كيف أحسب مساحة الدائرة

بواسطة: - آخر تحديث: ٠٦:٠٥ ، ٨ ديسمبر ٢٠١٦
كيف أحسب مساحة الدائرة

الدائرة

يعتمد الإنسان في حياته على الأشكال الهندسية، وهذه الأشكال بديهيّة بالنسبة له، ومنها الدائرة؛ حيث تُعرَّف الدائرة (بالإنجليزية: Circle) بأَنَّها مجموعة نقاط تسير في مُنحنى مُغلق في زاوية مقدارها 360 درجة، تتميّز بوجود مركز لها يصل بين كلّ النقاط الموجودة على منحنى الدّائرة بمسافةٍ مُتساوية.[١]


عناصر الدائرة

تتميّز أيّ دائرة بوجود عناصر أساسية فيها، وهذه العناصر هي:[١][٢]

  • مركز الدائرة (بالإنجليزية: Center): يرمز له بالرمز م، وهي نقطة المركز، وتكون مُتساويةً في البعد عن جميع النقاط الواقعة على سطح الدائرة، وتُسمَّى كل دائرة باسم مركزها.
  • قطر الدائرة (بالإنجليزية: Diameter): يرمز له بالرمز ق، وهو قطعة مُستقيمة تصل بين نقطتين على منحنى الدائرة وتمرّ بمركز الدائرة.
  • نصف القطر (بالإنجليزية: Radius): يرمز له بالرمز نق، وهو نصف طول القطر أي القطعة التي تصل بين نقطة المركز وأيّ نقطة على منحنى الدائرة.
  • الوتر (بالإنجليزية: Chord): هو عبارة عن قطعةٍ مُستقيمة تصل بين نقطتين على سطح الدائرة، ويُعد قطر الدائرة أكبر وتر فيها.
  • القوس (بالإنجليزية: Arc): هو عبارة عن جزء متّصل من الدائرة يصل بين مجموعة من النقاط.
  • المماس (بالإنجليزية: Tangent): هو خط يلمس منحنى الدائرة بنقطة واحدة فقط.
  • القطاع (بالإنجليزية: Sector): هو المساحة المحصورة بين نِصفي قطر في الدائرة.
  • الزاوية المركزية (بالإنجليزية: Central Angle): هي الزاوية التي يقع رأسها في مَركز الدائرة.
  • الزاوية المحيطية (بالإنجليزية: Inscribed Angle): هي الزاوية التي يقع رأسها على الدائرة، وتصل بين وِترين فيها.


الفرق بين محيط الدائرة ومساحة الدائرة

يُعرَف محيط الدائرة (بالإنجليزية: Circumference) بأنّه طول المُنحنى الذي يُشكِّل الدائرة، أما مساحة الدائرة (بالإنجليزية: Area) فهي المنطقة المحصورة داخل مُحيط الدائرة، وَيُذكر أنّه عند قسمة محيط أي دائرة على قطرها تنتج قيمة ثابتة دائماً، تُسمَّى (Pi)، ويُرمَز لها بالعربيّة بالحرف (ط)، ويرمز لها في المعادلات بالرمز اليوناني π، ويساوي 22/7 أو القيمة 3.141592654.[٣]


حساب محيط الدائرة

يتمّ حساب محيط الدائرة، باستخدام أحد القوانين الآتية:[٤]

  • القانون الأول: إذا عُلِمَ نصف قطر الدائرة، يُقاس محيط الدائرة كالآتي:
محيط الدائرة=2×نق×π
  • القانون الثاني: إذا عُلِمَ قطر الدائرة، يُقاس محيط الدائرة كالآتي:
محيط الدائرة=ق×π
  • القانون الثالث: إذا عُلِمَت مساحة الدائرة، يُقاس مُحيط الدائرة كالآتي:
محيط الدائرة=(4×π×مساحة الدائرة)^(1/2)


حساب محيط نصف الدائرة

من الخطأ الشائع أن يتمّ حساب محيط نصف الدائرة بأنها نصف محيط الدائرة الأصلي، وذلك لأنّه عند تنصيف الدائرة إلى جزئين فإنه يتم الأخذ بعين الاعتبار طول القطر كاملاً، فتكون المُعادلة كالتالي:[٥]

محيط نصف الدائرة=محيط نصف المنحنى +طول قطر الدائرة

محيط نصف الدائرة=نق×π+2×نق
محيط نصف الدائرة=نق×(π+2)


حساب مساحة الدائرة

يتم حساب محيط الدائرة، باستخدام أحد القوانين الآتية:[٦]

  • القانون الأول: تم التوصّل إلى صيغة لحساب مساحة الدائرة عن طريق إحضار دائرة مَصنوعة من الورق المقوى، ومن ثم تجزئتها إلى ثمانية أجزاء، وتَحويل هذه الأجزاء إلى مُستطيل، فتم استنتاج أنّ طول المُستطيل يساوي قيمة نصف محيط الدائرة، أمّا العرض فإنه يساوي طول نصف قطر الدائرة،[٧] فوُجدَ أنّ مساحة الدئرة= نصف مُحيط الدائرة× نصف القطر
ومنه: مساحة الدائرة=(πق/2)×نق
مساحة الدائرة=(π×(نق×2/2))×نق
مساحة الدائرة = π×نق²
حيث تُستخدم هذه الصيغة إذا عُلِم نصف قطر الدائرة.
  • القانون الثاني: إذا عُلِم طول القطر، فإن مساحة الدائرة تُقَاس كالتالي:
مساحة الدائرة=π×ق²/ 4
  • القانون الثالث: إذا عُلِم محيط الدائرة، فإن مساحة الدائرة تُقاس كالتالي:
مساحة الدائرة=(محيط الدائرة)²/ 4×π


حساب مساحة نصف الدائرة

يتم حساب مساحة نصف الدائرة باعتبار أنّها نصف مساحة الدائرة كاملة، كالآتي:[٥]

مساحة نصف الدائرة=π×نق² /2


أمثلة على حساب مساحة ومحيط الدائرة

  • مثال (1): جد مساحة قوس طوله 15 سم.
القوس هو عبارة عن منحنى يصل بين مجموعة نقاط من الدائرة، لذا فهو لا يملك أي مساحة لأنّه عبارة عن خط فقط.
  • مثال (2): دائرة قطرها 10 متر احسب محيط الدائرة ومساحتها.
الحل:
أولاً: حساب محيط الدائرة من القانون:
محيط الدائرة=ق×π
محيط الدائرة=10×π
محيط الدائرة =31.42 م
ثانياً: حساب مساحة الدائرة:
من القانون: مساحة الدائرة=π×ق²/ 4
مساحة الدائرة=78.55 م²
  • مثال (3): احسب مساحة دائرة، يبلغ طول محيطها 25 سم.

الحل:

من القانون: مساحة الدائرة=(محيط الدائرة)²/ 4×π
مساحة الدائرة = (25)²/ 4×π
مساحة الدائرة = 49.73 م²
  • مثال (4): احسب محيط دائرة مساحتها 10 سم².

الحل:

من القانون: محيط الدائرة=(4×π×مساحة الدائرة)^(1/2)
محيط الدائرة=(4×10×3.14) ^(1/2)
محيط الدائرة=11.21 م
  • مثال (5): جد مساحة دائرة، أكبر وتر فيها طوله 26 سم.
الحل:
من تعريف الوتر، فإن أكبر وتر في أي دائرة هو قطر هذه الدائرة،
إذن طول القطر= 26 سم
مساحة الدائرة=π×ق²/ 4
مساحة الدائرة= π×2^26/ 4
مساحة الدائرة= 530.92 سم²
  • مثال (6): إذا كان طول نصف قطر ربع دائرة 2 سم، جد مساحة الدائرة بأكملها، ومحيط ومساحة نصف الدائرة.
الحل:
أولاً: طول نصف قطر ربع الدائرة هو نفسه نصف قطر الدائرة بأكملها،
إذن: مساحة الدائرة = π×نق²
مساحة الدائرة=π*2^2
مساحة الدائرة=12.566 سم²
ثانياً: حساب مساحة نصف الدائرة،
مساحة نصف الدائرة=مساحة الدائرة /2
مساحة نصف الدائرة=12.566/ 2
مساحة نصف الدائرة=6.283 سم²
ثالثا: حساب محيط نصف الدائرة:
محيط نصف الدائرة=نق (π+2)
محيط نصف الدائرة=2 (π+2)
محيط نصف الدائرة=10.283 سم
  • مثال (7): مربّع طول ضلعه 3 سم، رسمت داخله دائرة، تمسّ أنصاف أضلاعه الأربعة، ومَركز تماثله هو نفس مركز الدائرة، جد مساحة :المربع، ومساحة الدائرة المرسومة داخله.
الحل:
نظراً لأن مركز الدائرة هو ذاته مركز تماثل المربع، وأنّ الدائرة تمسّ المربع عند أنصاف أضلاعه، فإنّ قياس قطر الدائرة هو ذاته طول :::ضلع المربع ويساوي 3 سم.
مساحة الدائرة=π×ق²/ 4
مساحة الدائرة= 7.06 سم²
مساحة المربع= (طول الضلع)²
مساحة المربع= (3)²
مساحة المربع= 9 سم²
من الحل السابق يُلاحظ أنّ مساحة الدائرة/مساحة المربع=0.784
هذه القيمة ثابتة تقريباً لكلّ دائرة تمسّ مُربّع في نقاط أنصاف الأضلاع.[٨]


المراجع

  1. ^ أ ب Math Goodies Staff, "Geometry and the Circle "، Math Goodies, Retrieved 2016-12-1. Edited.
  2. Algebra LAB Staff, "Definitions of Parts of Circles"، Algebra LAB, Retrieved 2016-12-1. Edited.
  3. Math Goodies Staff, "Circumference of a Circle "، Math Goodies, Retrieved 2016-12-1. Edited.
  4. Math Open Reference Staff, "Circumference, Perimeter of a circle"، Math Open Reference, Retrieved 2016-12-1. Edited.
  5. ^ أ ب Math Open Reference Staff, "Semicircle"، Math Open Reference, Retrieved 2016-12-1. Edited.
  6. Math Open Reference Staff, " Area enclosed by a circle"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-1. Edited.
  7. Maths Is Fun Staff, "Area of a Circle by Cutting into Sectors"، Maths Is Fun, Retrieved 2016-12-1. Edited.
  8. Maths Is Fun Staff, "Area of a Circle"، Maths Is Fun, Retrieved 2016-12-1. Edited.