خصائص الأعداد الحقيقية

كتابة - آخر تحديث: ١١:٤٥ ، ١٦ يونيو ٢٠٢٠
خصائص الأعداد الحقيقية

نظرة عامة حول الأعداد الحقيقية

يمكن تعريف الأعداد الحقيقية (بالإنجليزية: Real Numbers) بأنها جميع الأعداد التي تقع على خط الأعداد، ويُرمز لها عادة بالرمز (R)، وهي تتضمن ما يلي:[١]

  • الأعداد الطبيعية (ط): تتضمن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة مثل: 1، 2، 3، ......
  • الأعداد الصحيحة (ص): تتضمن جميع الأعداد غير الكسرية الموجبة، والسالبة، والصفر؛ مثل: .......، 3، 2، 1، 0، -1، -2، -3، .....
  • الأعداد النسبية: تتضمن أي عدد يمكن كتابته على صورة أ/ب، والكسور العشرية، والكسور العشرية الدورية المنتظمة مثل: -1/2، 6.25، 0.318 (حيث إن الجزء المظلل يمثل الجزء الدوري)، والجذور التي لها مربعات، أو مكعبات كاملة مثل 4√.
  • الأعداد غير النسبية: تتضمن الكسور العشرية الدورية غير المنتظمة، والجذور التي ليس لها مربعات، أو مكعبات كاملة مثل: ......0.121221222، 3√، π.


خصائص الأعداد الحقيقية

تتميز الأعداد الحقيقية بالخصائص الآتية:[٢]

  • خاصية الانغلاق: (بالإنجليزية: Closure Properties) إذا كان أ، وب عددان حقيقيان فإن ناتج جمع أو طرح العددين (أ+ب)، (أ-ب) يساوي عدداً حقيقياً أيضاً، وكذلك الحال بالنسبة لناتج ضرب العددين (أ×ب) فهو يساوي أيضاً عدداً حقيقياً؛ فمثلاً إذا كان العددان 3،11 حقيقيان فإنّ: 3+11 = 14، 3×11 = 33، والعددان 14، و33 يمثلان أعداداً حقيقية، لكن ذلك لا ينطبق على عملية القسمة، وذلك كما يلي:
    • إن العددين 0، و5 يمثلان عددان حقيقيان، لكنّ ناتج قسمة 5/0 يعطي قيمة غير مُعرّفة وهو عدد غير حقيقي؛ حيث إن القسمة على صفر دائماً تعطي قيمة غير معرفة.
  • الخاصية التبديلية: (بالإنجليزية: Commutative Properties) وهذه الخاصية تنطبق على عملية جمع الأعداد الحقيقية، وضربها، وتعني أنّه: إذا كان أ، ب عددان حقيقيان فإنّ: أ+ب = ب+أ، و أ×ب = ب×أ، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:
    • 3+4 = 4+3، وفي كلتا الحالتين الناتج يساوي 7.
    • 4×8 = 8×4، وفي كلتا الحالتين الناتج يساوي 32.
  • الخاصية التجميعية (بالإنجليزية: Associative Properties) وهذه الخاصية تنطبق على عملية جمع، وطرح الأعداد الحقيقية، وتعني أنّه إذا كانت أ، ب، جـ أعداداً حقيقية فإنّ: (أ+ب)+جـ = أ+(ب+جـ)، و (أ×ب)×جـ = أ×(ب×جـ)، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:
    • (2+6)+1 = 2+(6+1)، وبالتالي: 8+1 = 2+7، ومنه: 9 = 9؛ أي أنه في كلتا الحالتين تم الحصول على نفس النتيجة.
    • (2×3)×5 = 2×(3×5)، وبالتالي: 6×5 = 2×15، ومنه: 30 = 30؛ أي أنه في كلتا الحالتين تم الحصول على نفس النتيجة.
  • الخاصية التوزيعية: (بالإنجليزية: Distributive Properties): تعني هذه الخاصية أنّه يمكن توزيع عملية الضرب على عمليتي الجمع والطرح؛ فمثلاً: جـ×(أ+ب) = جـ×أ + جـ×ب، ويمكن إثبات ذلك كما يلي: إنّ 4×(أ+ب) تعني أن هناك أربعة حدود من (أ+ب)؛ أي (أ+ب) + (أ+ب) + (أ+ ب) + (أ+ب) = 4×أ + 4×ب، وهي تعادل النتيجة التي يمكن الحصول عليها عند تطبيق الخاصية التوزيعية، ولتوضيح ذلك إليك الأمثلة الآتية:
      • 2×(5+7) = 2×5 + 2×7 = 24.
      • 6×(س+3) = 6×س + 6×3 = 6س+18.
  • خاصية الهوية: (بالإنجليزية: The Identity Properties) العنصر المحايد لعملية الجمع هو صفر، وهذا يعني أن إضافة أي عدد للصفر يعطي نفس العدد؛ مثل: 6+0 = 6، والعنصر المحايد لعملية الضرب هو 1، وهذا يعني أن ضرب أي عدد في 1 يُعطي العدد نفسه مثل: 6×1 = 6، وبشكل عام إذا كان أ عدد حقيقي فإنّ:
    • أ+0 = أ.
    • أ×1 = أ.
  • خاصية المعكوس: (بالإنجليزية: Inverse Properties) يمكن تعريف المعكوس الجمعي لأي عدد حقيقي بأنه العدد الذي عند إضافته إلى ذلك العدد يُعطي النتيجة (0)؛ فمثلاً المعكوس الجمعي للعدد 3 هو -3، وذلك لأنّ: 3+(-3) = 0، والمعكوس الجمعي للعدد 15- مثلاً هو 15، أما المعكوس الضربي فهو العدد الذي عند ضربه في أي عدد حقيقي يعطي النتيجة (1)، ويمثل مقلوب العدد دائماً المعكوس الضربي له؛ فمثلاً المعكوس الضربي للعدد 6 هو 1/6، وذلك لأنّ: 6×(1/6) = 1، والمعكوس الضربي للعدد 2/3 هو 3/2، وبشكل عام إذا كان أ عدد حقيقي فإنّ:
    • المعكوس الجمعي له هو -أ، وذلك لأنّ: أ+(-أ) = 0، و (-أ)+أ = 0.
    • المعكوس الضربي له هو مقلوب العدد؛ أي (1/أ)، وذلك لأنّ: أ×(1/أ) = 1.


أمثلة حول خصائص الأعداد الحقيقية

  • المثال الأول: باستخدام خصائص الأعداد الحقيقية ضع القيمة المناسبة في الفراغ لكل مما يأتي: أ) 6+5 = () + 6. ب) ل+12 = 12+(). جـ) 4×(ع-5) = ()×4. د) (9×أ-1)×() = (2×ب+7)×(9×أ-1). هـ) (9+2) +5 = 9+() و) س+(5+ص) = ()+ص؟[٢]
    • الحل:
    • أ) باستخدام الخاصية التبديلية فإنّ: 6+5 = (5)+6.
    • ب) باستخدام الخاصية التبديلية للجمع فإنّ: ل+12 = 12+(ل).
    • جـ) باستخدام الخاصية التبديلية للضرب فإنّ: 4×(ع-5) = (ع-5)×4.
    • د) باستخدام الخاصية التبديلية للضرب فإنّ: (9×أ-1)×(2×ب+7) = (2×ب+7)×(9×أ-1).
    • هـ) باستخدام الخاصية التجميعية فإنّ: (9+2)+5 = 9+(2+5).
    • و) باستخدام الخاصية التجميعية فإنّ: س+(5+ص) = (س+5)+ص.


  • المثال الثاني: يريد أحمد إجراء عملية الطرح: 1273-497، ولكنه لا يمتلك آلة حاسبة، فقرر إجراء عملية الطرح باستخدام الخاصية التجميعية كما يلي: أ) الخطوة الأولى: 1273-497. ب) الخطوة الثانية: 1273 - (500-3) جـ) الخطوة الثالثة: (1273-500) - 3 د) الخطوة الرابعة: 773-3 هـ) الخطوة الخامسة (النتيجة): 770؛ فأخبره صديقه خالد أن إجابته خطأ، وأن الإجابة تساوي 776، فأي من الخطوات التي قام بها أحمد كانت خطأ؟[٣]
    • الحل:
    • الخطوة الثالثة (جـ)، وذلك لأن الخاصية التجميعية تنطبق على عملية الجمع، والضرب فقط، ولا تنطبق على عملية الطرح.


  • المثال الثالث: تريد سارة إجراء عملية القسمة 40/9، ولكنها لا تملك آلة حاسبة فأجرت الخطوات الآتية: أ) الخطوة الأولى: 40/(5+4) ب) الخطوة الثانية: (40/4) + (40/5) جـ) الخطوة الثالثة: 10+8 د) الخطوة الرابعة: 18، فأخبرتها صديقتها سلمى أن الإجابة خطأ، وأن الإجابة يجب أن تساوي 4.44، فأي من الخطوات التي قامت بها سارة تعتبر خطأ؟[٣]
    • الحل:
    • الخطوة الثانية، وذلك لأن الخاصية التوزيعية تنطبق على حالة الضرب فقط، وليس القسمة.


  • المثال الرابع: بسّط ما يلي إلى أبسط صورة: 18×ب + 6×ك + 15×ب + 5×ك؟[٤]
    • الحل: باستخدام الخاصية التجميعية فإنه يمكن جمع الحدود المتشابهة معاً كما يلي: 18×ب + 6×ك + 15×ب + 5×ك= (18+15)×ب+ (6+5)×ك = 33×ب+11×ك.


  • المثال الخامس: بسّط ما يلي إلى أبسط صورة: ((5/13) + (3/4)) + (1/4)؟[٤]
    • الحل:
    • لإجراء عملية الجمع فإنه يجب أولاً أن تكون المقامات متشابهة، ويمكن ملاحظة أن آخر حدين مقاماتهم متشابهة، وبالتالي يمكن باستخدام الخاصية التجميعية إعادة كتابة المسألة كما يلي لتسهيل حسابها: (5/13) + ((3/4)+(1/4))، لينتج أنّ:
      • (5/13) + (4/4) = (5/13)+1 =(5/13)1، وهو عدد كسري
      • بتحويل العدد الكسري إلى كسر ينتج أنّ: (5/13)1= 18/13.


  • المثال السادس: ما هو المعكوس الجمعي للقيم الآتية: أ) 5/8 ب) 0.6 جـ) -8 د) -4 / 3؟[٤]
    • الحل:
    • المعكوس الجمعي يمثل نفس العدد ولكن باختلاف الإشارة، وبالتالي:
      • أ) المعكوس الجمعي للعدد 5 = -5.
      • ب) المعكوس الجمعي للعدد 0.6 = 0.6-.
      • جـ) المعكوس الجمعي للعدد -8 = 8.
      • د) المعكوس الجمعي للعدد -4/3 = 4/3.


  • المثال السابع: ما هو المعكوس الضربي لكل من القيم الآتية: أ) 9. ب) - 1/9. جـ) 0.9.؟[٤]
    • الحل:
    • المعكوس الضربي يمثل المقلوب، وبالتالي:
      • أ) المعكوس الضربي للعدد 9 هو: 1/9.
      • ب) المعكوس الضربي للعدد -1/9: -9.
      • جـ) العدد 0.9 عبارة عن 9/10، وبالتالي فإن المعكوس الضربي له: 10/9.


  • المثال الثامن: هل ناتج ضرب (-6)×(+3) يساوي عدداً حقيقياً؟[٥]
    • الحل:
    • نعم، وذلك لأنّ: -6×(+3) = -18، وهو عدد حقيقي وفق خاصية الانغلاق.


  • المثال التاسع: هل (-3×2)×2 تساوي -3×(2×2)؟[٥]
    • الحل: الطرفان وفق الخاصية التجميعية للضرب متساويان، ولإثبات ذلك:
      • (-3×2)×2 = -6×2 = -12.
      • -3×(2×2) = -3×4 = -12


  • المثال العاشر: بناءً على معرفتك بخصائص الأعداد الحقيقية ما هي الخاصية التي تمثل كلاً مما يلي: أ) 7+(-2) = (-2)+7 ب) س+(3+ص) = (س+3) + ص جـ) أ + ((ب+جـ)×د) = أ+د×(ب+جـ) د) س×(ص+(ع+ل)) = س×ص + س×(ع+ل) هـ) (س+ص) + (-(س+ص)) = 0 و) (س+ص)×1 = س+ص ي) إذا كانت س+ص لا تساوي صفر؛ فإنّ (س+ص)×(1/(س+ص)) = 1؟[٦]
    • الحل:
    • أ) الخاصية التبديلية للجمع.
    • ب) الخاصية التجميعية للجمع.
    • جـ) الخاصية التبديلية للضرب.
    • د) الخاصية التوزيعية.
    • هـ) خاصية المعكوس الجمعي (العدد + معكوسه = صفر).
    • و)خاصية الهوية لعملية الضرب.
    • ي) خاصية المعكوس الضربي (العدد×مقلوبه = 1).


فيديو تعريفي عن مجموعات الاعداد

للتعرف على المزيد تابع الفيديو الآتي:[٧]


المراجع

  1. "Real Numbers: Property CHART", mathbitsnotebook.com, Retrieved 15-6-2020. Edited.
  2. ^ أ ب "Properties of Real Numbers", www.riosalado.edu, Retrieved 15-6-2020. Edited.
  3. ^ أ ب "Commutative, Associative and Distributive Laws", www.mathopolis.com, Retrieved 15-6-2020. Edited.
  4. ^ أ ب ت ث "Properties of Real Numbers", opentextbc.ca, Retrieved 15-6-2020. Edited.
  5. ^ أ ب "1.10 Properties of Real Number Multiplication", www.ck12.org, Retrieved 15-6-2020. Edited.
  6. " Basic Algebraic Properties of Real Numbers", www.emathzone.com, Retrieved 15-6-2020. Edited.
  7. فيديو تعريفي عن مجموعات الاعداد.