خصائص الأعداد المركبة

كتابة - آخر تحديث: ١١:٤٤ ، ١٣ أغسطس ٢٠٢٠
خصائص الأعداد المركبة

نظرة عامة حول الأعداد المركبة

من المعروف أنه عند تربيع أي عدد من الأعداد الحقيقيّة ما عدا الصفر فإنّ الناتج يكون دائماً عدداً موجباً، وبالتالي لا يُمكن لأيّ عدد حقيقي أن يُحقق المعادلة: س²+1=0، لأنه من المُستحيل أن تكون قيمة س² سالبة، لذلك تم استحداث مجموعة جديدة من الأعداد وإضافتها إلى مجموعات الأعداد المعروفة وهي الأعداد المركبة (بالإنجليزية: Complex Numbers)، ومن أهم ميزاتها هو احتواؤها على العدد i، وهو عدد مربعه يساوي سالب واحد؛ أي أنّ: ²i = -1، وتُكتب عادة على الشكل أو الصورة العامة الآتية:

  • ك = أ+ب.i، حيث؛ (ك): عدد مركب، (أ، ب) أعداد حقيقية، أمّا (i² = -1، ومنه: i = √-1)، ومن الأمثلة على الأعداد المركبة ما يلي: 3+2i ،3i.[١][٢]


تجدر الإشارة هنا إلى أنه يُمكن اعتبار كلّ عدد حقيقي على أنّه عدد مركب؛ فإذا كان ح هو عدد حقيقي؛ فإنّه يمكن كتابته على شكل: ح = ح+0×i.[١][٢]


لمزيد من المعلومات حول الأعداد الحقيقية وخصائصها يُمكن قراءة المقالات الآتية: ما هي الأعداد الحقيقية، خصائص الأعداد الحقيقية


خصائص الأعداد المركبة

من خصائص الأعداد المركبة ما يأتي:[٣]

  • إذا كانت أ،ب أعداداً حقيقية، وكان أ+ i.ب = 0؛ فإنّ أ=0، ب=0.
  • إذا كانت أ،ب،ج،د أعداداً حقيقية، وكان أ+ i.ب = ج+i د؛ فإنّ: أ=ج، ب=د.
  • إذا كانت ع1، ع2، ع3 أعداداً مركبة؛ فإنّها تحقق الخاصيّة التبادلية وخاصيتي التوزيع والتجميع كما يأتي:
    • ع12 = ع21 (الخاصيّة التبادلية للجمع).
    • ع1×ع2 = ع2×ع1 (الخاصيّة التبادلية للضرب).
    • 12)+ع3 = (ع23)+ع1 (الخاصيّة التجميعية للجمع).
    • 1×ع2)×ع3 = (ع2×ع3)×ع1 (الخاصيّة التجميعية للضرب).
    • ع1×(ع23) = ع1×ع21×ع3. (خاصيّة توزيع الضرب على الجمع).
  • الناتج من جمع عدد مركب مع مرافقه (بالإنجليزية: Conjugate) هو عدد حقيقي، فإذا كان (أ+ i.ب) عدداً مركباً وكان مرافقه (أ- i.ب)، فإن نتيجه جمعهما معاً هي: (أ+ i.ب) + (أ- i.ب) = 2.أ؛ حيث أ: عدد حقيقي.
  • ناتج ضرب عدد مركب بمرافقه هو عدد حقيقي، فإذا كان (أ+ i.ب) عدداً مركباً وكان مرافقه (أ- i.ب)، فإن نتيجة ضربهما هي: (أ+ i.ب)×(أ- i.ب) = أ²-أ.بi²+أ.بi²-ب².i² = أ²-ب²i.²، وبما أنّ: i²=-1 فإنّ ناتج الضرب هو: أ²+ب² وكلاهما عددان حقيقيان.
  • إذا كان ناتج جمع وضرب العددين المركبين هو عدد حقيقي؛ فالعددان مرافقان لبعضهما.
  • إذا كان: ع1، ع2 عددين مركبين؛ فإنّ القيمة المطلقة لناتج جمعهما تكون أقل أو مساوية للقيمة المطلقة للعدد ع1 عند جمعها مع القيمة المطلقة للعدد ع2، أي أنّ: |ع12| ≤ |ع1|+|ع2|.
  • ناتج جمع أو طرح أو ضرب أي عددين مركبين هو عدد مركب.[٤]
  • عند جمع 0 إلى عدد مركب ينتج نفس العدد؛ أي أنّ: (أ+ i.ب)+0= (أ+ i.ب).[٤]
  • عند جمع عدد مركب مع معكوسه ينتج العدد 0: ع+(-ع)= (أ+ i.ب) +- ((أ+ i.ب))= أ+ i.ب-أ-i.ب)=0.[٤]
  • عند ضرب 1 بعدد مركب ينتج نفس العدد: 1×(أ+ i.ب)=(أ+ i.ب).[٤]
  • عند ضرب العدد المركب (ع) بـ (1/ع)، ينتج العدد 1؛ أي ع×1/ع = 1.[٤]
  • لا يُمكن لعدد حقيقي أن يتساوى مع عدد تخيلي، ويُمكن إثبات ذلك كما يأتي:[٥]
    • نفترض أن أ،ب عددان حقيقيان لا يساويان الصفر، وكان أ = i.ب؛ حيث: i.ب عدد تخيّلي، ثم بتربيع الطرفين: أ²=(ب².i²)، وتعويض قيمة i² = -1، ينتج أنّ: أ²=-ب²، ثمّ نقل ب² إلى الطرف الآخر لينتج أنّ: أ²+ب²=0، وحتى تتحقق هذه المعادلة يجب لكل من قيمة أ، ب أن تساوي الصفر، ولكن ذلك يُناقض الفرضية الأولى أنّ: أ،ب≠0، وبالتالي لا يُمكن لعدد حقيقي أن يتساوى مع عدد تخيلي.
  • يتساوى العددان المركبان إذا تساوى الجزء الحقيقي في كليهما وتساوى الجزء التخيلي في كليهما؛ أي أنّ: (أ+ i.ب) = (ج+ i.د)، إذا كان: أ=ج، ب=د، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:[٥]
    • مثال: ما هي قيم س، ص في: ع = 2س+4.i.ص، ل= -i³.س-ص+3؟
      • مساواة الجزأين الممثلين للعدد الحقيقي معاً: 2س = 3-ص ..... المعادلة الأولى.
      • مساواة الجزأين الممثلين للعدد التخيلي معاً: -i³.س = 4.i.ص، وبالتالي ينتج أنّ: س = 4ص ..... المعادلة الثانية.
      • تعويض قيمة س من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لينتج أنّ: 2×4×ص=3-ص لينتج: 9ص=3، ثمّ ترتيب المعادلة لينتج أنّ: ص=⅓، ثمّ تعويض قيمة ص في: س=4ص، لتنتج قيمة س= 4⁄3.
    • مثال: ما هي قيم س، ص إذا كان (3-4.i)×(س+ص.i.0+1= (i؟
      • بأخذ الجزء الأيسر من المعادلة وفك الأقواس ينتج أنّ: 3س+3ص.i-(4 س.i) -(4.ص.i²).
      • تعويض قيمة i² = -1 لينتج أنّ: 3س+3ص.i-(4 س.i) +(4.ص).
      • أخذ i كعامل مشترك لينتج أنّ: 3س+4ص+i.(3ص -4 س).
      • بما أن العددين المركبين متساويين فإن الجزء الحقيقي متساوٍ في كليهما حسب الخاصيّة السابقة: 3س+4ص=1، والجزء التخيلي متساوِ: i(3ص -4 س)=0.i، وبترتيب المعادلة ينتج أنّ: 3ص=4س، ومنه ص=4/3×س ..... المعادلة الأولى.
      • تعويض قيمة ص من المعادلة الأولى في: 3س+4ص=1 لينتج أنّ: 3س+4(4/3×س)=1، 3س+16⁄3س=1، وبتوحيد المقامات ينتج أنّ: 9⁄3س+16⁄3س=1، 25⁄3س=1، ومنه: س=3⁄25.
      • تعويض قيمة س في المعادلة الأولى: ص=4/3س، لينتج أنّ قيمة ص = 4⁄25.


العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

يُمكن إجراء العمليات الحسابية المختلفة على الأعداد المركبة كما يأتي:[٦]

  • الجمع: تتم عملية جمع عددين مركبين عن طريق جمع كل من الجزء الحقيقي في كليهما على حدة، وجمع الجزء التخيلي على حدة؛ فمثلاً عند جمع العددين المركبين: (أ+ب.i) + (ج+د.i)، ينتج أنّ: (أ+ج)+(ب+د).i.
  • الضرب: تتم عملية الضرب بفك الأقواس وتعويض قيمة i²=-1؛ فمثلاً عند ضرب العددين المركبين: (أ+ب i)×(ج+د.i)، ينتج أنّ: أ.ج + أ.د.i + ب.ج.i + ب.د.i²، وتعويض i²=-1 لينتج أنّ: أ.ج+أ.د.i+ب.ج.i-ب.د، ثمّ ترتيب الأجزاء الحقيقية والتخيلية، وتجميعهما معاً لينتج أنّ: أ.ج-ب.د+(أ.د+ب.ج).i.
  • مرافق العدد المركب: وينتج عند استبدال i بالعدد المركب بـ : (-i)، ويتم الإشارة إليه عن طريق وضع خط فوق العدد المركب؛ فمثلاً مرافق العدد المركب (أ+ب.i) هو: (أ-ب.i).
  • القسمة: تتم عملية قسمة عدد مركب على عدد مركب آخر عن طريق ضرب كل من البسط والمقام بمرافق المقام؛ فمثلاً عند قسمة العدد المركب ز على و: ز/و، يجب أولاً ضرب كل من البسط والمقام بمرافق (و) والذي يساوي: (وَ) فينتج أنّ: (ز×وَ)÷(و×وَ)= (ز×وَ)/|و|².
    • مثال: (1+i) ÷ (i-1).
    • ضرب كلّ من البسط والمقام بمرافق المقام (1+i) لينتج أنّ: (1+i) ÷ (i-1) = i.


لمزيد من المعلومات حول الأعداد المركبة يُمكن قراءة المقال الآتي: بحث عن الأعداد المركبة


المراجع

  1. ^ أ ب "1.3 REAL NUMBER PROPERTIES; COMPLEX NUMBERS", www.math.usu.edu, Retrieved 19-7-2020. Edited.
  2. ^ أ ب "Complex Numbers", www.byjus.com, Retrieved 19-7-2020. Edited.
  3. "Properties of Complex Numbers", www.math-only-math.com, Retrieved 19-7-2020. Edited.
  4. ^ أ ب ت ث ج "Operations on Complex Numbers", www.toppr.com, Retrieved 19-7-2020. Edited.
  5. ^ أ ب O.P. Malhotra , S.K. Gupta , Anubhuti Gangal (1965), ISC Maths XI, New Delhi: S Chand school, Page 188. Edited.
  6. Dan Margalit, Joseph Rabinoff, "AComplex Numbers"، www.textbooks.math.gatech.edu, Retrieved 19-7-2020. Edited.