تحليل المعادلة التربيعية

كتابة - آخر تحديث: ٠٦:٥١ ، ٢ أبريل ٢٠٢٠
تحليل المعادلة التربيعية

طرق تحليل المعادلة التربيعية

يمكن تعريف المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) بأنها المعادلة التي تظهر بالصيغة العامّة الآتية:[١]

  • أس² + ب س + ج = 0؛ حيث إنّ:
    • أ، ب، ج عبارة عن أعداد، قد تكون موجبة أو سالبة ويمكن للأعداد (ب، ج) أن تساوي صفراً، ويُطلق على العدد أ مُعامل س²، ب مُعامل س، ج الحدّ الثابت، وأعلى قيمة ممكنة لأس المتغيّر س في المعادلة التربيعية هو 2، وتُعدّ العبارات الآتية أمثلة على العبارات التربيعيّة:[١]
      • س²-7س+11.
      • 4س²+3س-1.
      • س²+8س.
      • 3س²+2.

أما بالنسبة لعمليّة تحليل المعادلة التربيعية إلى العوامل فهي تتمثل في جعل المعادلة التربيعيّة تبدو على شكل حاصل ضرب حدّين أو أكثر وبأبسط صورة، والأمثلة الآتية توضح عمليّة تحليل العوامل:[٢]

  • يُمكن تمثيل المعادلة التربيعيّة: 2س²+10س على الشكل الآتي: 2س(س+5)؛ حيثُ تمّ أخذ 2س كعامل مُشترك، فأصبحت العبارة التربيعة تساوي حاصل ضرب الحدّ 2س بالحدّ (س+5).
  • يُمكن تمثيل المعادلة التربيعيّة: س²-16 على الشكل الآتي: (س-4)(س+4).


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول حلّ المُعادلة التربيعيّة يُمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية، طرق حل المعادلات الجبرية.


طريقة التخمين

يتم من خلال هذه الطريقة تحليل المعادلات التربيعية عندما تكون على الصورة القياسيّة: أس²+ب س+ج=0 عن طريق إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي أ×ج، وفي بعض الحالات قد تكون المُعادلة التربيعيّة أكثر تعقيداً مما يتطلب استخدام طرق أخرى تتمثل باستخدام الصيغة العامّة، أو إكمال المُربع، وفيما يأتي توضيح لاستخدام طريقة التخمين لتحليل المعادلة التربيعية:[٣]

  • تحليل المعادلة التربيعيّة عندما يكون أ=1 يكون على النحو الآتي:[٤]
    • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي ج.
    • كتابة المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س+ك)(س+ل)؛ حيثُ يُمثل ك، ل العددين اللذين تمّ إيجادهما في الخطوة السابقة؛ فمثلاً إذا كان العددان هما: 1، -2 فإن المعادلة التربيعيّة تُكتب على النحو الآتي: (س+1)(س-2).
  • فمثلاً لتحليل المُعادلة التربيعيّة الآتية: س²+س-6=0، أولاً يتمّ تخمين العددين اللذين يساوي حاصل جمعهما 1، وناتج ضربهما يساوي -6، وهما: -2، 3، ثمّ كتابة المُعادلة التربيعيّة على النحو الآتي (س+ك)(س+ل)، وذلك كما يأتي: س²+س-6=(س-2)(س+3)=0.[٤]
  • تحليل المعادلة التربيعيّة عندما يكون أ≠1 يكون على النحو الآتي:[٤]
    • إيجاد حاصل ضرب أ×ج.
    • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي أ×ج، ولنفترض أنهما العددان ك،ل.
    • كتابة العددين مكان ب على شكل مجموع عددين مضروبين في س؛ أي استبدال الحد (ب س)، بـ (ك+ل)س، لتصبح المعادلة على شكل: أس²+(ك+ل)س+ج=0، ثم على شكل: أس²+ك س+ل س+ج=0، بعد فك الأقواس.
    • تحليل أول حدّين، وهما: (أس²+ك س)، وذلك بأخذ العامل المشترك بينهما، ثمّ تحليل آخر حدّين، وهما: (ل س+ج)، وذلك أيضاً بأخذ العامل المشترك بينهما.
    • أخذ عامل مُشترك لكتابة المُعادلة التربيعيّة على صورة حاصل ضرب حدّين.
  • فمثلاً لتحليل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 4س²+15س+9=0، أولاً يتمّ إيجاد حاصل ضرب 4×9=36، ثمّ تخمين العددين اللذين يساوي حاصل جمعهما 15، وناتج ضربهما يساوي 36، وهما 3، 12، ثمّ كتابة المُعادلة التربيعيّة على النحو الآتي: 4س²+3س+12س+9=0، بعدها يتمّ تحليل أول حدّين؛ حيثُ يُؤخذ س كعامل مشترك، وآخر حدّين؛ حيثُ يؤخذ العدد 3 كعامل مُشترك، ثمّ تُكتب على الصورة الآتية: س(4س+3)+3(4س+3)=0، ثمّ يتمّ أخذ الحد (4س+3) كعامل مُشترك وتُكتب المُعادلة على النحو الآتي: (4س+3)(س+3)=0.[٤]


الفرق بين مربعين

يُمثّل الفرق بين مربعين حاصل طرح مربع عدد أو متغير من مربع عدد أو متغير آخر، وهي حالة خاصة من المعادلات التربيعية، وصورتها العامة هي: أ²-ب²؛ مثل: س²-36، ولتحليلها يمكن كتابتها على النحو الآتي:[٥]

  • أ²-ب²=(أ+ب)(أ-ب)؛حيث:
    • أ: الجذر التربيعي للحد الأول.
    • ب: الجذر التربيعي للحد الثاني.
  • فمثلاً لتحليل المعادلة: س²-16، يمكن كتابتها بسهولة بعد أخذ الجذر التربيعي للحد الأول، وللحد الثاني على شكل: س²-16=(س-4)(س+4)، ولتحليل 4س²-36، يمكن كتابتها بسهولة بعد أخذ الجذر التربيعي للحد الأول، وللحد الثاني على شكل: (2س-6)(2س+6)=0


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل الفرق بين مربعين يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية تحليل الفرق بين مربعين.


الصيغة العامة

تُستخدم الصيغة العامّة عندما تفشل الطرق السابقة في تحليل المُعادلة التربيعيّة وتكون الصيغة العامُة على الشكل الآتي:[٦]

  • س= (-ب ±(ب²-4أج)√)/2أ.

وتُستخدم هذه الصيغة للحصول على إجابتين؛ الأولى (س+) والثانية (س-)، وهذا ما تُشير إليه إشارة ±، تستخدم لكتابة المُعادلة على صورة: أ(س-س-)(س-س+).[٦]

  • فمثلاً لتحليل المُعادلة التربيعيّة التالية: 6س²+5س-6 يتمّ تعويض أ=6، ب=5، ج=6-، في قانون الصيغة العامّة لينتج أنّ: س= (-5 ±(5²-4×6×6-)√)/(2×6)، ومنه: س=-5±12/13، فبالتالي: س-=18/12-=3/2-، س+= 8/12 =2/3، ثمّ يتمّ تعويض هاتين القيمتين وكتابة المعادلة التربيعية على الصورة: أ(س-س-)(س-س+)، لينتج أن: 6س²+5س-6=6(س+3/2)(س-2/3)، ثمّ يمكن كتابة المعادلة بصورة أخرى لينتج أن: 6س²+5س-6=6(س+3/2)(س-2/3)=2×(س+3/2)×3×(س-2/3)=(3س-2)(2س+3).[٦]


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل المُعادلات يُمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل كثيرات الحدود.


أمثلة على تحليل المعادلة التربيعية

  • المثال الأول: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: س²+5س+6=0 ؟[٧]
  • الحلّ:
    • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 5، وناتج ضربهما يساوي 6، وهما 2، 3.
    • ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س+2)(س+3)=0.


  • المثال الثاني: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية إلى عواملها: س²+س-12=0 ؟[٧]
  • الحلّ:
    • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 1، وناتج ضربهما يساوي -12، وهما -3، 4.
    • ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س-3)(س+4)=0.


  • المثال الثالث: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: س²+7س+10=0 ؟[٧]
  • الحلّ:
    • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 7، وناتج ضربهما يساوي 10، وهما 2، 5.
    • ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س+2)(س+5)=0.


  • المثال الرابع: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: س²+17س-30=-102 ؟[٧]
  • الحلّ:
    • كتابة المُعادلة على الصورة القياسيّة بإضافة 102 لطرفي المُعادلة لينتج أنّ: س²+17س+72=0.
    • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 17، وناتج ضربهما يساوي 72، وهما 8،9.
    • ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س+8)(س+9)=0.


  • المثال الخامس: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 3س²=5-14س ؟[٨]
  • الحلّ:
    • كتابة المُعادلة على الصورة القياسيّة بطرح (5) من طرفيّ المُعادلة لينتج: 3س²-5=-14س، ثمّ إضافة 14س لطرفيّ المُعادلة لينتج: 3س²+14س-5=0.
    • إيجاد حاصل ضرب 3×-5=-15.
    • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 14، وناتج ضربهما يساوي -15، وهما 15، -1.
    • تعويض العددين مكان 14 في المُعادلة لينتج أنّ: 3س²+(15-1)س-5=0، ومنه: 3س²+15س-س-5=0.
    • تحليل أول حدّين بأخذ 3س كعامل مُشترك، ثمّ تحليل آخر حدّين بأخذ -1 كعامل مُشترك كالآتي: 3س(س+5)-(س+5)=0
    • أخذ (س+5) كعامل مُشترك لينتج أنّ: 3س²+14س-5=(س+5)(3س-1)=0.


  • المثال السادس: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 10س²-11س-6=0 ؟[٨]
  • الحلّ:
    • إيجاد حاصل ضرب 10×-6=-60.
    • إيجاد رقمين حاصل جمعهما يساوي -11، وناتج ضربهما يساوي -60، وهما -15، 4.
    • تعويض الرقمين مكان -11 في المُعادلة لينتج أنّ: 10س²+(4-15)س-6=0، ومنه:10س²-15س+4س-6=0.
    • تحليل أول حدّين بأخذ 5س كعامل مُشترك، ثمّ تحليل آخر حدّين بأخذ 2 كعامل مُشترك كالآتي: 5س(2س-3)+2(2س-3)=0، **أخذ (2س-3) كعامل مشترك لينتج أن: 10س²-11س-6=(2س-3)(5س+2)=0 وهي الصيغة النهائيّة.


  • المثال السابع: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 2(س²+1)=5س باستخدام طريقة التخمين ؟[٩]
  • الحلّ:
    • كتابة المُعادلة على الصورة القياسيّة بإدخال 2 داخل القوس لينتج: 2س²+2=5س، ثمّ طرح 5س من طرفيّ المُعادلة لينتج: 2س²-5س+2=0.
    • إيجاد حاصل ضرب 2×2=4.
    • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي -5، وناتج ضربهما يساوي 4، وهما -1، -4.
    • تعويض العددين مكان -5 في المُعادلة لينتج أنّ: 2س²+(-4-1)س+2=0، ومنه: 2س²-4س-س+2=0.
    • تحليل أول حدّين بأخذ 2س كعامل مُشترك، ثمّ تحليل آخر حدّين بأخذ -1 كعامل مُشترك كالتالي: 2س(س-2)-(س-2)=0.
    • أخذ (س-2) كعامل مُشترك لينتج أنّ: 2س²-5س+2=(س-2)(2س-1)=0.


المراجع

  1. ^ أ ب "Factorising quadratics", www.mathcentre.ac.uk,7-8-2003، Retrieved 31-3-2020. Edited.
  2. "Solving a Quadratic Equation: Factorisation", www.toppr.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.
  3. "Factoring Quadratics", www.chegg.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.
  4. ^ أ ب ت ث "Solving Quadratic Equations by Factoring", www.courses.lumenlearning.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.
  5. "Difference Of Squares", www.brilliant.org, Retrieved 31-3-2020. Edited.
  6. ^ أ ب ت "factoring-quadratics", www.mathsisfun.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.
  7. ^ أ ب ت ث "How to factor the quadratic equation", www.varsitytutors.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.
  8. ^ أ ب "solve a quadratic equation by factoring", www.onemathematicalcat.org, Retrieved 31-3-2020. Edited.
  9. "Quadratic Equations by Factoring", www.math-only-math.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.