حساب زوايا المثلث

بواسطة: - آخر تحديث: ٠٧:٣٦ ، ٢١ يناير ٢٠١٨
حساب زوايا المثلث

المثلث

المثلث هو شكل هندسي مغلق، يتكوّن من ثلاثة رؤوس يصل فيما بينها خطوط مستقيمة تسمى بأطراف (أضلاع) المثلث، وبالتالي فإن للمثلث ثلاث زوايا داخلية مجموع قياساتها 180 درجة، وللمثلثات أنواع تختلف باخلاف قياسات الزوايا، وتختلف كذلك باختلاف أطوال الأضلاع، ولإيجاد قياس الزوايا المجهولة في أي مثلث، يجب معرفة أنواع المثلثات، والنِّسب المثلثية والعلاقة بينها.[١][٢]


خصائص المثلث

يمتاز المثلث بوجود بعض الخصائص التي يختص فيها عن غيره من الأشكال الهندسية، ومن هذه الخصائص ما يأتي:[٣][١]

  • مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلية عبارة عن مجموع زاويتين قائمتين، وبالتالي فإن مجموع قياسات زواياه 180 درجة.
  • قياس أي زاوية خارجة عن المثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين، حيث أن قياس الزاوية الخارجة أكبر من أي من الزاويتين البعيدتين.
  • إذا جُمع طولي أقصر جانبين (ضلعين) في المثلث، سيكون بالتاكيد أكبر من طول الضلع الثالث.
  • تتقاطع جميع القطع المستقيمة المتوسطة في المثلث عند نقطة واحدة.


أنواع المثلثات

إن أنواع المثلثات جُزئت بناءً على أساسين، وهما زواياها، وأطوال أضلاعها.[٢]


من حيث الزوايا

تُصنف أنواع المثلثات بناءً على زواياها إلى ثلاثة أنواع، وهي:[٤][٢]

  • المثلث القائم الزاوية: هو المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة، قياسها 90 درجة.
  • المثلث الحاد الزوايا: هو المثلث الذي جميع زواياه حادة، قياس كل منها أقل من 90 درجة.
  • المثلث المنفرج الزاوية: هو المثلث الذي فيه زاويتين حادتين، وزاوية واحدة منفرجة (قياسها أكبر من 90 درجة).


من حيث أطوال الأضلاع

تُصنف أنواع المثلثات بناءً على أطوال أضلاعها إلى ثلاثة أنواع، وهي:[٤][٢]

  • المثلث المتساوي الطرفين (الضلعين): هو المثلث الذي يحتوي على طرفين متطابقين، مما يؤدي إلى تساوي زاويتي القاعدة، المقابلتين للطرفين.
  • المثلث المتساوي الأطراف (الأضلاع): هو المثلث الذي يحتوي على ثلاثة أطراف متطابقة، مما يؤدي إلى تساوي قياسات زواياه الثلاثة، وبالتالي فإن مجموع زوايا المثلث مقسومة على ثلاثة زوايا تساوي 60 درجة، وهو قياس كل زاوية من زوايا المثلث المتطابق الأطراف.
  • المثلث المختلف الأطراف: هو المثلث الذي أطوال أطرافه مختلفة عن بعضها البعض، وبالتالي ذلك يؤدي إلى إختلاف قياسات زواياه أيضاً.


قياسات زوايا المثلث

زاوية المثلث هي النقطة المشتركة بين ضلعي المثلث، أما عددها فهي ثلاثة زوايا مجموع قياساتها180، ويمكن إيجاد قياسات زوايا المثلث باستخدام المنقلة، أو بطرق حسابية أُخرى.[٥]


أمثلة على حساب زوايا المثلث

ومن الأمثلة التي توضح كيفية إيجاد زوايا المثلث ما يأتي:

  • مثال: مثلث فيه قياس الزاوية الأولى تساوي20 درجة، وقياس الزاوية الثانية تساوي65 درجة، فجد قياس الزاوية الثالثة.[٥]
الحل:
بما أن مجموع قياسات المثلث تساوي 180 درجة، فإن:
180= 20+ 65+الزاوية س.
180=85+ الزاوية س، (وبطرح العدد 85 من طرفي المعادلة) تصبح:
95 درجة هو قياس الزاوية س.
  • مثال2:مثلث فيه قياس الزاوية الأولى تساوي125 درجة، وقياس الزاوية الثانية تساوي35 درجة، فجد قياس الزاوية الثالثة.[٥]
الحل:
بما أن مجموع قياسات المثلث تساوي 180 درجة، فإن:
180= 125+ 35+ الزاوية س.
180= 160+ الزاوية س، (وبطرح العدد 160من طرفي المعادلة) تصبح:
20 درجة هو قياس الزاوية س.


النسب المثلثية

هي النسب بين أطوال أضلاع المثلث القائم، حيث تستخدم لإيجاد زوايا و أضلاعه، منها الجيب والجتا والظل، وفيما يأتي توضيح لكل منها على حدة.[٦]

قانون جيب الزاوية س= طول الضلع المقابل للزاوية س÷ طول وتر المثلث القائم.[٦]


جيب الزاوية الحادة

جيب الزاوية الحادة: هو إحدى النسب المثلثية للمثلث القائم الزاوية، وهي نسبة طول الضلع الذي يقابل الزاوية الحادة إلى طول الوتر، ويرمز للجيب الزاوية، بالرمز(جا) الزاوية، حيث أن العلاقة بين قيمة الجيب و قياس الزاوية هي علاقة طردية، فكلما زاد قياس الزاوية الحادة تزيد قيمة الجيب.[٦]

قانون جيب الزاوية س= طول الضلع المقابل للزاوية س÷ طول وتر المثلث القائم.[٦]


جيب تمام الزاوية الحادة

جيب تمام الزاوية الحادة: هو إحدى النسب المثلثية للمثلث القائم الزاوية، وهي نسبة طول الضلع الذي يجاور الزاوية الحادة إلى طول الوتر، ويرمز لجيب التمام الزاوية، بالرمز(جتا) الزاوية، حيث أن العلاقة بين قيمة جيب التمام و قياس الزاوية هي علاقة عكسية، فكلما زاد قياس الزاوية الحادة تقل قيمة جيب التمام.[٦]


قانون جيب تمام الزاوية س= طول الضلع المجاور للزاوية س÷ طول وتر المثلث القائم.[٦]


ظل الزاوية الحادة

ظل الزاوية الحادة: هو إحدى النسب المثلثية للمثلث القائم الزاوية، وهي نسبة (جا) : (جتا)، ويرمز لظل الزاوية، بالرمز(ظا) الزاوية، حيث أن العلاقة بين قيمة ظل الزاوية و قياس الزاوية هي علاقة طردية.[٦]


قانون ظل الزاوية س= جا س÷ جتا س.

قانون ظل الزاوية س= (المقابل÷ الوتر)÷ (المجاور÷ الوتر).

وباختصار مقام البسط والمقام، ينتج أن:

قانون ظل الزاوية س= طول الضلع المقابل للزاوية س÷ طول الضلع المجاور للزاوية س.[٦]


العلاقة بين النسب المثلثية

يتكون بين النسب المثلثية مجموعة من العلاقاتفيما بينها، ومن هذه العلاقات ما يأتي:[٦]

  • العلاقة الأولى: جا(90- أ)= جتا أ.
  • العلاقة الثانية: جتا(90- أ)= جا أ.
  • العلاقة الثالثة: جتا² أ+ جا² أ= واحد.
  • العلاقة الرابعة: ظا أ= جا أ÷ جتا أ، حبث أن المقام لا يساوي صفر.


نظريّة فيثاغورس

قَدم العالم الرياضي فيثاغورس نظريته  المشهورة والتي سُميت على اسمه، وهي نظرية (فيثاغورس) التي تختص في المثلث القائم الزاوية، لإيجاد طول الضلع الثالث، وهي: مربع الوتر 
يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.[٣][٧]
نظرية فيثاغورس: (طول الوتر)²= (طول الضلع الأول)² +( طول الضلع الثاني)².[٧]


أمثلة على حل المثلث القائم الزاوية

  • مثال1: أ ب ج مثلث قائم الزاوية في ب، فيه أ ب= 3سم، ب ج= 4سم، جد ما يأتي:[٦]
  1. طول الضلع أ ج.
  2. جيب الزاوية أ.
  3. جيب تمام الزاوية أ.
  4. ظل الزاوية أ.
الحل:
يُرسم المثلث أ ب ج بشكل تقريبي، وتُحدد رؤوسه وزاويته القائمة، حيث يساعد ذلك في تبسيط الحل.
  • يُلاحظ أن طول الضلع المطلوب هو طول الضلع المقابل للزاوية القائمة، أي أنه هو الوتر.
نظرية فيثاغورس:(أ ج)²= (أ ب)²+ (ب ج)².
(أ ج)²= (3)²+ (4)².
(أ ج)²= 9+16.
(أ ج)²= 25، (وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين) تُصبح:
طول الوتر= 5سم، وهو أطول ضلع بالمثلث أ ب ج.
  • جا الزاوية أ= طول الضلع المقابل للزاوية أ ÷ طول الوتر.
جا الزاوية أ= 4 مقسومة عل العدد 5.
إذن: جا الزاوية أ= 0.8 ، (يمكن استخدام الآلة الحاسبة لمعرفة قياس الزاوية بالدرجات).
  • جتا الزاوية أ= طول الضلع المجاور للزاوية أ ÷ طول الوتر.
جتا الزاوية أ=3 مقسومة على العدد 5.
إذن: جا الزاوية أ= 0.6 ، (يمكن استخدام الآلة الحاسبة لمعرفة قياس الزاوية بالدرجات).
  • ظا الزاوية أ= جا أ ÷ جتا أ.
ظا الزاوية أ= 0.8 مقسومة عل العدد 0.6
ظا الزاوية أ= تقريباً 1.333333 ، أو تبقى على صورة كسر عادي.
  • مثال2: س ص ع مثلث قائم الزاوية في ص، فيه س ص=3سم، ص ع= (3 في الجذر التربيعي للعدد 3)سم، جد ما يلي:[٦]
  1. طول الوتر س ع.
  2. قياس الزاوية ع.
  3. قياس الزاوية س.
الحل:
  • نظرية فيثاغورس:(الوتر)²= (9)+ (27).
(الوتر)²= 36.
إذن الوتر= 6 سم.
  • لإيجاد قياس الزاوية ع ، يمكن استخدام جا، أو جتا، أو ظا، لأن جميع أطوال أضلاع المثلث معلومة، وهناسيتم استخدم الجيب.
جا الزاوية ع= الضلع المقابل للزاوية ع مقسوماً على الوتر.
جا الزاوية ع= 3 مقسوماً على 6.
جا الزاوية ع= 0.5
الزاوية التي جيبها 0.5 هي الزاوية التي قياسها30 درجة،( تُوجد الزاوية باستخدام الآلة الحاسبة).
إذن قياس الزاوية ع= 30 درجة.
  • أما قياس الزاوية س، يتم إيجاده من خلال مجموع قياسات زوايا المثلث، لأن هنالك زاويتين معلومتين وهما الزاوية ع، والزاوية ص.
180= 30+90+ الزاوية س.
180= 120+ الزاوية س، وبطرح العدد120 من الطرفين.
ينتج أن: 60 درجة هو قياس الزاوية س.


المراجع

  1. ^ أ ب الدكتور خير شاهين، المثلث: (الطبعة الأولى)، عمان: ktab INC، صفحة 3، جزء الأول. بتصرّف.
  2. ^ أ ب ت ث أحمد حلمي، محمود سليم (2005)، الرسم الهندسي (الطبعة الأولى)، القاهرة: مجموعة النيل العربية، صفحة 69-75. بتصرّف.
  3. ^ أ ب شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 106-124ملف102-127، جزء ثاني. بتصرّف.
  4. ^ أ ب "Triangles", www.mathsisfun.com, Retrieved 5-12-2017. Edited.
  5. ^ أ ب ت فدوى الحشاش ،أمين المستريحي،محمد عربيات (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف السادس (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 210-213/ملف (203-240)، الجزء الثاني. بتصرّف.
  6. ^ أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز زينب مقداد، محمد عربيات، ياسمين نصير (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف التاسع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 142-162ملف139-169، جزء الثاني. بتصرّف.
  7. ^ أ ب "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 6-12-2017. Edited.