كيفية حساب الانحراف المعياري

كتابة - آخر تحديث: ٢٠:٤٥ ، ٢١ يناير ٢٠١٨
كيفية حساب الانحراف المعياري

التشتت

التشتت هو إحدى أهم خصائص البيانات التي تعمل على تحديد مقدار تناغم وتجانس القيم مع بعضها البعض، أو مدى تباعدها وتبعثرها عن بعضها البعض، فإذا كانت البيانات مُتتاغِمَة ومتقاربة من بعضها البعض حول نقطة معينة، فهذا يعني أنّها غير مُشتّتة بل متجانسة، أما إذا كانت البيانات متفرقة ومتباعدة عن بعضها البعض بحيث أنها لا تتجمع ضمن نقطة تركيز معينة، فهذا يعني أن هذه البيانات متشتتة.[١] أما بالنسبة لمقدار التشتت يكون كبيراً إذا كانت البيانات متفرقة بشكل كبير، أما إذا كانت بُعد البيانات عن بعضها البعض قليل ومحدود، فهذا يعني أن مقدار التشتت قليل، وبمعنى آخر كلما زاد بُعد البيانات عن بعضها البعض زاد التشتت وكلما قلَّ بعد البيانات عن بعضها البعض قلَّ التشتت.[١]


وبما أنّ التشتت إحدى خصائص البيانات، فلا بد من وجود مجموعة من المقاييس التي تعمل على قياس مدى تشتت القيم أو تجانسها، من أشهر مقاييس التشتت المُستحدمة في علم الإحصاء:[١]

  • المدى.
  • نصف المدى الربيعي.
  • الانحراف المعياري.
  • الانحراف المعياري المتوسط.
  • التباين.


الانحراف المعياري

الانحراف المعياري هو أفضل المقاييس التي تُستخدم لقياس مدى تَفرُّق أو تناغم البيانات عن متوسطها الحسابي؛ حيثُ يُحسَب الانحرف المعياري من خلال إدخال جميع القيم وحسابها وليس من خلال قيمتين أو ثلاثة فقط، ومن هُنا تكمن دقّته عن باقي مقاييس التشتت.[٢][٣]


خطوات حساب الانحراف المعياري

لحساب الانحراف المعياري لمجموعة من القيم يجب اتباع مجموعة من الخطوات، وهي:[٣]

  • الخطوة الأولى: يُحسَب المتوسط الحسابي للقيم؛ وذلك بجمع القيم وتقسيمها على عددها.
  • الخطوة الثانية: يُحسَب مقدار انحراف كل قيمة عن المتوسط الحسابي؛ وذلك بطرح الوسط الحسابي من كل قيمة.
  • الخطوة الثالثة: يُربّع انحراف كل قيمة على حدى، ومن ثم يُجمَع مُربّعات انحرافات القيم.
  • الخطوة الثالثة: يُطبَّق قانون الانحراف المعياري وهو الجذر التربيعي لـ ((مجموع مربعات انحراف القيم عن المتوسط)÷(عدد القيم-1)).


أمثلة تُوضّح كيفية حساب الانحراف المعياري

ومن بعض الأمثلة التي تبين كيفية حساب الانحراف المعياري لمجموعة من القيم، ما يلي:

  • مثال1: احسب الانحراف المعياري للقيم التالية: 25, 30, 35, 40, 55.[٣]
الحل:
أولاً: إيجاد المتوسط الحسابي للقيم،5÷(25+30+35+40+55)
المتوسط الحسابي37= 5÷ 185.
ثانياً: سيتم توضيح إيجاد انحرافات القيم عن وسطها وتربيعها بالجدول التالي:
القيم القيمة- الوسط الحسابي (القيمة -الوسط الحسابي)²
25 25- 37=-12 144
30 30- 37=-7 49
35 35- 37=-2 4
40 40- 37=3 9
55 55- 37= 18 324
المجموع 0 530

ثالثاً: نُطبّق قانون الانحراف المعياري وهو الجذر التربيعي لـ ((مجموع مربعات انحراف القيم عن المتوسط)÷(عدد القيم-1)).

الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي ل(4÷530).
الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي ل(132.5).
إذن:الانحراف المعياري للقيم=تقريباً 11.5108، (باستخدام الآلة الحاسبة).
  • مثال2: احسب الانحراف المعياري للقيم التالية: 3, 2, 4, 5, 6,7, 8.[٣]
الحل:
أولاً: إيجاد المتوسط الحسابي للقيم،7÷(3+2+4+5+6+7+8)
المتوسط الحسابي5=7÷ 35.
ثانياً: سيتم توضيح إيجاد انحرافات القيم عن وسطها وتربيعها بالجدول التالي:
القيم القيمة- الوسط الحسابي (القيمة -الوسط الحسابي)²
3 3- 5=-2 4
2 2- 5=-3 9
4 4- 5=-1 1
5 5- 5=0 0
6 6- 5= 1 1
7 7- 5= 2 4
8 8- 5= 3 9
المجموع 0 28

ثالثاً: نطبق قانون الانحراف المعياري وهو الجذر التربيعي ل((مجموع مربعات انحراف القيم عن المتوسط)÷(عدد القيم-1)).

الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي ل(6÷28).
الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي ل(4.6666).
إذن: الانحراف المعياري للقيم=تقريباً 2.16، (باستخدام الآلة الحاسبة).
  • مثال3: إذا كانت الأجور التي يتقاضاها خمسة عُمال في في إحدى المصانع وبالتحديد في قسم التعبئة كالآتي: 5,9,11,3,7 احسب الانحراف المعياري لأجور هؤلاء العمال.[٣]
الحل:
أولاً: إيجاد المتوسط الحسابي للقيم،5÷ (7+3+11+9+5)
المتوسط الحسابي7=5÷35.
ثانياً: سيتم توضيح إيجاد انحرافات القيم عن وسطها وتربيعها بالجدول التالي:
القيم القيمة- الوسط الحسابي (القيمة -الوسط الحسابي)²
7 7 -7 =صفر صفر
3 3- 7=-4 16
11 11- 7=4 16
9 9 -7 =2 4
5 5- 7= -2 4
المجموع 0 40

ثالثاً: نُطبّق قانون الانحراف المعياري وهو الجذر التربيعي ل((مجموع مربعات انحراف القيم عن المتوسط)÷(عدد القيم-1)).

الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي ل(4÷40).
الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي ل(10).
إذن: الانحراف المعياري لأجور العمال =تقريباً 3.16، (باستخدام الآلة الحاسبة).
  • مثال4: إذا كانت العلامات اليومية لأربعة طلاب من الصف السابع في مادة الرياضيات كالآتي:5,5,5,5 احسب الانحراف المعياري لعلامات هؤلاء الطلاب.[٣]
الحل:
يُلاحَظ هنا أنّ علامات الطلاب متساوية تماماً؛ أي أنّ جميعهم حاصلين على العلامة 5، وبالتالي فإنّ متوسط العلامات هي 5، وللتأكيد:
المتوسط الحسابي للعلامات=4÷(5+5+5+5)
المتوسط الحسابي5=4÷20
والآن سيتم ايجاد إيجاد انحرافات القيم عن وسطها وتربيعها بالجدول التالي:
القيم القيمة- الوسط الحسابي (القيمة -الوسط الحسابي)²
5 5-5 =صفر صفر
5 5-5=0 صفر
5 5-5=صفر صفر
5 5-5=صفر صفر
المجموع صفر صفر
يُلاحَظ من الجدول بأن انحراف كل قيمة عن المتوسط الحسابي تساوي صفر ويعود ذلك إلى تشابه جميع القيم؛ إذ إنّه لا يوجد أي قيمة تبعُد عن المتوسط ولو قليلاً، وبالتالي فإنّ الانحراف المعياري لهذه العلامات صفر، وللتأكيد:
الانحراف المعياري لعلامات= الجذر التربيعي لـ (3÷0).
الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي لـ (صفر).
إذن: الانحراف المعياري لعلامات الطلاب =صفر.


المراجع

  1. ^ أ ب ت عبد الكريم موسى أحمد فرج الله (.)، مقدمــة فـي الإحصـاء التربـوي (الطبعة الأولى)، .: .، صفحة 100-113. بتصرّف.
  2. "Standard Deviation and Variance", www.mathsisfun.com, Retrieved 26-12-2017. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث ج ح جهاد العناتي، زينب مقداد، عصام شطناوي، فراس العمري (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف السابع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 212-220 الوحدة السابعة الاحصاء والاحتمالات -ملف214-234، جزء الثاني. بتصرّف.