أهم قوانين الرياضيات

كتابة - آخر تحديث: ١٢:٥٠ ، ١٧ يونيو ٢٠٢٠
أهم قوانين الرياضيات

أهم قوانين المحيط والمساحة والحجم

  • قوانين المحيط: يمكن إيجاد المحيط لأشهر الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:[١]
    • محيط المربع = 4×طول ضلع المربع.
    • محيط المستطيل = 2×(طول المستطيل+عرض المستطيل).
    • محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه.
    • محيط الدائرة = 2×π×نصف قطر الدائرة.


لمزيد من المعلومات حول المحيط يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون محيط المربع، ما محيط متوازي الاضلاع، قانون محيط المعين، قانون محيط شبه المنحرف، قانون محيط المستطيل، ما هو قانون محيط الدائرة.


  • قوانين المساحة: يمكن إيجاد المساحة لأشهر الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:[٢]
    • مساحة المربع = مربع طول الضلع
    • مساحة المستطيل = الطول×العرض
    • مساحة المثلث = 1/2×طول القاعدة×الارتفاع.
    • مساحة الدائرة = π×(نصف قطر الدائرة).²
    • مساحة شبه المنحرف = ((طول القاعدة العلوية+طول القاعدة السفلية)×الارتفاع)/2.


لمزيد من المعلومات حول مساحة الأشكال ثنائية الأبعاد يمكنك قراءة المقالات الآتية: ما هي مساحة المربع، قانون مساحة متوازي الأضلاع، قانون حساب مساحة المعين، مساحة الشبه المنحرف، كيف نحسب مساحة المستطيل، كيف أحسب مساحة الدائرة، ، كيف نحسب المساحة.


  • يمكن إيجاد المساحة لمجموعة من أشهر الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:[٢]
    • مساحة سطح المكعب = 6×طول ضلع المكعب².
    • مساحة سطح الأسطوانة = 2×π×نصف قطر قاعدة الأسطوانة×ارتفاع الأسطوانة.
    • مساحة سطح المخروط = π×نصف قطر قاعدة المخروط×الارتفاع الجانبي للمخروط
    • مساحة سطح الكرة = 4×π×نصف قطر الكرة²


لمزيد من المعلومات حول مساحة الأشكال ثلاثية الأبعاد يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون مساحة سطح الكرة، قانون مساحة متوازي المستطيلات، قانون مساحة المخروط، مساحة سطح الهرم، قانون مساحة الإسطوانة، مساحة سطح المنشور الرباعي.


  • قوانين الحجم: يمكن إيجاد الحجم لأشهر الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:[٢][٣]
    • حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة×الارتفاع
    • حجم المخروط = (مساحة القاعدة×الارتفاع)/3.
    • حجم الدائرة = (4×π×نصف قطر الدائرة³)/3.
    • حجم المكعب = طول ضلع المكعب³.
    • حجم متوازي المستطيلات = الطول×العرض×الارتفاع.


لمزيد من المعلومات حول حجم الأشكال ثلاثية الأبعاد يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون حجم الكرة في الرياضيات، قانون حجم متوازي المستطيلات، قانون حجم المكعب، قانون حساب حجم المخروط، كيفية حساب حجم الاسطوانة.


أهم قوانين حساب المثلثات

  • هناك مجموعة من القوانين الخاصة بعلم المثلثات، ومن أشهرها:[٣]
    • جيب الزاوية = جا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية/الوتر.
    • جيب تمام الزاوية = جتا (الزاوية) = الضلع المجاور للزاوية/الوتر.
    • ظل الزاوية = ظا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية/ الضلع المجاور للزاوية.


لمزيد من المعلومات حول حساب المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.


  • أهم المتطابقات المثلثية (حيث: س تمثل قياس الزاوية):[٣]
    • جا²(س)+ جتا²(س) =1.
    • ظا (س) = جا(س)/جتا(س).
    • 1 + ظا(س)² = 1/جتا²(س).


  • قانون جيب التمام (قانون الجتا): إذا كان هناك مثلث مهما اختلف نوعه أطوال أضلاعه أ، ب، جـ فإن طول الضلع أ يعطى بالعلاقة الآتية:[٣]
    • أ² = ب²+جـ²- 2×ب×جـ×جتا أَ، حيث أَ هي الزاوية المقابلة للضلع أ.


لمزيد من المعلومات حول قانون جيب التمام يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو قانون جيب التمام.


  • قانون الجيب : مثلث أطوال أضلاعه أ، ب، جـ فإنّ: جا(أَ)/(أ) = جا(بَ)/ب = جا(جـَ)/جـ، حيث:[٣]
    • أَ: الزاوية المقابلة للضلع أ.
    • بَ: الزاوية المقابلة للضلع ب.
    • جـَ: الزاوية المقابلة للضلع جـ.


لمزيد من المعلومات حول قانون الجيب يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون الجيب في الرياضيات.


  • قوانين ضعف الزاوية؛ حيث س تمثل قياس الزاوية:[٣]
    • جا (2س) = 2×جا(س)×جتا(س).
    • جتا(2س)= جتا²(س) - جا²(س).
    • ظا(2س)= (2 × ظا(س))/(1 - ظا²(س)).


لمزيد من المعلومات حول قانون ضعف الزاوية يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون ضعف الزاوية.


أهم قوانين اللوغارتيمات

هناك مجموعة من القوانين الخاصة باللوغاريتم، ومنها:[٤]

  • إذا كان أس = م؛ فإنّ لوأ م = س.
  • لوأ 1 = 0.
  • لوأ أ = 1.
  • لوأ (م×ن) = لوأ م + لوأ ن.
  • لوأ (م/ن) = لوأ م - لوأ ن.
  • لوأ م ن = ن×لوأ م.
  • لوأ م = لوب م×لوأ ب.
  • لوب أ×لوأ ب = 1.


لمزيد من المعلومات حول اللوغاريتمات يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص اللوغاريتمات.


أهم قوانين الجذور

هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالجذور، ومنها:[٥]

  • (أ×ب)√ن = أ√ن × ب√ن، حيث دليل الجذر هو ن، وهذا يتضمن جميع الأعداد.
  • أ√ن × ب√م = (أ م×ب ن)√ م×ن
  • (أ/ب)√ن = أ√ن / ب√ن، بشرط أن تكون ب لا تساوي صفر.
  • ( أ√ن) ن= أ.
  • أمن = أ (م/ن).
  • ( أ√ن )م= أمن.


أهم قوانين الأسس

هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالأسس، وهي:[٣]

  • في حالة الضرب:
    • أ م×أ ن = أ (م+ن)
    • أ م×ب م = (أ×ب) م
  • في حالة القسمة:
    • أم÷أن = أ (م-ن)
    • أ م÷ب م = (أ÷ب)م
  • الأس المرفوع لأس آخر:
    • م)ب = أ (م×ب)
  • الأس المرفوع لقوة تساوي صفر:
    • أ 0 = 1
  • الأس السالب:
    • أ = (1/أ)ن
  • الأس المرفوع لكسر:
    • أ (ب/جـ) = أبجـ


لمزيد من المعلومات حول الأسس والقوى يمكنك قراءة المقال الآتي: خواص القوى في الرياضيات.


أهم قوانين الجمع والضرب

فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بعملية الجمع؛ حيث أ، ب، جـ تمثل أعداداً حقيقية:[٦]

  • العنصر المحايد لعملية الجمع: ويساوي صفر، وهذا يعني أن إضافة أي عدد للعدد صفر يعطي العدد نفسه؛ أي أ+0 = أ.
  • النظير أو المعكوس الجمعي: وهو معكوس العدد الذي ينتج عن إضافته للعدد ناتجاً يساوي صفر؛ أي النظير أو المعكوس الجمعي للعدد أ هو -أ؛ وذلك لأنّ (أ)+(-أ) = 0.
  • الخاصية التجميعية: وتعني أن (أ+ب)+جـ تساوي أ+(ب+جـ)؛ أي أن تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثر على نتيجة عملية الجمع.
  • الخاصية التبديلية لعملية الجمع: وتعني أنّ أ+ب = ب+أ؛ أي تغيير ترتيب الأعداد لا يؤثر على ناتج عملية الجمع.
ملاحظة: عملية الطرح (أ-ب) تعني: أ+(-ب).


لمزيد من المعلومات حول عملية الجمع يمكنك قراءة المقالات الآتية: خصائص الجمع، ماهي خصائص الجمع والطرح.


فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بعملية الضرب؛ حيث أ، ب، جـ تمثل أعداداً حقيقية:[٦]

  • العنصر المحايد لعملية الضرب: يساوي 1، وهذا يعني أن ضرب أي عدد في العدد 1 يُعطي العدد نفسه؛ أي أنّ: أ×1 = أ.
  • النظير أو المعكوس الضربي: يتمثّل بمقلوب العدد، وهذا يعني أن النظير الضربي للعدد أ يساوي 1/أ بشرط أن تكون أ لا تساوي صفراً؛ وذلك لأن الإجابة في هذه الحالة تصبح قيمة غير معرّفة، وحاصل ضرب العدد بمعكوسه يُطعي دائماً القيمة 1؛ أي أنّ: أ×(1/أ) = 1.
  • الضرب في العدد صفر: إنّ ضرب أي عدد في صفر يُعطي إجابة صفر؛ أي أنّ: أ×0 = 0.
  • الخاصية التجميعية: وهذا يعني أنّ: (أ×ب)×جـ تساوي أ×(ب×جـ)؛ أي أنّ تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثّر على نتيجة عملية الضرب.
  • الخاصية التبديلية: وهذا يعني أنّ: أ×ب = ب×أ؛ أي تغيير ترتيب الأعداد لا يؤثر على ناتج عملية الضرب.
  • قانون التوزيع: وهو ينصّ على أنّ: أ×(ب+جـ) = أ×ب+أ×جـ.
ملاحظة: يمكن التعبير عن عملية القسمة من خلال عملية الضرب كما يلي: أ/ب = أ×(1/ب).


لمزيد من المعلومات حول عملية الضرب يمكنك قراءة المقالات الآتية: خصائص عملية الضرب، قانون التوزيع في الضرب.


فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بعملية ضرب، وجمع، وطرح، وقسمة الكسور:[٧]

  • جمع الكسور: أ/ب + جـ/د = (أ×د + ب×جـ)/(ب×د).
  • طرح الكسور: أ/ب - جـ/د = (أ×د - ب×جـ)/(ب×د).
  • ضرب الكسور: أ/ب × جـ/د = (أ×جـ)/(ب×د).
  • قسمة الكسور: أ/ب ÷ جـ/د = (أ×د)/(ب×جـ).


قوانين مهمّة مختلفة

فيما يلي بعض القوانين المهمة التي تُستخدم بشكل كبير في علم الرياضيات:

  • قوانين حساب الفائدة: يمكن حساب الفائدة حسب نوعها باستخدام القوانين الآتية:[٨]
    • قانون الفائدة المركّبة: م=ب×(1+ف/ت)ن×ت، حيث:
    • ب: المبلغ الأصلي الذي تم اقتراضه، أو استثماره.
    • م: المبلغ بعد إضافة الفائدة المركبة إليه بعد مرور مدة القرض، أو الاستثمار.
    • ف: نسبة الفائدة المركبة السنوية، ويجب كتابتها على شكل عدد عشري.
    • ت: عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة.
    • ن: مدة القرض، أو الاستثمار بالسنوات.
    • قانون الفائدة البسيطة: قيمة الفائدة البسيطة = المبلغ المقترض×نسبة الفائدة السنوية×عدد السنوات.[٩]


لمزيد من المعلومات حول حساب الفائدة يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية احتساب الفائدة المركبة، كيف تحسب فائدة البنك.


  • أهم قوانين الإحصاء: تُستخدم هذه القوانين لمعرفة مدى ابتعاد القيم في عينة ما عن القيمة الصحيحة، أو عن بعضها البعض، وفيما يلي أهم القوانين المستخدمة في علم الإحصاء:[١٠]
    • الوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها.
    • الانحراف المعياري = ((القيمة - الوسط الحسابي)²∑/(عدد القيم-1))√
    • المدى = أعلى قيمة - أقل قيمة.
    • التباين = مربع الانحراف المعياري.


لمزيد من المعلومات حول الإحصاء، والوسط، والتباين يمكنك قراءة المقالات الآتية: تعريف الإحصاء، كيفية حساب المتوسط الحسابي، قانون التباين، كيفية حساب الانحراف المعياري.


  • قانون نظرية فيثاغورس: يُستخدم هذا القانون في المثلث قائم الزاوية، وينص على أنّ: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة أي: الوتر² = ضلع القائمة الأول² + ضلع القائمة الثاني²، ويشكّل أحد ضلعي القائمة قاعدة المثلث، أما الضلع الآخر فيتمثل بالضلع الآخر العمودي عليها.[١١]


لمزيد من المعلومات حول نظرية فيثاغورس يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون نظرية فيثاغورس.


  • قانون ميل المستقيم: يعبّر الميل عن مدى انحراف الخط المستقيم عن محور السينات الموجب، ويمكن التعبير عنه باستخدام مجموعة من القوانين، وهي:[٧]
    • الميل = ظاθ؛ حيث θ تمثّل الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم، ومحور السينات الموجب.
    • لأي نقطتين إحداثياتهما (س1، ص1)، و (س2، ص2) تقعان على الخط المستقيم فإنّ الميل = فرق الصادات/فرق السينات أي؛ الميل= (ص2-ص1) / (س2-س1).
    • المعادلة التي تكون على صورة: ص=أس+ب، فإنّ الميل يساوي معامل س؛ أي: الميل=أ.


لمزيد من المعلومات حول ميل المستقيم يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون ميل الخط المستقيم.


  • قانون المسافة بين نقطتين: يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين إحداثياتهما (س1، ص1)، و(س2، ص2) باستخدام القانون الآتي: المسافة بين نقطتين = [(س2-س1)²+(ص2-ص1)²]√


  • أهم قوانين التكامل: فيما يلي أهم القوانين التي تُستخدم بكثرة في علم التكامل:[٧]
    • ∫ س ن ءس = (س(ن+1)/ (ن+1))+جـ؛ حيث جـ هو أي عدد ثابت، ويُكتب دائماً إذا كان التكامل غير محدود، ءس تعني أن التكامل بدلالة المتغير س، وتقرأ (دال السين).
    • ∫ (1/ س ن) ءس = -1/((ن-1)×س (ن-1))+جـ.
    • ∫(1/س) ءس = لوس+جـ
    • ∫هـ س ءس = هـ س + جـ، حيث هـ هو العدد النيبيري وهو عدد ثابت.
    • ∫ أس ءس = أس/ لوأ + جـ.
    • ∫جاس ءس = -جتاس+جـ، حيث س تمثل أي زاوية.
    • ∫ جتاس ءس = جاس + جـ، حيث س تمثل أي زاوية.


  • أهم قوانين الاشتقاق: إن الاشتقاق يمثّل العملية العكسية للتكامل، وفيما يلي أهم القوانين المستخدمة في علم الاشتقاق:[١٢]
    • اشتقاق الاقتران الثابت (ص= جـ) يساوي 0؛ أي أنّ: ءص/ءس (جـ) = 0، وهذه الإشارة (ءص/ءس) تدل على عملية الاشتقاق، وتعني أن اشتقاق الاقتران ص بدلالة س، وتُقرأ (دال الصاد على دال السين).
    • اشتقاق الاقتران الخطي مثل ق (س)= س، قَ(س)= 1، أو بشكل عام اشتقاق الاقتران الخطي يساوي معامل س.
    • اشتقاق الاقتران التربيعي مثل: ق(س) = س²، قَ(س)= 2س.
    • اشتقاق الجذر التربيعي مثل: ق(س)= (س)√، قَ(س) = (1/2)×س(-1/2).
    • اشتقاق الأس مثل:
      • ق(س)=هـ س، قَ(س)= هـ س.
      • ق (س) = أس، قَ(س)= لوهـ أ×أس.
    • اشتقاق اللوغاريتم مثل:
      • ق(س)= لوهـ (س)، قَ(س)= 1/س.
      • ق(س)= لوأ (س)، قَ(س)= 1/(س×لوهـ (أ)).
    • اشتقاق الاقترانات المثلثية (جا، جتا، ظا)؛ حيث س تمثل أي زاوية:
      • ق(س)= جاس، قَ(س) = جتاس.
      • ق(س)= جتاس، قَ(س) = -جاس.
      • ق(س)= ظاس، قَ(س) = قا²س.
    • اشتقاق الأس:
      • ق(س)= س ن، قَ (س) = ن×س(ن-1)؛ حيث ن: هي ن تمثل الأس.


المراجع

  1. "Perimeter Formulas", www.math.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
  2. ^ أ ب ت "Math Formulas", byjus.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث ج ح خ "List of math formulas", www.matematica.pt, Retrieved 16-6-2020. Edited.
  4. "Basic Math Formulas", www.math-only-math.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
  5. " Math Formulas ", www.dxl.co.za, Retrieved 16-6-2020 (page 25). Edited.
  6. ^ أ ب "Basic Identities", www.math.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
  7. ^ أ ب ت "MATH FORMULAS", www.onlinemath4all.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
  8. "The Compound Interest Equation", www.math.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.
  9. "Interest (An Introduction)", www.mathsisfun.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.
  10. "Maths Formula Sheets", www.cuemath.com, Retrieved 17-6-2020.
  11. "Pythagorean Theorem Formula", byjus.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.
  12. "Derivative Rules", www.mathsisfun.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.