نسبة وتناسب

بواسطة: - آخر تحديث: ١٩:٠٩ ، ١٨ ديسمبر ٢٠١٧
نسبة وتناسب

تعريف النسبة

النسبة: هي مقارنةٌ بين مقدارين، كمقارنة طول طالبٍ بطول طالبٍ آخر، أو وزن طالب بوزن آخر. وتحتوي النسبة على حدّين، وهما المقداران اللذان تمّت المقارنة بينهما، ويُسمى المقدار الأول (مقدّم النسبة)، أما المقدار الثاني فيسمى (تالي النسبة). وتراعى أهمية الترتيب عند تحديد مقدّم النسبة من تاليها. ويتم الحصول على نسبة مبسّطة بأبسط صورة ممكنة بقسمة حدّي النسبة على العامل المشترك الأكبر بينهما، وهنالك عدة طرقٍ لكتابة النسبة والتعبير عنها، فمثلاً لو أردنا مقارنة مقدارين على أن يكون المقدار الأول (أ)، والمقدار الثاني (ب) فلا بد من وجود عدة صورٍ تعبر عن هذه المقارنة، ومن هذه الصور ما يأتي: أ ÷ ب، أ : ب، كذلك يمكن استخدام الكسور العادية بوضع المقدار الأول في البسط، والمقدار الثاني في المقام.[١][٢]


تعريف التناسب

التناسب: هو تكافؤ وتعادل نسبتين، حيث يمكن كتابة المقدارين المتناسبين على صورة كسرين متكافئين، وفي حال تبسيطهما يتم الحصول على نسبتين متعادلتين أومتساويتين. ويُقال إن نسبتين متناسبتان، أي أن أ: ب = ج: د إذا كان حاصل ضرب (أ×د) = حاصل ضرب (ب×ج)، حيث إن (أ، د) يسميان طرفي التناسب، أما (ب، ج) فيسميان وسطي التناسب.[١][٢]


وإن للنسبة والتناسب أهميةً كبيرةً في حياتنا العملية، حيث إنها تُستخدم لتحديد نسبة المحاليل الطبية التي تدخل في تركيب الأدوية، كما لها أَهمية كبيرة في فن التصوير الفوتوغرافي، حيث تُحدّد أبعاد الصورة، أي نسبة الطول إلى العرض، والتي تجعل الصورة تظهر بشكل واضح، وأيضاً لها دورٌ كبيرٌ في صناعة الدهانات لأنها تحسب كمية المواد الكيميائية والألوان المراد دمجها بدقةٍ؛ للحصول على اللون المطلوب بجودةٍ عالية.[١]


أمثلة على النسبة والتناسب

مثال: إذا أردنا عمل وصفةٍ لفطيرة تحتوي على 3 أكوابٍ من الزيت، وكوبين من الطّحين، أجب عما يأتي:[١][٣]

  • عبّر عن المقدارين باستخدام النسبة.
الحل: 2 : 3 ، حيث إن العدد 3 مقدم النسبة، والعدد 2 تالي النسبة.
  • عبّر عن المقدارين إذا أردنا زيادة الكمية إلى أربعة أضعاف الكمية الأولى.
الحل:
بما أن المقدارين تضاعفا بمقدار 4، إذن يُضرب حدّي النسبة بالعدد (4) فتُصبح:
(4 × 2) : (4 × 3)
= 8 : 12
  • هل النّسبة الناتجة تشكل تناسباً مع النسبة الأولى؟
الحل:
يتم تبسيط النسبتين لأبسط صورةٍ إن أمكن ذلك.
2 : 3 (تبقى كما هي بأبسط صورة).
8 : 12 (يُقسّم البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر4، وتُصبح بعد الاختصار 2 : 3).
إذن تشكّلان تناسباً.
  • طريقة أُخرى للحل:
حاصل ضرب طرفي التناسب= 2×12= 24.
حاصل ضرب وسطي التناسب= 3×8 =24.
حاصل ضرب الطرفين (24) = حاصل ضرب الوسطين (24).
إذن يشكلان تناسباً.


أنواع التناسب

للتناسب أنواعٌ تُحدَّد حسب العلاقة بين المقدارين الذين تمت المقارنة بينهما، وتندرج هذه الأنواع فيما يأتي:


التناسب الطردي

هي علاقةٌ طرديةٌ حيث ترتبط زيادة أحد المقدارين بزيادة الآخر بقيمةٍ ثابتةٍ مرتبطةٍ بالمقدارين معاً، وتسمّى ثابت النسبة.[٤]


  • مثال: إذا كانت أجرة عامل مقابل ساعة عمل واحدة 5 دنانير. أجب عما يأتي:
ما هي العلاقة بين أجرة العامل وعدد ساعات عمله؟
الحل:
ساعة عمل = 5 دنانير،
ساعتا عمل =10 دنانير،
3 ساعات عمل = 15 ديناراً،
4 ساعات عمل = 20 دينار، ..... إلخ.
ملاحظة: العلاقة طردية كلما زادت ساعات العمل زاد أجر العامل.
  • مثال: ماهو ثابت النسبة؟
الحل:
العدد الثابت المرتبط بالمقدارين هو 5، أي أن الأجر يتضاعف بمقدار 5 في كل مرة يزيد فيها ساعة عمل واحدة.
  • مثال: كم يتقاضى من المال عند العمل لمدة 8 ساعاتٍ متواصلة؟
الحل:
الأجر= ثابت النسبة × عدد ساعات العمل.
الأجر= 5 ×8 ساعات.
الأجر= 40 دينار، هو المبلغ الذي يتقاضاه العامل مقابل 8 ساعات من العمل.

ومن الأمثلة المتعددة على النسبة المباشرة، نسبة استهلاك الموارد المائية إلى عدد السّكان، فكلما زادت الكثافة السكّانية زاد مقابلها استهلاك المياه.[٤]


التناسب العكسي

هي علاقةٌ متعاكسةٌ، بحيث ترتبط زيادة مقدارٍ بانخفاض الآخر بقيمة ثابتةٍ مرتبطةٍ بالمقدارين معاً، وتسمى ثابت النسبة. ومن الأمثلة المتعددة على النسبة العكسية، نسبة سرعة سيارة إلى الزمن اللازم للوصول، فكلما زادت السرعة قلَّ الوقت اللازم للوصول، والعكس كلما قلت السرعة زاد الوقت اللازم للوصول.[٤]


مثال: إذا قام 4 عمالٍ ببناء حاجزٍ، استغرق بناؤه 3 ساعاتٍ، أجب عما يأتي:[٤]

  • ما هي العلاقة بين عدد العمال والزمن اللازم لإنهاء العمل؟
الحل:
العلاقة عكسيةٌ، فكلما زاد عدد العمال قلَّ الوقت اللازم لإنهاء العمل، لأن زيادتهم تؤدي إلى إنجاز العمل بشكلٍ أسرع وبأقل وقت.
  • ماهو ثابت النسبة؟
الحل:
3 = 4 ÷ م، (حيث م ثابت النسبة).
وبضرب طرفي المعادلة بالعدد 4، تصبح:
3×4 = 4 ×(4 ÷م).
م= 12.
  • إذا أصبح عدد العمال 6 فكم نحتاج من الوقت لإنهاء العمل؟
الحل:
ثابت التناسب÷عدد العمال= الوقت اللازم لإنهاء العمل.
6 ÷ 12= 2، إذن الوقت الذي نحتاجه لإنهاء العمل إذا كان عدد العمال 6 هو ساعتان فقط.


التناسب الأُسي

هي علاقةٌ أُسيةٌ بين مقدارين، (بمعنى أن المقدار الأول يساوي العدد الثابت مرفوعاً إلى قوة المقدار الثاني)، وقد يكون الأُس من الرتبة الثانية أو الثالثة أو غير ذلك.[٤]


مثال: تم إسقاط كرةٍ من سطح عمارةٍ، حيث إن مسافة إسقاط الكرة تتناسب مع مربع وقت السقوط طردياً، فإذا علمت أن الكرة تحتاج مسافة 19.6م بعد ثانيتين، جد المسافة بعد 3 ثوانٍ؟[٤]

الحل:
(معادلة1): المسافة التي سقطت الكرة فيها = (الزمن)²× ثابت النسبة.
19.6 م = 2² × ثابت النسبة.
19.6م = 4 × ثابت النسبة، وبقسمة طرفي المعادلة على العدد 4، يُصبح:
4.9 = ثابت النسبة.
الآن أصبح ثابت النسبة معروفاً، فنعوّض ثابت النسبة، والزمن 3 ثوانٍ لإيجاد المسافة.
(معادلة 2): 4.9 × 3² = المسافة
4.9 × 9 = المسافة
المسافة المقطوعة بعد ثلاث ثوانٍ = 44.1 وهو المطلوب.


المراجع

  1. ^ أ ب ت ث فدوى الحشاش ،أمين المستريحي،محمد عربيات (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف السادس (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 178-179-180، الجزء الأول والثاني. بتصرّف.
  2. ^ أ ب "What is a Proportion in Math? - Definition & Practice Problems", www.study.com, Retrieved 15-11-2017. Edited.
  3. "Ratios", www.mathsisfun.com, Retrieved 30-10-2017. Edited.
  4. ^ أ ب ت ث ج ح " Directly Proportional and Inversely Proportional", www.mathsisfun.com, Retrieved 30-10-2017. Edited.