢]
الحل:
المساحة الكلية للمخروط القائم= المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
المساحة الكلية للمخروط القائم =(π×نق× ل+ π ×نق²).
يُعوض نق، والارتفاع بالقانون، فينتج أن:
المساحة الكلية للمخروط القائم=(π×7× ل+ π ×7²).
المساحة الكلية للمخروط القائم=(π×7× ل+ π ×49).
ولإيجاد ل، نطبق نظرية فيثاغورس.
  • (ل)² = (نق)²+ (ع)²
  • (ل)² = (7)²+ (24)²
  • (ل)² = 625
  • وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، ينتج أن:
  • طول الراسم=25سم.
وبتطبيق قيمة الراسم بالقانون:
المساحة الكلية للمخروط القائم=(π×49+ π ×25×7).
المساحة الكلية للمخروط القائم=(π49+ π 175).
المساحة الكلية للمخروط القائم=π 224 م²،(الجواب بدلالةπ).
وبتعويض قيمة π فإنّ المساحة الكلية للمخروط القائم=703.36م².


حساب حجم المخروط

لو تمّ إحضار أسطوانة ومخروط لهما نفس القاعدة والارتفاع، وطُلب تعبئة الأسطوانة بالرمل باستخدام المخروط، فسنلاحظ بأن الأسطوانة ستمتلئ بالرمل بعد تعبئة المخروط ثلاثة مرات بالرمل وسكبه بالأسطوانة، ومن هنا تستنتج بأن حجم الأسطوانة يساوي ثلاثة أمثال حجم المخروط المشترك معها بنفس الارتفاع والقاعدة.[٢]

وبناءاً عليه فإن:
قانون حجم المخروط= 1/3 حجم الأسطوانة المتساوية معه بنفس الارتفاع والقاعدة.
إذن: حجم المخروط= 1/3 π ×نق²×ع.


فيما يأتي مثال يوضح كيفية حساب محيط المخروط القائم:

  • مثال: احسب حجم مجسم على شكل مخروط، إذا علمت أن طول قاعدته يساوي24سم، أما ارتفاعه فيساوي 16سم؟[٢]
الحل:
حجم المخروط= 1/3 π ×نق²×ع.
بتعويض قيمة نق=12، والارتفاع=16 بالقانون، ينتج ان:
حجم المخروط= 1/3 π ×نق²×ع
حجم المخروط= 1/3 × (π 16×(12²
حجم المخروط= 1/3 × π 16×12×12
إذن: حجم المخروط= 768 πسم³، (الجواب بدلالة π).
وبتعويض π يكون الناتج (52 .2411).


خطوات صنع مخروط باستخدام الورق

لتمثيل مخروط ورقي أو كرتوني بطريقة سهلة وبسيطة، ما عليك سوا اتباع الخطوات الآتية:[٢]

  • تُرسَم دائرة على ورقة، تم يُقَص الشكل الدائري من الورقة.
  • يُؤخذ من الدائرة التي تم قصها، قطاعاً دائرياً، حيثُ يمكن تسمية الضلع الأول للقطاع الدائري م أ ، والضلع الثاني م ب، أما القوس فهو أ ج ب.
  • يُلَف القطاع بحيث تنطبق م ب مع م أ تماماً، ثم يتم تثبيتهما بدقة باستخدام الاصق.
  • يُثبَّت القوس أ ج ب، كقاعدة دائرية للمخروط، وينتج حينها مخروط دائري، فيه:[٢]
  • النقطة م هي رأس المخروط
  • أ م تمثل راسم المخروط
  • أما القوس أ ج د فهو عبارة عن قاعدة المخروط
  • وأخيراً (ع ) تُمثل ارتفاع المخروط، حيث أن (ع) يساوي طول (م د)، علماً بأن النقطة (م) هي رأس المخروط، أما النقطة (د) فهي عبارة عن مركز قاعدة المخروط (مركز الدائرة).
ملاحظة مهمّة: بما أنّ م أ طول الراسم، و م د الارتفاع فإن أد نصف القطر، وعند إيصال خط مستقيم بين هذه النقاط فإنه ينتج مثلث قائم الزاوية عند النقطة د، ومن هذه المعلومة فإنه يمكن التوصل لطول الضلع المجهول سواء كان المجهول هو الارتفاع أوطول الراسم عن طريق نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية.[٣][١][٢]


خطوات صنع مخروط باستخدام الورق

لتمثيل مخروط ورقي أو كرتوني بطريقة سهلة وبسيطة، ما عليك سوا اتباع الخطوات الآتية:[٢]

  • تُرسَم دائرة على ورقة، تم يُقَص الشكل الدائري من الورقة.
  • يُؤخذ من الدائرة التي تم قصها، قطاعاً دائرياً، حيثُ يمكن تسمية الضلع الأول للقطاع الدائري م أ ، والضلع الثاني م ب، أما القوس فهو أ ج ب.
  • يُلَف القطاع بحيث تنطبق م ب مع م أ تماماً، ثم يتم تثبيتهما بدقة باستخدام الاصق.
  • يُثبَّت القوس أ ج ب، كقاعدة دائرية للمخروط، وينتج حينها مخروط دائري، فيه:[٢]
  • النقطة م هي رأس المخروط
  • أ م تمثل راسم المخروط
  • أما القوس أ ج د فهو عبارة عن قاعدة المخروط
  • وأخيراً (ع ) تُمثل ارتفاع المخروط، حيث أن (ع) يساوي طول (م د)، علماً بأن النقطة (م) هي رأس المخروط، أما النقطة (د) فهي عبارة عن مركز قاعدة المخروط (مركز الدائرة).
ملاحظة مهمّة: بما أنّ م أ طول الراسم، و م د الارتفاع فإن أد نصف القطر، وعند إيصال خط مستقيم بين هذه النقاط فإنه ينتج مثلث قائم الزاوية عند النقطة د، ومن هذه المعلومة فإنه يمكن التوصل لطول الضلع المجهول سواء كان المجهول هو الارتفاع أوطول الراسم عن طريق نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية.[٣][١][٢]


المراجع

  1. ^ أ ب ت "Cone", www.mathsisfun.com, Retrieved 2-1-2018. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير.(2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة: 138-142/ ملف: (128-155)، ملف إجابات الأسئلة: (199-217)، الجزء الثاني. بتصرّف.
  3. ^ أ ب "Cones: Definition, Area & Volume", www.study.com, Retrieved 2-1-2018. Edited.