خصائص الأعداد الحقيقية

بواسطة: - آخر تحديث: ١٣:٥٠ ، ٢٤ أبريل ٢٠١٨
خصائص الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية (بالإنجليزية: The Real numbers) هي اتّحاد مجموعة الأعداد النسبية وغير النسبية، وهي مجموعة غير منتهية، ويُرمَز لمجموعة الأعداد الحقيقية (ح)،[١][٢] أمّا خطّ الأعداد الحقيقيّة فهو عبارة عن خطّ أفقي يحتوي على جميع الأعداد السالبة والموجبة والصفر؛ حيثُ تُعبّر كلّ نقطة عن عدد حقيقي مُعيّن، أما بالنسبة لإشارة المالانهاية (∞) الموجودة على طرفيّ الخط، فهي تعني لا نهاية الأعداد سواء كان ذلك من جهة الأعداد السالبة أو الموجبة.[٢]


بعض خصائص الأعداد الحقيقية

إذا كانت أ، ب، ج أعداد تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية، فإنّ:[١]

  • (أ+ب) يساوي عدداً حقيقياً، كذلك (أ- ب) يساوي عدداً حقيقياً، مثلاً (3=1+2)؛ حيثُ إنّ العدد 3 عدد حقيقي، وكذلك (1=1-2)، وهو أيضاً عدداً حقيقياً.
  • (أ×ب) يساوي عدداً حقيقياً، كذلك (أ/ب)؛ حيثُ ب لا تساوي صفر، مثلاً (2=2×1).
  • يُعتبَر العدد صفر عدداً حقيقياً؛ حيثُ يُمثّل العنصر المحايد في عملية الجمع، مثلاً (5=0+5).
  • يُعتبَر العدد 1 عدداً حقيقيّاً؛ حيثُ يمثل العدد 1 عنصراً مُحايداً في عملية الضرب، مثلاً (5=1×5).
  • النظير الجمعي لأي عدد حقيقي هو معكوسه، فمثلاً النظير الجمعي للعدد (أ) هو (-أ).
  • النظير الضربي لأي عدد حقيقي لا يساوي صفر هو مقلوبه، فمثلاً النظير الضربي للعدد (أ) هو (1/أ).


أمثلة توضح كيفية تصنيف الأعداد الحقيقية

  • مثال1: صنّف الأعداد التالية إلى أعداد نسبية أو أعداد غير نسبية، مع توضيح السبب.[٢]
  • العدد (.....0.88888)
الحل:
يُمثّل العدد (.....0.88888) كسر عشري متكرر وغير منتهٍ؛ حيثُ يمكن كتابته على صورة أ/ب؛ حيث أ، ب عددان صحيحان وب لا تساوي صفر، وبالتالي فهو يعتبر عدد نسبي.
  • العدد (........0.151151115111115)
الحل:
يُمثل العدد (........0.151151115111115) كسر عشري غير منتهٍ وكذلك ليس متكرر ضمن نمط معين؛ حيث لا يمكن كتابته على صورة (أ/ب)؛ حيث (أ، ب) عددان صحيحان وب لا تساوي صفر، لذلك فهو يُعتبَر عدداً غير نسبي.
  • الجذر التربيعي للعدد 2.
الحل:
يُمثّل الجذر التربيعي للعدد 2 جذر مربع غير كامل؛ حيثُ لا يمكن كتابته على صورة (أ/ب)؛ حيثُ أ، ب عددان صحيحان وب لا تساوي صفر، وبالتالي فهو يعتبر عدداً غير نسبيّ.
  • مثال2: صنّف الأعداد التالية إلى أعداد طبيعية، وصحيحة، ونسبية، وغيرنسبية، وأعداد حقيقية. (1, 0.52, -15, 1/2, الجذر التربيعي للعدد 23).[٢]
الحل:
الأعداد الطبيعية الأعداد الصحيحة الأعداد النسبية الأعداد غير النسبية الاعداد الحقيقية
1 1 1 - 1
- - 0.52 - 0.52
- -15 -15 - -15
- - 1/2 - 1/2


تعريف الأعداد الصحيحة والكسور

  • الأعداد الصحيحة (بالإنجليزية: The Integer numbers) هي مجموعة الأعداد التي يُمكن كتابتها على صورة كسر، في حين أنّ مقامها دائماً يساوي واحد، وتتضمّن الأعداد الصحيحة مجموعة الأعداد السالبة والموجبة وأيضاً الصفر، وبمعنى آخر هي اتّحاد الأعداد الطبيعية والصفر وسالب الأعداد الطبيعية، أمّا عن إمكانيّة معرفة آخر عدد صحيح فهذا مستحيل؛ لأنّ مجموعة الأعداد الصحيحة لا نهاية لها.[١]
  • الأعداد الطبيعية (بالإنجليزية: The natural numbers): هي مجموعة الأعداد التي تبدأ من العدد واحد؛ حيثُ يمكن الحصول على أيّ عدد منها بجمع الواحد إلى نفسه لأكثر من مرة، 1+1=2، 1+1+1=3 ،1+1+1+1=4.... إلخ،[١] وبمعنى آخر الاعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة والتي تقع على يمين الصفر في خط الأعداد، وبالتالي فإنّ مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة لا نهائية.[١]
  • الأعداد الكسرية أو الكسور(The rational numbers): وهي مجموعة الأعداد التي تُكتَب على صورة بسط ومقام كالآتي: أ/ب؛ حيثُ إنّ أ،ب عددان صحيحان، بشرط ب لا تساوي صفر، أما إذا كانت قيمة ب=1، فهذا يعني أنّ هذا الكسر ينتمي للأعداد الصحيحة،[١] أمّا بالنسبة لأشكال الكسر، فإمّا أن يكون كسراً عشرياً منتهياً، كالكسر 0.5=1/2، أو أن يكون كسراً عشرياً متكرراً (دورياً) غيرَ منتهٍ؛ كالكسر.......0.333333=1/3.[١]


تعريف الأعداد النسبية وغير النسبية

  • الأعداد النسبية: هي اتّحاد مجموعة الأعداد الكسرية والكسور العادية وجذور المربعات والمكعبات الكاملة، وأي عدد يمكن كتابته على صورة كسر عشري منته أو كسر عشري متكرر (دوري)، وبمعنى آخر هو أيّ عدد يمكن أن يُكتَب بالصورة التالية: أ/ب؛ حيثُ إنّ أ، ب عددان صحيحان؛ حيثُ إنّ (ب) لا تساوي صفر؛ لأنه عند القسمة على صفر يَنتُج قيمة غير مُعرّفة.[١]

[٣][٢]

  • الأعداد غير النسبية (بالإنجليزية: The Irrational numbers): هي مجموعة الأعداد التي لا يمكن أن تُكتَب على صورة كسر أ/ب؛ حيث أ، ب عددان صحيحان،[١] وبمعنى آخر هي الأعداد التي لا يمكن تحويلها لصورة كسر عادي بسطها عدد صحيح ومقامها عدد صحيح؛ كجذور المربعات غير الكاملة والكسور العشرية (غير المُنتهية وغير الدورية)، وكذلك باي (π) قد يظنّه الكثير من الأشخاص بأنّه ينتمي للأعداد النسبية، وفي الحقيقة π تُمثّل النسبة بين محيط الدائرة إلى قطرها، وهي عدد عشري غير منته وغير دوري تمّ تقريبه وكتابته على صورة 22/7 أو 3.14 لتسهيل العمليات الحسابية.[١]


العلاقة بين مجموعات الأعداد

من خلال دراسة مفاهيم مجموعات الأعداد تم ملاحظة العلاقات التالية، وهي:[١][٢]

  • كل عدد طبيعي هو عدد حقيقي ونسبي وصحيح.
  • كل عدد صحيح هو عدد حقيقي ونسبي.
  • كل عدد نسبي هو بالتأكيد عدد حقيقي.
  • كذلك العدد غير النسبي هو أيضاً عدد حقيقي.


فيديو تعريفي عن مجموعات الاعداد

للتعرف على المزيد تابع الفيديو التالي



المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز أ. نادية إسماعيل البرقلي (.)، أساسيات التفاضل والتكامل وتطبيقاتهما (الطبعة الأولى)، مصر: منشورات جامعة 6 اكتوبر، صفحة 11-13، جزء الأول. بتصرّف.
  2. ^ أ ب ت ث ج ح شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى )، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 16-19 ملف 15-31، جزء الأول. بتصرّف.
  3. جهاد العناتي، زينب مقداد، عصام شطناوي، فراس العمري (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف السابع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 26-27 ملف 22-53، جزء الأول. بتصرّف.