خصائص عملية الضرب

كتابة - آخر تحديث: ٠٨:٥٧ ، ٢٧ فبراير ٢٠٢٠
خصائص عملية الضرب

خصائص عملية الضرب

لعملية الضرب خصائص عدة، وهذه الخصائص هي:

الخاصيّة التبادليّة

يمكن تعريف الخاصية التبادلية (بالإنجليزيّة: Commutative Property) بأنها تلك الخاصيّة التي تُوضّح أن اختلاف ترتيب الأرقام أو العوامل أثناء إجراء عمليّة الضرب لا يؤثر على النتيجة النهائية، ويتم التعبير عن ذلك بالرمور: (أ×ب)=(ب×أ)؛ فعلى سبيل المثال إذا كان ناتج ضرب العدد 8 بالعدد 2 يساوي 16، فإنّ ناتج ضرب العدد 2 بالعدد 8 يساوي 16 أيضاً؛ أي أن 8×2=2×8؛ ويجدر بالذكر هنا أن هذه الخاصية لا تنطبق على عملية القسمة،[١] ويمكن من خلالها تبسيط عملية ضرب الأعداد التي تزيد عن اثنين لتسهيل حلها؛ مثل إيجاد حاصل ضرب 2×3×5×3×2×3×5؛ حيث يمكن إعادة ترتيب هذه المسألة باستخدامها لتصبح: (2×5)×(5×2)×(3×3)×3=10×10×27=2700، وحلها بسهولة.[٢]


خاصيّة التجميع

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح إمكانيّة تغيير طريقة تجميع الحدود أو الأرقام دون التأثير على ناتج الضرب اسم خاصيّة التجميع (بالإنجليزيّة: Associative property)؛ فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب: 3×(5×4)= 60، ويساوي ناتج 4×(3×5)= 60؛[٣] ويمكن التعبير عنها بالرموز: أ×(ب×ج)= (أ×ب)×ج،[٤] وهي تعني باختصار أن موقع الأقواس في المسألة الرياضية لا يؤثر على نتيجتها النهائية.[٥]


خاصيّة التّوزيع

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح إمكانيّة ضرب العدد أو الحد الموجود خارج الأقواس بكل الأعداد أو الحدود الموجودة داخله اسم خاصيّة التجميع (بالإنجليزيّة: Distributive Property)ويمكن التعبير عنها بالرموز على شكل: أ×(س+ص)= أ×س+أ×ص، كما أنّ أ×(س-ص)= أ×س - أ×ص،[٦] وتساعد هذه الخاصية على تبسيط المسائل المعقدة إلى مسألة بسيطة مكونة من طرح أو جمع بين عددين أو حدين.[٧]


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول خاصية التوزيع يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون التوزيع في الضرب.


خاصيّة الهويّة

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح أنّه في حالة ضرب العدد 1 بأي عدد آخر فسيكون الناتج هو العدد الآخر اسم خاصيّة الهويّة، أو خاصيّة الواحد (بالإنجليزيّة: Identity property)، فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب العدد 1 بالعدد 5 هو 5، وناتج ضرب العدد 20 بالعدد 1 هو 20.[٣]


خاصيّة الصفر

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح أنّ ناتج ضرب أي عدد بالصفر هو صفر اسم خاصيّة الصفر (بالإنجليزيّة: Zero Property)، فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب العدد 5 بالعدد 0 هو 0، كما أنّ ناتج ضرب العدد 0 بالعدد 100 هو صفر دائماً،[٨] وتبرز أهمية هذه الخاصية في حل المعادلات؛ فمثلاً عند حل هذه المعادلة: (س-4)(س+4)=0؛ فإن خاصية الصفر تفرض أن أحد القوسين أو كليهما يجب أن يكون مساوياً للعدد صفر، ومنه يكون حلها س=4+،4-.[٩]


أمثلة متنوعة على خصائص عملية الضرب

  • المثال الأول: ما هي الخاصية التي تتمثل بما يأتي: 4×3=3×4.[١٠]
    • الحل: الخاصية التبادلية.
  • المثال الثاني: عبر عن التعبير الآتي بأسلوب مختلف باستخدام الخاصية التبادلية: 6×س².[١٠]
    • الحل: س²×6=6×س²
  • المثال الثالث: ما هي الخاصية التي تتمثل بما يأتي: 3×(7×4)=(3×7)×4.[٣]
    • الحل: خاصية التجميع.
  • المثال الرابع: أي من تلك العبارات تعبّر بشكل صحيح عن الخاصية التبادلية: 3×6×4=3×6×4، 3×6×4=6×4×3، 2×3×6=9×4.[١٠]
    • الحل: 3×6×4=6×4×3.
  • المثال الخامس: جد ناتج العبارة العملية الحسابية الآتية دون استخدام الآلة الحاسبة: 7/13×11/8×4/17×8/11×6/19×13/7×19/6×17/4.[١٠]
    • الحل: ترتيب الأرقام بالاستعانة بالخاصية التبادلية لتسهيل عملية حسابها، لتصبح كما يأتي: (4/17×17/4)×(11/8×8/11)×(6/19×19/6)×(7/13×13/7)=(1)×(1)×(1)×(1)=1
  • المثال السادس: ما هي الخاصية التي تتمثل بما يأتي: 8×1=8.[٣]
    • الحل: خاصية الهوية، أو خاصية الواحد.
  • المثال السابع: أي من الآتي يعبّر عن خاصية التجميع: 4س(6س²×8)=6س²(8×4س)، أ×1=أ، 8س×7س²=7س²×8س، 8(س+3)=8س+24.[١١]
    • الحل: 4س(6س²×8)=6س²(8×4س).
  • المثال السابع: أي من الآتي يعبّر عن خاصية التجميع: أ×1=أ، أ×0=0، ب×أ=أ×ب، ج(أ×ب)=ب(أ×ج).[١١]
    • الحل: ج(أ×ب)=ب(أ×ج).
  • المثال الثامن: إذا كان 7×(4×2)=56، فما هو ناتج (7×4)×2=؟[١٢]
    • الحل: 56، فوفق خاصية التجميع إن 7×(4×2)=(7×4)×2.
  • المثال التاسع: الرقم المفقود هنا هو: 5 × (_× 9) = (5 × 8) × 9.[١٢]
    • الحل: 8، وفق خاصية التجميع.
  • المثال العاشر: بسط ما يأتي باستخدام خاصية التوزيع: 4*( 2س+8).[١٢]
    • الحل: 4×( 2س+8)=4×(2س) + 4×8، ويساوي 8س + 32.
  • المثال الحادي عشر: بسّط التعبير الآتي باستخدم خاصية الضرب المناسبة: 2×(3س+5)-(س+2).[١٣]
    • الحل: باستخدم خاصية التوزيع يمكن كتابة التعبير السابق على الشكل الآتي: 2×(3س+5)--1×(س+2)=6س+10-س-2=5س+8.
  • المثال الثاني عشر: أعد كتابة التعبير الآتي باستخدام خاصية التوزيع: 20×(9-2).[١٤]
    • الحل: 20×9-20×2=180-40=140.
  • المثال الثالث عشر: جد حاصل ضرب ما يأتي باستخدام خاصية الضرب المناسبة: (س+ص)(س+2ص).[١٥]
    • الحل: (س+ص)(س+2ص)=س²+2س ص+س ص+2ص²=س²+3س ص+2ص².
  • المثال الرابع عشر: اكتب التعبير الآتي باستخدام قانون التوزيع: (4س-3)(س+8)-2.[١٦]
    • الحل: (4س-3)(س+8)-2=4س²+32س-3س-24-2=4س²+29س-26.
  • المثال الخامس عشر: اكتب التعبير الآتي باستخدام قانون التوزيع: (س√-3√)(س√+3√).[١٦]
    • الحل: (س√-3√)(س√+3√)=س+3س-3س+3=س-3.


المراجع

  1. "The Commutative Property of Multiplication", www.coolmath.com, Retrieved 20-2-2020. Edited.
  2. Alexander Katz , "Commutative property of Addition and Multiplication"، brilliant.org, Retrieved 20-2-2020. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث "Properties of multiplication", www.khanacademy.org, Retrieved 31-8-2018. Edited.
  4. Alexander Katz , "Associative property of Addition and Multiplication"، brilliant.org, Retrieved 20-2-2020. Edited.
  5. Kimberly Osborn, "Associative Property of Multiplication: Definition & Example"، study.com, Retrieved 20-2-2020. Edited.
  6. "Distributive property explained", www.khanacademy.org, Retrieved 23-2-2020. Edited.
  7. Jordan Nisbet (14-6-2020), "Distributive Property: 5 Clear Examples to Use in Class"، www.prodigygame.com, Retrieved 23-2-2020. Edited.
  8. "Zero Property Of Multiplication - Definition with Examples", www.splashmath.com, Retrieved 31-8-2018. Edited.
  9. "The Multiplication Property of Zero", www.dummies.com, Retrieved 20-2-2020. Edited.
  10. ^ أ ب ت ث "Example Questions", www.varsitytutors.com, Retrieved 20-2-2020. Edited.
  11. ^ أ ب "Example Questions", www.varsitytutors.com, Retrieved 20-2-2020. Edited.
  12. ^ أ ب ت "Commutative, Associative and Distributive Laws", www.mathopolis.com, Retrieved 20-2-2020. Edited.
  13. "The Distributive property", www.mathplanet.com, Retrieved 23-2-2020. Edited.
  14. "The Distributive Property", www.montereyinstitute.org, Retrieved 23-2-2020. Edited.
  15. Deb Russell (21-6-2019), "What Is the Distributive Property Law in Mathematics?"، www.thoughtco.com, Retrieved 23-2-2020. Edited.
  16. ^ أ ب "Example Questions", www.varsitytutors.com, Retrieved 23-2-2020. Edited.