ما هو الوسط الحسابي

بواسطة: - آخر تحديث: ٢٠:٠٧ ، ٢٣ أبريل ٢٠١٨
ما هو الوسط الحسابي

الوسط الحسابي

تُستخدم مقاييس النزعة المركزية (بالإنجليزية: central tendency) للتعبير عن مدى نزوع وابتعاد القيم عن نقطة المركز التي تحيط بها أكثر القيم والتّكرارات. وسُميت بمقاييس النزعة المركزية لأنها تُعبر وتَصف تجمع القيم حول المركز، ومن أكثر مقاييس النزعة المركزية شهرةً واستخداماً في علم الإحصاء: الوسط الحسابيّ، والمنوال، والوسيط. فإذا كانت البيانات المعطاة هي عبارة عن قيم ومفردات ومشاهدات مفردة وغير مبوّبة يُعرف الوسط الحسابي على أنه مجموع القيم مقسوماً على عددها، وهو يُستخدم بكثرة لحساب المعدل للعلامات والأجور وغيرها....[١][٢]


وفي حال كانت البيانات المعطاة عبارة عن مشاهدات وقيم مُبوّبة في جداول تكرارية فإن الوسط الحسابي لها هو عبارة عن مجموع حواصل ضرب تكرارات الفئات في مراكزها مقسوماً على مجموع التكرارات.[٣] ويُستنتج مما سبق أن:[١][٣]

الوسط الحسابي لمجموعة من المشاهدات= مجموع المشاهدات/عددها.
أما الوسط الحسابي لمجموعة من المشاهدات المُبوّبة في جدول تكراري= مجموع (م×ت)/ مجموع ت، علماً بأن م= المركز، ت= التكرارات.


أمثلة على حساب الوسط الحسابي

  • مثال1: إذا كانت أطوال أربعة طلاب كالآتي: 148سم، 152سم، 145سم، 155سم، فجد الوسط الحسابي لأطوالهم.[١]
الحل:
الوسط الحسابي= مجموع أطوال الطلبة/ عدد الطلبة.
الوسط الحسابي= (148+152+145+155)/4
الوسط الحسابي= 4/600
إذن: الوسط الحسابي لأطوال الطلبة هو 150سم.
  • مثال2: قامت إحدى العائلات بتدوين نفقات رحلة إلى إحدى المدن السياحية لمدة خمسة أيام، فكانت النفقات كالآتي: 260 ديناراً للمسكن، 180 ديناراً للطعام، 60 ديناراً وقود السيارة، 40 ديناراً لمستلزمات أخرى، 10 دنانير رسوم الدخول، احسب معدل الإنفاق اليومي لهذه الرحلة.[١]
الحل:
نجد الوسط الحسابي للتكاليف خلال الخمسة أيام.
الوسط الحسابي للنفقات= مجموع التكاليف/ عدد أيام الرحلة.
الوسط الحسابي للنفقات= ( 260+180+60+40+10)/ 5 أيام
الوسط الحسابي للنفقات= 550/ 5
إذن: معدل النفقات اليومي لهذه الرحلة هو 110 دنانير لليوم الواحد.
  • مثال3: يتقاضى أحد العمال أجراً شهرياً مقداره 172 ديناراً، فإذا علمت أن الشهر 30 يوماً، جد معدل أجرته اليومية.[١]
الحل:
نلاحظ بأن 172 ديناراً هي مجموع الأجرة كاملة وأن عدد الأيام هو 30 يوماً.
الوسط الحسابي= مجموع الأجرة/عدد الأيام.
الوسط الحسابي= 30/172
الوسط الحسابي= تقريباً 5.733 دنانير.
إذن أجرة العامل اليومية هي تقريباً خمسة دنانير وثلاثة وسبعون قرشاً.
  • مثال4: يُمثل الجدول الآتي علامات 30 طالباً بمادة الرياضيات، احسب الوسط الحسابي لعلامات الطلاب.[٣]
العلامات عدد الطلاب (التكرارات)
4 - 8 5
9 - 13 7
14 - 18 4
19 - 23 5
24 - 28 6
29 - 33 3
الحل:
نلاحظ بأن البيانات مبوّبة وعليه فإننا سنستخدم قانون الوسط الحسابي الخاص بحساب البيانات المبوّبة.
الوسط الحسابي لمجموعة من المشاهدات المبوّبة في جدول تكراري= مجموع(م×ت)/ مجموع ت.
نجد أولاً المركز لكل فئة وهي تساوي مجموع الحدين مقسوماً على العدد2،
للتوضيح: مركز الفئة الأولى =(الحد الأدنى+ الحد الأعلى)/2=(4 +8)/2=6، إذن مركز الفئة الأولى يساوي 6.
بعد إيجاد جميع المراكز لكل الفئات المعطاة ووضعها في خانة عمودية، يتم إضافة خانة جديدة لحساب مركز كل فئة مضروباً بتكرارها.
ومن ثم تُجمع الخانة الأخيرة وتُقسم على مجموع خانة التكرارات لإيجاد الوسط الحسابي.[١]

وفيما يأتي جدول يبين الخطوات بالتدريج.

العلامات التكرار مركز الفئة مركز الفئة×التكرار
4 - 8 5 (4 +8)/2=12/ 2=6 5×6= 30
9 - 13 7 (9 +13)/2=22/ 2=11 7×11=77
14 - 18 4 (14 +18)/2=32/ 2=16 4×16=64
19 - 23 5 (19 +23)/2=42/ 2=21 5×21= 105
24 - 28 6 (24 +28)/2=52/ 2=26 6×26 =156
29 - 33 3 (29 +33)/2=62/ 2=31 3 ×31= 93
المجموع 30 - 525
إذن: الوسط الحسابي=525/ 30=17.5


خصائص الوسط الحسابي

يوجد للوسط الحسابي كغيره من المقاييس الإحصائية مجموعة من الميزات التي تخصه عن غيره، ومن بعض هذه الخصائص ما يأتي:[٢]

  • إن مجموع انحرافات المشاهدات والقيم عن وسطها الحسابي دائماً يساوي صفراً، فمثلاً لوكان متوسط القيم الثلاث الآتية: 12، 13،14 يساوي 13 لأن: 3/39= 13، وعند حساب الانحراف لكل قيمة -الوسط الحسابي- ينتج أن:
انحراف القيمة الأولى= 12-13=-1.
انحراف القيمة الثانية= 14-13=1.
انحراف القيمة الثالثة= 13-13=صفر.
وبحساب مجموع الانحرافات نجد أن المجموع (-1+1+0) يساوي صفراً.
  • إذا وُجد وسطان حسابيان لمجموعتين من البيانات، فإن الوسط الحسابي لمجموعتي البيانات يساوي مجموع كِلا الوسطين الحسابيين، بمعنى آخر: الوسط الحسابي لمجموعتين من القيم= الوسط الحسابي للمجموعة الأولى من القيم+ الوسط الحسابي للمجموعة الثانية من القيم.
  • إذا أُعطي قيمة الوسط الحسابي لكل مشاهدة من المشاهدات، فإن الناتج هو مجموع المشاهدات، فمثلاً لو كان لدينا المشاهدات الآتية:10,2,4,6,8 فإن الوسط الحسابي لهذه المشاهدات هو5/30=6، فإذا قمنا بوضع قيمة الوسط (الوسط الحسابي=6) بدلاً من كل مشاهدة من المشاهدات الخمسة سيكون الناتج هو: 6+6+6+6+6=30، وبهذا فإن الناتج هو نفس مجموع المشاهدات الأصلية.
  • يتأثر الوسط الحسابي بالمشاهدات المتطرفة سواءً كانت هذه المشاهدات كبيرة جداً أو صغيرة للغاية، فعلى سبيل المثال لو كانت المشاهدات الآتية تُمثل علامات طالبين بإحدى الامتحانات الشهرية وهي: 20،4، فإن الوسط الحسابي لها 2/24 ويساوي 12، ومن هنا يُلاحظ بأن الوسط يبعد عن المشاهدات كثيراً، وذلك لأن القيمة 4 صغيرة للغاية مقارنةً بالقيمة 20، وفي حال كانت علامات طالبين آخرين هي :12،14 فإن الوسط الحسابي لها 2/26 =13، وهو قريب جداً من القيم لأن القيم متقاربة وغير متشتتة.
  • يستحيل حساب الوسط الحسابي للفئات التكرارية المفتوحة.


حساب الوسط الحسابي باستخدام برمجية إكسل

لا يقتصر حساب الوسط الحسابي بشكل يدوي فقط، بل يمكن استخدامه على الكمبيوتر عن طريق برمجية إكسل، وذلك لأهمية الوسط الحسابي في العديد من الأمور، وفي ما يأتي توضيح لكيفية حساب الوسط على برمجية إكسل:[١]

  • الخطوة الأولى: يتم النقر على قائمة إبدأ الموجودة أسفل الشاشة الرئيسية.
  • الخطوة الثانية: من قائمة البرامج يتم اختيار برنامج إكسل.
  • الخطوة الثالثة: تُعبأ البيانات بشكل متسلسل بالخلايا.
الخطوة الرابعة: يتم تعيين خلية فارغة لوضع الناتج فيها، بحيث توضع بها إشارة المساواة.
  • الخطوة الخامسة: من أعلى الشاشة يتم اختيار دالة من قائمة إدراج.
  • الخطوة السادسة: يتم اختيار الدالة (Average)، ثم موافق.
  • الخطوة السابعة: تُظلل الخلايا المراد إيجاد الوسط الحسابي لها، ثم موافق، ليظهر الناتج بعدها في الخلية التي تم تحديدها سابقاً.


المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج ح خ جهاد العناتي، زينب مقداد، عصام شطناوي، فراس العمري (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف السابع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 208-210 الملف 182-213 ، جزء ثاني. بتصرّف.
  2. ^ أ ب أ.د بركات عبد العزيز (.)، مقدمة في التحليل الإحصائي لبحوث الإعلام الدار المصرية اللبنانية، صفحة: 112,125,126,127,128. بتصرّف.
  3. ^ أ ب ت زينب مقداد، محمد عربيات، ياسمين نصير (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف التاسع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 186-187الوحدة السابعة الجزء الثاني، ملف171-210، جزء الثاني. بتصرّف.