كيف أعرف محيط الدائرة

بواسطة: - آخر تحديث: ١٥:٥٣ ، ٢٨ ديسمبر ٢٠١٧
كيف أعرف محيط الدائرة

تعريف الدائرة

الدائرة: هي شكل هندسي ناتج عن إيصال مجموعة من النقاط التي تقع في نفس المستوى بخط منحنٍ ومغلق، وتجدر الإشارة هنا إلى أن المسافة التي تقع بين أي نقطةٍ من النقاط الموجودة على هذا الخط والنقطة المعينة الواقعة وسط الدائرة هي مسافة متساوية ولا تتغير، وتسمّى النقطة التي تقع وسط الدائرة تماماً مركز الدائرة.[١][٢]


مفاهيم تتعلق بالدائرة

إن للشكل الدائري مجموعة من المفاهيم والتعريفات الأساسية المتعلقة به، والمرتبطة به ارتباطاً تاماً، ومن بعض هذه المفاهيم ما يأتي:[٣][٤]

  • نصف قطر الدائرة (نق): هي المسافة (القطعة المستقيمة) التي تصل نقطة تقع على حافة الدائرة بمركز الدائرة.
  • قطر الدائرة (ق): هي المسافة (القطعة المستقيمة) التي تصل نقطتين تقع كل منهما على حافة الدائرة ببعضهما البعض، على أن يقطع الخط مركز الدائرة.
  • وتر الدائرة: هي القطعة المستقيمة التي طرفاها عبارة عن نقطتين تقعان على حافة الدائرة، فإذا لم تمر القطعة بالمركز ظلت وتراً، وإذا مرت بالمركز أصبحت قطراً.
  • القوس: هو قطعة مأخوذة من الخط المنحني الذي يحيط بالدائرة.
  • القاطع: هو الخط المستقيم الذي يبدأ بنقطة خارج الدائرة حيث يمر بالدائرة ويقطعها عند نقطتين تقع كل منهما على حافة الدائرة، ثم ينتهي به المطاف خارج الدائرة.
  • المماس: هو الخط المستقيم المرسوم خارج الدائرة، في حين أن هذا المستقيم يلامس الدائرة عند نقطة وحيدة.


خطوات رسم الدائرة

عند رسم دائرة نصف قطرها معلوم يجب اتباع مجموعة من الخطوات وهي:[٥]

  • التحقق من شد الفرجار جيداً قبل البدء بالرسم، لتجنب تغير وضعه أثناء الرسم.
  • تحديد نقطة المركز على ورقة فارغة.
  • إحضار شريط قياسي أو مسطرة وتعيين طول نق عليها.
  • فتح الفرجار فتحة مساوية للطول الذي تم تعيينه على المسطرة، مع مراعاة الدقة في القياس لتلافي أي خطأ.
  • تثبيت إبرة الفرجار على نقطة المركز واستخدام الجهة الأُخرى من الفرجار لرسم خط منحنٍ مغلق، يمثل الدائرة.


محيط الدائرة

لطالما كانت الحاجة ملحة لمعرفة بعض القياسات التي تمر في حياتنا اليومية، كمعرفة طول السياج الذي يحيط بمزرعةٍ دائرية الشكل، أو كم طول الشريط الذي يلزم لإحاطة حلقة دائرية، أو إيجاد الفرق بين البيتزا ذات الحجم الكبير والوسط، عن طريق مقارنة محيط كل منها، ومن أبسط الطرق البدائية المتبعة قديماً لإيجاد هذة الأطوال هي إحضار حبل أو خيط رفيع يوضع طرفه على الإطار الدائري، ويُلف حولهُ دورةً كاملةً، ثم يحدد عند النقطة التي تم إكمال الدورة عندها، وعند فكه يُقاس طول الخيط الذي تم تحديده من بدايته لنهايته باستخدام الشريط القياسي، حيث إن طول الحبل الذي أحاط بالدائرة يسمى عادةً محيط الدائرة، وبمعنى آخر هو طول الخط المنحني المغلق الذي تم رسمه باستخدام الفرجار (في الفقرة السابقة).[٦][٧]


معادلة محيط الدائرة

لقد استطاع العلماء عن طريق دراستهم لمفاهيم الدائرة وخصائصها معرفة أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها ثابتة لا تتغير أبداً مهما اختلفت أبعاد الدائرة، وقد أطلق اليونانيون على هذه النسبة الثابتة رمز الباي أو π، كما دأب العلماء عبر التاريخ على حساب قيمتها الدقيقة، حتى تمكنوا من إيجاد أقرب قيمة ممكنةٍ لها، فمثلاً لو أردنا إيجاد النسبة بين المحيط والقطر لأي دائرة، ببساطة نقسم المحيط على القطر باستخدام القسمة الطويلة أو الآلة الحاسبة فيكون ناتج القسمة تقريباً 3.14، ولو أُعيدت هذه الخطوة مرات عدة بقي الناتج قريباً جداً من القيمة السابقة مهما اختلفت أبعاد الشكل الدائري، وبناءً على ما توصل إليه العلماء فإن أدق تقريب لها هو 3.1415929 أو 7÷22، وكلا القيمتين غير دقيق تماماً، لكنها أقرب قيمة ممكن التعامل معها، لأن الباي عدد لانهائي وغير محكوم بنمط محدد.[٨][٧]


وبما أن نسبة محيط الدائرة إلى قطرها يساوي باي، أي بالرموزπ = ر÷ ق، علماً بأن (ر) طول محيط الدائرة و(ق) القطر، وبضرب طرفي المعادلة بـ (ق)، يصبح (ر) موضوعاً للقانون، عندها تنتج معادلة المحيط وهي: (ر= π × ق)، أو( ر= 2 ×π× نق)، أما بالنسبة لأَشهر الوِحَد التي تُستخدم لقياس طول محيط الدائرة فهي: مم، سم، م، كم ..الخ.[٩][١][١٠]


أَمثلة على كيفية حساب محيط دائرة

الحل:
باستخدام القانون يتم حساب محيط القاعة على النحو الآتي:
محيط الدائرة = 2 × π × نق.
يُعوض نق بالقانون وقيمته 20 م.
محيط الدائرة = 20×π×2.
محيط الدائرة =40π، هذا الجواب بدلالة π.
عند تعويض باي ينتج:
المحيط = 40×3.14
محيط القاعة = 125.6 م تقريباً.


الحل:
المحيط = π×القطر.
يُعوّض ق بالقانون وقيمته 3 سم، (أُستخدم هذا القانون لأن المعطى بالمثال هو ق).
المحيط = π3 سم، هذا الجواب بدلالة π.
عند تعويض باي تصبح:
المحيط = 3.14× 3
محيط الدائرة = 9.42 سم تقريباً.


الحل :
المحيط = π× القطر
المحيط = π ×1
إذن المحيط يساوي باي.
المحيط = 3.14 تقريباً.


  • مثال 4: اذا كان قطر طاحونة هوائية 12م، فكم من الأمتار تحتاج الطاحونة لتكمل: شوطاً كاملاً، رُبع شوط.[١١]
الحل:
محيط الطاحونة= المسافة التي قطعتها الطاحونة لإكمال شوط كاملٍ.
إذن المحيط = ق×π.
المحيط = 12× 3.14
المحيط = 37.68 م تقريباً.
المسافة التي تحتاجها الطاحونة لإكمال الشوط كاملاً هي 37.68 م.
ربع محيط الطاحونة = المسافة التي قطعتها لإكمال ربع الشوط.
المحيط ÷ 4 = 37.68 ÷ 4
ربع المحيط = 9.42 م تقريباً.
المسافة التي تحتاجها لإكمال ربع شوط هي 9.42 م.


  • مثال 5: مزرعة دائرية طول نصف قطرها 49 م، أراد المالك تشييك المزرعة، كم تكلفة التشييك إذا عُلم أن سعر المتر الواحد أربعة دنانير ونصف.[١١]
الحل:
طول الشيك = 2 × π × نق.
طول الشيك = 2 ×(22/7) × 49، (يمكن تبسيط المقدار في حال عدم استخدام الالة الحاسبة).
طول الشيك = 308 م تقريباً.
تكلفة الشيك = طول الشيك × سعر المتر.
تكلفة الشيك = 308×4.5
تكلفة الشيك = 1386 دينار تقريباً.


المراجع

  1. ^ أ ب ت "Circle", www.mathsisfun.com, Retrieved 3-11-2017. Edited.
  2. "...Set of All Points That", www.mathsisfun.com, Retrieved 3-11-2017. Edited.
  3. " Circles", WWW.math2.org, Retrieved 9-11-2017. Edited.
  4. " Definitions of Parts of Circles", www.algebralab.org, Retrieved 3-11-2017. Edited.
  5. باجس خمايسة، ابراهيم الصماي، فدوى الحشاش (2006-2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الخامس (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 170-171-172، جزء الجزء الأول والثاني. بتصرّف.
  6. "Circumference of a Circle", www.instructables.com, Retrieved 5-11-2017. Edited.
  7. ^ أ ب "(Pi (π", www.mathsisfun.com, Retrieved 3-11-2017. Edited.
  8. "الهندسة المستوية"، www.arab-ency.com، اطّلع عليه بتاريخ 3-11-2017. بتصرّف.
  9. فدوى الحشاش ،أمين المستريحي،محمد عربيات (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف السادس (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 94-95-96، جزء الجزء الأول والثاني. بتصرّف.
  10. "Metric Length", www.mathsisfun.com, Retrieved 3-11-2017. Edited.
  11. ^ أ ب ت ث المشرف التربوي (2016)، إجابات وحدة الهندسة - جزء 2 الصف السابع الاساسي (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: ادارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 6-7-8، جزء الثاني. بتصرّف.