تحليل القوس التكعيبي

تحليل القوس التكعيبي

طريقة تحليل القوس التكعيبي

يتكوّن القوس التكعيبي من حدين أو أكثر وهو مرفوع للقوة 3، ويكون عادة على الصيغة الآتية: (أ±ب)3، ويعني تحليل القوس التكعيبي أو فك القوس التكعيبي ضرب كثير الحدود بنفسه ثلاث مرات كما يأتي: (أ±ب)3= (أ±ب)×(أ±ب)×(أ±ب)، وذلك باتباع الخطوات الآتية:[١]

  • ضرب أول قوسين ببعضهما البعض وفق خاصية التوزيع:
    • (أ+ب)×(أ+ب) = (مربع الحد الأول + 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ+ب)×(أ+ب) = أ2+2×أ×ب+ب2.
    • (أ-ب)×(أ-ب) = (مربع الحد الأول - 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ-ب)×(أ-ب) = أ2-2×أ×ب+ب2.
  • ضرب ناتج التحليل السابق بـ (أ+ب) مرة أخرى لينتج أن: (أ+ب) × (أ2+2×أ×ب + ب2)= أ3+3×أ2×ب + 3×أ×ب2 + ب3.
  • بناء على ما سبق تكون القاعدة كما يلي:
    • (أ+ب)3 = (مكعب الحد الأول) + (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3×الحد الأول×مربع الحد الثاني) + (مكعب الحد الثاني) = أ³+(3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) + ب³.
    • (أ-ب)3 = (مكعب الحد الأول) - (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3× الحد الأول×مربع الحد الثاني) - (مكعب الحد الثاني) = أ³ - (3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) - ب³.


أمثلة على تحليل القوس التكعيبي

وفيما يأتي بعض الأمثلة على تحليل القوس التكعيبي:

  • المثال الأول: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (س+1)3.[٢]
    • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: س3+3س2+ 3س+1


  • المثال الثاني: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (أ-2ب)3.[٢]
    • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: أ3-6أ2ب +12أ×ب2-8ب3.


  • المثال الثالث: اكتب ما يلي بأبسط صورة: (س+ص)³ + (س-ص)³.[٢]
    • الحل:
    • بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس الأول والثاني كالآتي:
      • (س+ص)³ = س³ + (3×س²×ص) + (3×س×ص²) + ص³.
      • (س-ص)³ = س³- (3×س²×ص) + (3×س×ص²) - ص³.
      • (س+ص)³ + (س-ص)³ = س³ + (3×س²×ص) + (3×س×ص²) + ص³ + س³- (3×س²×ص) + (3×س×ص²) - ص³ = 2س³ + 6×س×ص².


  • المثال الرابع: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س+1)³.[٣]
    • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
      • (2س+1)³ = 8س³ + 12س² + 6س+ 1.


  • المثال الخامس: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س-3ص)³.[٣]
    • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
      • (2س-3ص)³ = 8س³ - 36س²ص+ 54س ص² - 27ص³.


الفرق بين القوس التكعيبي والفرق بين مكعبين

يختلف تحليل الفرق بين مكعبين (أ3- ب3)، أو تحليل مجموع المكعبين، عن تحليل القوس التكعيبي (أ±ب)3؛ حيث يكون تحليل القوس التكعيبي كما ذُكر سابقاً، أما تحليل الفرق بين مكعبين، ومجموع المكعبين فيكون باتباع القواعد الآتية:[٤]

  • فتح قوسين: في الأول يتم وضع الجذر التكعيبي للحد الأول مطروحاً منه الجذر التكعيبي للحد الثاني (أ-ب).
  • وضع مربع الحد الأول في القوس الثاني ثم الحد الأول مضروباً بالحد الثاني، ثم مربع الحد الثاني: (أ2 + أ×ب + ب2): حيث تكون إشارة الحد الأوسط دائماً عكس إشارة (ب)، أما إشارة الحد الأخير فدائماً موجبة، لتكون النتيجة في النهاية كما يلي:
    • 3- ب3) = (أ-ب)(أ2 + أ×ب + ب2).
    • 33) = (أ+ب)(أ2 - أ×ب + ب2).


  • مثال: حلّل ما يلي: (س3-8).[٤]
    • تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (س-2)(س2+2س+4).


  • مثال: حلّل ما يلي: 27ص³+س³.[٤]
    • تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (3ص+س)(9ص2-3س ص+س²).


المراجع

  1. "Binomial Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 2-3-2019. Edited.
  2. ^ أ ب ت "Applying the Perfect Cube Identity", www.brilliant.org, Retrieved 8-6-2020. Edited.
  3. ^ أ ب "Polynomials Basic", www.web-formulas.com, Retrieved 8-6-2020. Edited.
  4. ^ أ ب ت "Sum and Difference of Cubes", www.varsitytutors.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.
57 مشاهدة
للأعلى للأسفل