خصائص اللوغاريتمات

كتابة - آخر تحديث: ١٠:٢٠ ، ١٠ يونيو ٢٠٢٠
خصائص اللوغاريتمات

نظرة عامة حول اللوغاريتمات

يمكن تعريف اللوغاريتمات (بالإنجليزية: Logarithms) بأنها العملية العكسية للأسس كما هو الحال بالنسبة للطرح الذي يُعرف بالعملية العكسية للجمع، والقسمة التي تُعرف بالعملية العكسية للضرب،[١] ولتوضيح أن اللوغاريتم يعتبر العملية العكسية للأسس إليك المثال الآتي: عند رفع العدد 2 للقوة 4 فإن الناتج يساوي 16؛ أي 24=16، ولنفترض طرح السؤال الآتي: ما هو الأس الذي أساسه العدد 2، ويُعطي ناتجاً يساوي 16، فإن الجواب هو 4، وذلك ما يتم التعبير عنه باستخدام اللوغاريتمات كما يلي: لو2 16 = 4، وبالتالي فإنّ: 24= 16 ↔ لو2 16 = 4، ويلاحظ من السابق أن كلتا المعادلتين تصف العلاقة نفسها بين الأعداد: 2، 4، 16؛ حيث العدد 2 هو الأساس، والعدد 4 هو الأس، والعدد 16 هو الناتج، ويمكن توضيح ذلك بصورة أكبر عن طريق تقديم مجموعة أخرى من الأمثلة على المعادلة الأسية، والمعادلة اللوغاريتمية:[٢]

  • المعادلة اللوغاريتمية: لو2 8 = 3 ↔ المعادلة الأسية: 23 = 8
  • المعادلة اللوغاريتمية: لو3 81 = 4 ↔ المعادلة الأسية: 34 = 81
  • المعادلة اللوغاريتمية: لو5 25 = 2 ↔ المعادلة الأسية: 52 = 25


بشكلٍ عام فإنّ الصورة العامة للمعادلة اللوغاريتمية هي كما يلي:[٢]

  • إذا كانت المعادلة الأسية على صورة: ب س = أ، فإن المعادلة اللوغاريتمية تكون على صورة: لوب أ =س، حيث:
    • ب: هو الأساس.
    • س: هو الأس.
    • أ: هو الناتج.

يجدر بالذكر هنا أنّ هناك عدة طرق لقراءة اللوغاريتم فمثلاً يمكن قراءة اللوغاريتم الآتي بعدة طرق: لو2 8 = 3[٣]

  • لوغاريتم العدد 8 للأساس 2 يساوي 3.
  • لوغاريتم الأساس 2 للعدد 8 يساوي 3.
  • إذا كان الأساس 2 فإن لوغاريتم العدد 8 يساوي 3.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول الأسس يمكنك قراءة المقال الآتي: خواص القوى في الرياضيات.


خصائص اللوغاريتمات

تتميز اللوغريتمات بالخصائص الآتية (حيث ب في جميع الخصائص هي أساس اللوغاريتم):[٤]

  • لوب 1 = 0، وذلك لأن رفع أي عدد للقوة صفر يساوي 1؛ أي أن: ب 0 = 1.
  • لوب ب = 1، وذلك لأن رفع أي عدد للقوة واحد يساوي العدد نفسه؛ أي أن: ب 1 = ب.
  • لوب ب س = س، وبشكل عام فإنّ: لو ب ب ق (س) = ق (س).
  • ب لوب س= س، وبشكل عام فإنّ: ب لو ب ق(س) = ق(س).
  • لوب (س×ص) = لوب س + لوب ص.
  • لوب (س/ص) = لوب س - لوب ص.
  • لوب س ل = ل×لوب س.
  • إذا كان: لوب س = لوب ص، فإنّ: س = ص.
  • لوب (س+ص) لا يساوي لوب س + لوب ص.
  • لوب (س-ص) لا يساوي لوب س - لوب ص.
  • لوب أ = قيمة غير معرّفة، إذا كانت قيمة أ تساوي عدداً سالباً.[١]
  • لوب 0 = قيمة غير معرّفة، وذلك لأنه لا يمكن لنتيجة أي عدد عند رفعه لأحد الأسس أن تكون صفراً.[١]
  • إن قلب اللوغاريتم أي جعل بسطه مكان مقامه، ومقامه مكان بسطه، أو العكس يؤدي إلى تبديل الأساس، والناتج، وذلك كما يلي:[٥]
    • لوب أ = 1/لوأ ب؛ مثل: 5/(2×لوس ص) = (5×لوص س)/2
  • يمكن ضرب اثنين من اللوغاريتمات، أو أكثر، وإيجاد الناتج النهائي لحاصل ضربهما في إحدى الحالتين الآتيتين فقط:[٥]
    • الحالة الآولى: إذا كان ناتج اللوغاريتم الأول، وأساس اللوغاريتم الثاني متساويين.
    • الحالة الثانية: إذا كان أساس اللوغاريتم الأول، وناتج اللوغاريتم الثاني متساويين.
    • لينتج أن: لوأ ب× لوب جـ = لوأ جـ.
  • يمكن حساب قيمة اللوغاريتمات العشرية والطبيعية باستخدام الآلة الحاسبة، لذلك يمكن تغيير أساس اللوغاريتم للعدد النيبيري أو العدد 10؛ لتسهيل عملية حسابه باستخدام الآلة الحاسبة عن طريق خاصية تغيير الأساس، والتي تنص على أنّ: لوأ س = لوب س/لوب أ؛ حيث ب= 10، أو العدد النيبيري (هـ)، ويمكن توضيح ذلك بالمثال الآتي:
    • ما هو حل اللوغاريتم الآتي: لو5[٤]
      • لإيجاد حل لهذا اللوغاريتم فإنه يجب أولاً البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 5 به يكون الناتج 7، وهو أمر يصعب إيجاده دون الاستعانة بالآلة الحاسبة، لذلك وباستخدام خاصية تغيير الأساس ينتج أن:
      • لو5 7 = لو10 7 / لو10 5 = 0.845098040014 / 0.698970004336= 1.20906195512


أنواع اللوغاريتمات

هناك عدة أنواع للوغاريتمات وذلك بناءً على قيمة الأساس الذي يختلف بشكل كبير فيما بينها، إلا أن هناك نوعان من اللوغاريتمات يعتبران أكثر شيوعاً من غيرهما، ويمكن حسابهما كذلك باستخدام جميع أنواع الآلات الحاسبة، وفيما يلي توضيح لكل منها:[٢]

  • اللوغاريتم العشري: (Common Logarithm) وهو الأكثر شيوعاً، وهو اللوغاريتم الذي يكون أساسه العدد 10، وفي كثير من الأحيان لا يُكتب الأساس في هذا النوع ليستدل القارئ تلقائياً أن الأساس هنا هو 10؛ أي أنّ: لو10 س = لو س.
  • اللوغاريتم الطبيعي: (Natural Logarithm) هو اللوغاريتم الذي يكون أساسه العدد النيبيري (هـ)، ويُكتب على الصورة الآتية: لوهـ س، أو (ln(x باللغة الإنجليزية.


أمثلة متنوعة حول اللوغاريتمات

  • المثال الأول: مستعيناً بخصائص اللوغاريتمات جد ناتج كل ممّا يأتي: أ) لو4 16 ب) لو2 16 جـ) لو6 216 د) لو5 (125/1) هـ) لو(3/1) 81 و) لو(2/3) (8/27)؟[٤]
  • الحل:
  • أ) لإيجاد لو4 16 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي الذي عند رفع الأساس 2 به يعطي ناتج يساوي 16، وعليه: إنّ 4 2 = 16، وبالتالي فإن لو4 16 = 2.
  • ب) لإيجاد لو2 16 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 2 به يكون الناتج 16، وعليه: إنّ 2 4 = 16، وبالتالي فإنّ: لو2 16 = 4.
  • جـ) لإيجاد لو6 216 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 6 به يكون الناتج 216، وعليه: إنّ 6 3 = 216، وبالتالي فإن لو6 216 = 3.
  • د) لإيجاد ناتج لو5 (1/125) فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 5 به يكون الناتج 1/125، وبما أن الناتج كسر فإن الأس هو عدد صحيح سالب، وعليه: 1/125 = 1/53 = 5-3، وبالتالي فإن لو5 (1/125) = -3.
  • هـ) لإيجاد ناتج لو(1 /3) 81 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 1/3 به يكون الناتج 81، وعليه: إنّ 3 4 = 81، وبالتالي فإن: (1/3)-4 = 43= 81، وبالتالي فإنّ لو1/3 81 = -4.
  • و) لإيجاد ناتج لو(3/2) (27/8) فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس (3/2) به يكون الناتج (27/8)، وعليه إنّ: (3/2)3 = 33/ 23 = 27/8، وبالتالي فإنّ لو(3/2)(27/8) = 3.


  • المثال الثاني: ما هو ناتج كل من اللوغريتمات الآتية: أ) لو4 256 ب) لو5 (0.0016) جـ) لو3 729 د) لو2 (0.015625)؟[٦]
  • الحل:
  • أ) لإيجاد لو4 256 فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 4 به يكون الناتج 265، وبما أنّ 44 = 256 فإنّ لو4 256 = 4.
  • ب) لإيجاد لو5 (0.0016) فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 5 به يكون الناتج 0.0016 وهو سالب، وذلك لأن النتيجة كسر، وبما أنّ (1/5) 4 = 5 -4 = 1/625، وهو مكافئ للكسر العشري 0.0016، وبالتالي فإنّ: لو5 (0.0016) = -4.
  • جـ) لإيجاد لو3 729 فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 3 به يكون الناتج 729، وبما أن 36 = 729 فإن لو3 729 = 6.
  • د) لإيجاد لو2 (0.015625) فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 2 به يكون الناتج 0.015625، وبما أنّ (1/2)6 = 2-6 = 1/64، وهو مكافئ للكسر العشري 0.015625، فبالتالي فإنّ: لو2 (0.015625) = -6.


  • المثال الثالث: مستعيناً بخصائص اللوغريتمات جد أبسط صورة لكلًّ مما يلي: أ) لو43 ص5) ب) لو (س9 ص53) جـ) لوهـ (س×ص)√ د) لو3 ((س+ص)2/(س22))؟[٤]
  • الحل:
  • أ) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
    • لو43×ص5) = لو43) + لو45)، ومنه:
    • 3×لو4 س + 5×لو4 ص.
  • ب) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
    • لو (س9 ص5 / ل3) = لو (س9 ص5) - لو ل3، ومنه:
    • لو(س9 ص5) - لو ل3 = لو س9 + لو ص5 - لو ل3، وهذا يساوي 9لو س + 5لو ص - 3لو ل.
  • جـ) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
    • لوهـ (س×ص)√ = لوهـ (س×ص)(1/2، ومنه:
    • (1/2)×لوهـ (س×ص)، ومنه:
    • (1/2)×(لوهـ س + لوهـ ص).
    • د) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
    • لو3 ((س+ص)2/(س22)) = لو3 (س+ص)2 - لو32 + ص2)، ومنه:
    • 2لو3 (س+ص) - لو322).


  • المثال الرابع: اكتب كلاً من اللوغريتمات الآتية على شكل لوغاريتم واحد باستخدام خصائص اللوغاريتم: أ) 7لو12 س+2لو12 ص ب) 3لوس - 6لوص جـ) 5لوهـ (س+ص) - 2لوهـ ص - 8لوهـ س؟[٤]
  • الحل:
    • أ) 7لو12 س + 2لو12 ص = لو12 س7 + لو12 ص2 = لو127×ص2).
    • ب) 3لوس - 6لوص = لو س3 - لو ص6 = لو (س36).
    • جـ) 5لوهـ (س+ص) - 2لوهـ ص - 8لوهـ س = لوهـ (س+ص)5 - (لوهـ ص2 + لوهـ س8) = لوهـ (س+ص)5 - لوهـ2×س8) = لوهـ ((س+ص)5 / (ص2×س8))


  • المثال الخامس: ما هو ناتج اللوغاريتم الآتي: لو7 118؟[٧]
    • الحل:
    • لإيجاد ناتج اللوغاريتم فإننا نحتاج إلى إيجاد الأس الذي عند رفع الأساس 7 به يُعطي النتيجة 118، وهو أمر يصعب إيجاده دون الاستعانة بالآلة الحاسبة، ولذلك يجب أولاً استخدام خاصية تغيير الأساس: لوب أ = لو10 أ/لو10 ب كما يلي:
      • تغيير الأساس للعدد 10 ليصبح اللوغاريتم عشرياً كما يلي: لو7 118 = لو10 7 / لو10 118، وبإيجاد القيم باستخدام الآلة الحاسبة ينتج أنّ:
      • لو10 7/لو10 118 = 2.07/0.845 = 2.45.


  • المثال السادس: باستخدام خصائص اللوغاريتم جد ناتج المعادلة اللوغاريتمية الآتية: لو6 (ن-3) + لو6 (ن+2) = لو3[٧]
    • الحل:
    • وفق خصائص اللوغاريتم فإنّ:
      • لو3 3 = 1
      • لو6 (ن-3) + لو6 (ن+2) = لو6 (ن-3)(ن+2).
      • ممّا سبق تصبح المعادلة: لو6 (ن-3)(ن+2) = 1.
    • بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية حتى يسهل حلها، ينتج ما يلي:
      • 6 1 = 6 = (ن-3)(ن+2).
      • بضرب القوسين ببعضهما فإنّ: (ن-3)(ن+2) = ن2-ن-6 =6، وبالتالي تصبح المعادلة ن2-ن- 12 = 0
      • تحليل المعادلة التربيعية كما يلي: ن2-ن- 12 = 0 = (ن-4)(ن+3)، وبالتالي فإنّ ن لها قيمتان، هما: ن= 4 وهي الإجابة الصحيحة، أو ن= -3، وتُلغى لأنّ اللوغاريتم يصبح سالباً عند تعويض قيمة ن=-3 فيه؛ فالمعادلة عند تعويض ن = -3 فيها تصبح: لو6 (-6) + لو6 (-1) = لو3 3.


  • المثال السابع: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية: لوس125×5√= 7؟[٨]
    • الحل:
    • تحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية كما يلي:
      • س7 = 125×5√ = 5×5×5×5√.
    • بما أنّ: 5 = 5√×5√ فإنّ:
      • (5√×5√)×(5√×5√)×(5√×5√)×5√ = س 7، وعليه: (5√) 7 = س7.
    • عندما تتساوى الأسس فإن الأساسات تتساوى، وبالتالي فإنّ قيمة س = 5√.


  • المثال الثامن: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية الآتية: لوس 0.001 = -3؟[٨]
    • الحل:
    • تحويل المعادلة اللوغاريتمية إلى معادلة أسية كما يلي:
      • س -3 = 0.001، ومنه: 1/1000 = 1/س 3
      • بمساواة مقام الطرفين فإنّ: 1000 = س3، وبأخذ الجذر التكعيبي للطرفين فإن س = 10.


  • المثال التاسع: جد قيمة س فيما يأتي: س + 2×لو27 9 = 0؟[٨]
    • الحل:
    • ترتيب المعادلة بجعل المتغير س على طرف، والباقي على الطرف الآخر كما يلي: س = -2×لو27 9، وبالتالي:
      • باستخدام خصائص اللوغاريتم فإن س = لو27 9 -2
    • تحويل المعادلة اللوغاريتمية إلى معادلة أسية كما يلي:
      • 27 س = 9 -2
      • 3 = (3 2)-2
      • 3 = 3 -4
    • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية، وبالتالي فإنّ: 3س = -4، ومنه: س = -4/3.


  • المثال العاشر: إذا كانت 3س تساوي اللوغاريتم لو (0.3) الذي أساسه 9، فما هي قيمة س؟[٨]
    • الحل:
    • من معطيات السؤال فإنّ: 3س = لو9 (0.3)، وبالتالي فإنّ: 3س = لو9 (1/3)، باستخدام خصائص اللوغاريتم فإنّ: 3س = لو9 1 - لو9 3، ومنه:
      • 3س = 0 - لو9 3 = -لو9 3.
      • بإيجاد مقلوب اللوغاريتم 3س = -1/ لو3 9، 3س = -1/لو3 3 2، ومنه:
      • 3س = -1/2×لو3 3 = -1/(2×1)، س= -1/6.


  • المثال الحادي عشر: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية الآتية: 2لوس = 4لو3؟[٨]
    • الحل:
    • بقسمة طرفي المعادلة على 2 فإنّ: لو س = 2 لو3، ومنه:
      • لوس = لو 32، لوس = لو9، س = 9.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول حل المعادلة الأسية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة الأسية.


المراجع

  1. ^ أ ب ت "Logarithms", www.purplemath.com, Retrieved 5-6-2020. Edited.
  2. ^ أ ب ت "Intro to Logarithms", www.khanacademy.org, Retrieved 5-6-2020. Edited.
  3. "Introduction to Logarithms", www.mathsisfun.com, Retrieved 5-6-2020. Edited.
  4. ^ أ ب ت ث ج " Logarithm Functions", tutorial.math.lamar.edu, Retrieved 8-6-2020. Edited.
  5. ^ أ ب "LOGARITHM", www.onlinemath4all.com, Retrieved 5-6-2020. Edited.
  6. "Logarithms ", www.mathopolis.com, Retrieved 8-6-2020. Edited.
  7. ^ أ ب "Logarithms", www.varsitytutors.com, Retrieved 8-6-2020. Edited.
  8. ^ أ ب ت ث ج "SOLVING LOGARITHMIC EQUATIONS", www.onlinemath4all.com, Retrieved 8-6-2020. Edited.