طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

بواسطة: - آخر تحديث: ٢٢:٣٩ ، ٢٣ أبريل ٢٠١٨
طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

المضاعف المشترك الأصغر

يُعرف المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الطبيعية (لعددين أو أكثر) على أنه أصغر عدد يقبل القسمة على هذه الأعداد دون وجود باقٍ لها، وبمعنى آخر هو عبارة عن مضاعفة كل عدد من هذه الأعداد إلى حين الوصول لأصغر مضاعف يشترك فيما بينها، حينها سيكون هو بالتأكيد المضاعف المشترك الأصغر، ويرمز له بالرمز م.م.أ (م: مضاعف، م: مشترك، أ: أصغر) وهي عبارة عن الأحرف الأولى للكلمات الثلاث.[١][٢]


طرق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد

يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الطبيعية بطريقتين، الطريقة الأولى كتابة مضاعفات كل عدد عن طريق ضرب العدد المعطى بالعدد واحد ومن ثم ضربه بالعدد اثنان ومن ثم بالعدد ثلاثة وهكذا......، لكن لهذه العملية سلبيات وهي أنها تتطلب وقتاً وجهداً أطول للحصول على أصغر مضاعف مشترك مطلوب، أما الطريقة الثانية فهي أكثر سهولة وسلاسة؛ وهي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد عن طريق التحليل إلى العوامل والقواسم الأولية، ومن ثم ضربها ببعضها البعض حسب تكراراتها، وتعد الطريقتين صحيحتين تماماً ولو تم استخدامهما للمثال نفسه سيتم الحصول على المضاعف نفسه بالتأكيد.[٢]


أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد

  • مثال1: جد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للعددين 12،9.[٢]
الحل:
أولاً: نجد مضاعفات كل من العددين.
مضاعفات العدد 9 هي: 9، 18، 27، 36، 45، 54، 63، 72، 81، 90 ............
مضاعفات العدد 12 هي:12، 24، 36، 48، 60، 84...........
ثانياً: نبحث عن المضاعفات التي تشترك بين العددين وهو: 36، 72.......
ثالثا: نأخذ أصغر مضاعف من هذه المضاعفات وهو 36.
إذن المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للعددين هو 36.
  • مثال2: جد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للأعداد 6،9،4.[٢]
الحل:
أولاً: نجد مضاعفات كل عدد من هذه الأعداد.
مضاعفات العدد 6 هي: 6، 12، 18، 24، 30، 36، 42، 46، 50، 54، 63، 72، 81، 90 ............
مضاعفات العدد 4 هي:4، 8، 12، 16، 20، 24، 28، 32، 36، ..........
مضاعفات العدد 9 هي: 9، 18، 27، 36، 45، 54، 63، 72، 81، 90 ............
ثانياً: نبحث عن المضاعفات المشتركة بين العددين وهي: 36، 72.......
ثالثا: نأخذ أصغر مضاعف من هذه المضاعفات وهو 36.
إذن المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للعددين هو 36.
  • مثال3: جد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للأعداد 45، 60، 30 باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل الأولية.[٢]
الحل:
أولاً: نحلل كل عدد من هذه الأعداد إلى عوامله الأولية كالآتي:
45=3×3×5.
60=2×2×5×3.
30=2×3×5.
ثانياً: نأخذ أكبر تكرار موجود للعوامل الاولية، نلاحظ بأن العامل 2 تكرر مرتين، والعامل 3 تكرر مرتين، أما العامل 5 فمرة واحدة، بهذا يكون المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب تكرارات كل عامل من العوامل الأولية.
إذن م.م.أ للأعداد 45، 60، 30 هو 2×2×3×3×5= 180.
  • مثال4: قام محمد وليث بالمشاركة بإحدى السباقات الرياضية الخاصة بالجري، فإذا علمت أن محمد احتاج إلى 6 دقائق لإكمال الدورة والوصول للنقطة التي بدأ منها، أما ليث فقد احتاج إلى 8 دقائق لإكمال الدورة، فبعد كم دقيقة سيكمل كلاهما الدورة معاً وبالوقت نفسه.[٢]
الحل:
أولاً: نجد مضاعفات العددين6، 8
مضاعفات العدد 6 هي: 6، 12، 18، 24، 30، 36، 42، 48............
مضاعفات العدد 8 هي: 8، 16، 24، 32، 40، 48...........
ثانياً: نبحث عن المضاعفات المشتركة بين العددين وهي: 24، 48......
ثالثا: نأخذ أصغر مضاعف من هذه المضاعفات وهو 24.
إذن سيكملان الدورة كاملة معاً لأول مرة في الدقيقة 24 وهو يمثل المضاعف المشترك الأصغر.


المضاعف المشترك الأصغر للمقادير الجبرية

لا يتوقف إيجاد المضاعف المشترك الأصغر على الأعداد الطبيعية فقط، بل يفوق ذلك ليصل إلى الحدود والمقادير الجبرية الرياضية، ويُعرف المضاعف المشترك الأصغر لمقدارين جبريين أو أكثر بأنه حاصل ضرب عوامل المقادير ببعضها البعض دون تكرار الحد المتشابه فيما بينها.[٣]


إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقادير الجبرية

يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للحدود أو المقادير الجبرية عن طريق تحليل كل منها إلى عوامله الأولية، وتحديد العوامل المشتركة فيما بينهم، ومن ثم ضرب عوامل الحدود ببعضها البعض لكن دون إعادة كتابة المتشابه فيما بينهم.[٣]


أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقادير الجبرية

  • مثال1: جد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقادير الآتية: (ص²-ص-2)، (ص²-5ص+6).[٣]
الحل:
أولاً: نحلل كل مقدار على حدى.
ص²-ص-2= (ص-2) (ص+1).
ص²-5ص+6= (ص-2) (ص-3).
ثانياً: نحدد العوامل المتشابهة وهي (ص-2).
ثالثاُ: نضرب العوامل ببعضها دون تكرار المتشابه (العوامل المتشابهة تكتب مرة واحدة فقط).
إذن المضاعف المشترك الأصغر=(ص-2)(ص+1)(ص-3).
  • مثال2: جد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقادير الآتية:(س-1)، (س+1)، (س4 -1).[٣]
الحل:
أولاً: نحلل كل مقدار على حدى.
س-1= س-1 (لا تحلل تبقى كما هي).
س+1=س+1 (لا تحلل تبقى كما هي).
س4 -1= (س²-1)(س²+1)=(س-1)(س+1)(س²+1)، نلاحظ أن المقدار الأول يحلل حسب قانون الفرق بين مربعين.
ثانياً: نحدد العوامل المتشابهة بين المقدارين وهي (س-1) و(س+1).
ثالثاُ: نضرب العوامل ببعضها دون تكرار المتشابه منها بين المقادير (العوامل المتشابهة تكتب مرة واحدة فقط).
إذن المضاعف المشترك الأصغر=(س-1)(س+1)(س²+1).
  • مثال3: جد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقادير التالية:(س-1)، (س-2)، (س²).[٣]
الحل:
أولاً: نحلل كل مقدار على حدى.
س-1= س-1 ( لا تحلل تبقى كما هي).
س-2= س-2 (لا تحلل تبقى كما هي).
س²=(س)(س).
ثانياً:نلاحظ بأنه لا يوجد عوامل مشتركة بين المقادير، لذلك نضرب العوامل جميعها ببعضها البعض.
إذن المضاعف المشترك الأصغر=(س²)(س-1)(س-2).


المراجع

  1. "Least Common Multiple", www.mathsisfun.com, Retrieved 8-3-2018. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث ج ح فدوى الحشاش (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الخامس (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة ملف 3، صفحة 55,56,57، جزء الأول. بتصرّف.
  3. ^ أ ب ت ث ج زينب مقداد، محمد عربيات، ياسمين نصير (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف التاسع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة30,31,32ملف1-45، جزء أول. بتصرّف.