قانون حجم الكرة في الرياضيات

كتابة - آخر تحديث: ١٠:٥٥ ، ١٩ مارس ٢٠٢٠
قانون حجم الكرة في الرياضيات

تعريف الكرة

تُعرف الكرة (بالإنجليزية: Sphere) على أنها مجموعة من النقاط الموجودة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد والتي تبعد جميعها نفس المسافة عن نقطةٍ ما تُعرف بالمركز (بالإنجليزية: Center)، كما تُعرف المسافة الفاصلة بين المركز وأية نقطة من هذه النقاط والمشكّلة لسطح الكرة بنصف القطر (بالإنجليزية: Radius)، بينما القطر هو ضعف نصف القطر، ويصل بين نقطتين متقابلتين على سطح هذه الكرة.[١]


قانون حجم الكرة

يمكن تعريف حجم الكرة (بالإنجليزية: Sphere Volume) أو الجسم الصلب ثلاثي الأبعاد بأنها كمية الفراغ الموجودة داخل الجسم، ويُقاس بالوحدات المكعّبة، ويمكن إيجاد حجم الكرة عن طريق العلاقة الآتية:[١]

  • حجم الكرة= 4/3×π×مكعب نصف القطر، وبالرموز: ح=4/3×π×نق³؛ حيث إن:
    • ح: حجم الكرة.
    • نق: هو نصف قطر الكرة.
    • π: الثابت باي وتعادل قيمته تقريباً 3.14.

كما يمكن عند معرفة مساحة الكرة السطحية استخدام قانون مساحة سطح الكرة لمعرفة طول نصف قطرها، ثم تعويض قيمة نصف القطر في العلاقة السابقة، حيث قانون مساحة سطح الكرة هو: مساحة سطح الكرة= 4×π×مربع نصف القطر.[٢]


من الجدير بالذكر هنا أيضاً هو أن حاصل الضرب (4/3×π) يساوي تقريباً القيمة: 4.19، لذلك يمكن كتابة القانون السابق على شكل حجم الكرة= 4.19×نق³، ويعود الفضل في اكتشاف العلاقة التي تربط بين نصف قطر الكرة وحجمها إلى الفيلسوف اليوناني أرخميدس قبل أكثر من ألفي عام، كما توصّل أيضاً إلى أن حجم الكرة يعادل ثلثي حجم أصغر إسطوانة يمكن لها إحاطة الكرة بالكامل.[٣]


لمزيد من المعلومات حول حجم ومساحة الكرة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة وحجم الكرة.
لمزيد من المعلومات حول مساحة سطح الكرة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة سطح الكرة.


أمثلة متنوعة على حساب حجم الكرة

  • المثال الأول:جسم كروي الشكل، طول نصف قطره يساوي 5سم، احسب حجم الجسم.[٤]
    • الحل: باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(5)³= 524سم³.


  • المثال الثاني: ما هو حجم الكرة التي يساوي نصف قطرها 8م.[٥]
    • الحل: باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(8)³= 2145م³.


  • المثال الثالث: كرة نصف قطرها 10سم، فما هو حجمها.[٦]
    • الحل: باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(10)³= 4188سم³.


  • المثال الرابع: كرة قطرها 10م، فما هو حجمها.[٧]
    • الحل: حساب نصف قطر الكرة، بقسمة القطر على 2، لينتج أن نصف قطر هذه الكرة= 10/2=5م، ثم وباستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(5)³= 523.8م³.


  • المثال الخامس: إذا كان قطر كرة قدم 24سم، فما هو حجم الهواء الموجود بداخلها.[٨]
    • الحل: حساب نصف قطر الكرة، بقسمة القطر على 2، لينتج أن نصف قطر هذه الكرة= 24/2=12سم، ثم وباستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ينتج أن حجم الكرة= 4/3×3.14×(12)³= 7,234.6سم³ ، وهو ذاته حجم الهواء الموجود بداخلها.


  • المثال السادس: كم يعادل حجم الكرة التي يبلغ نصف قطرها 3سم، بالنسبة لحجم الكرة التي يبلغ قياس نصف قطرها 3√.[٩]
    • الحل:
    • حساب حجم الكرة الأولى باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة الأولى= 4/3×3.14×(3)³= 113.04سم³.
    • حساب حجم الكرة الثانية باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة الثانية= 4/3×3.14×(3√)³= 21.75سم³.
    • حساب النسبة بين حجم الكرتين لينتج أن: حجم الكرة الأولى/حجم الكرة الثانية= 113.04/21.75= 5.2، ومنه ينتج أن حجم الكرة الأولى يعادل تقريباً خمسة أضعاف حجم الكرة الثانية.


  • المثال السابع: إذا كانت مساحة سطح الكرة 256πم²، جد حجمها.[١٠]
    • الحل:
    • حساب نصف القطر باستخدام قانون مساحة سطح الكرة وهو: مساحة سطح الكرة=4×π×مربع نصف القطر، 256π=مربع نصف القطر×π×4، ومنه نصف قطر الكرة= 8م.
    • حساب حجم الكرة باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(8)³= 2,144م³.


  • المثال الثامن: إذا تمت مضاعفة قطر إحدى الكرات، فكم سيزيد حجمها.[١١]
    • الحل:
    • نفترض أن قطر الكرة قبل الزيادة هو (ق)، وأن نصف قطرها قبل الزيادة هو: نق= ق/2، وأن حجمها قبل الزيادة هو: 4/3×3.14×(ق/2)³=0.52×ق³.
    • نفترض أن قطر الكرة بعد الزيادة هو (2ق)، وأن نصف قطرها بعد الزيادة هو: نق=2/(2ق)=ق، وأن حجمها بعد الزيادة هو: 4/3×3.14×(ق)³= 4.19×ق³.
    • قسمة حجم الكرة بعد الزيادة على حجمها قبل الزيادة لينتج أن: 4.19×ق³÷0.52×ق³=8، وهذا يعني أن حجم الكرة بعد الزيادة يعادل ثمانية أضعاف حجم الكرة قبل الزيادة.


  • المثال التاسع: إذا كان معدل تسرب الهواء من بالون دائري الشكل هو 0.7م³/دقيقة، جد الوقت اللازم لتفريغ البالون بالكامل إذا كان طول نصف قطره 2م.[٨]

الحل:

    • حساب حجم البالون والهواء الموجود بداخلها باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الهواء الموجود داخل البالون= 4/3×3.14×(2)³= 33.49م³.
    • حسب الوقت اللازم لتفريغ البالون عن طريق قسمة حجم البالون كاملاً على معدل تفريغ الهواء منه، لينتج أن الوقت اللازم لتفريغ البالون هو=33.49/0.7=48 دقيقة تقريباً.


  • المثال العاشر: إذا كانت مساحة سطح الكرة 36πم²، جد حجمها.[١٠]
    • الحل:
    • حساب نصف القطر باستخدام قانون مساحة سطح الكرة وهو: مساحة سطح الكرة=4×π×مربع نصف القطر، 36π=مربع نصف القطر×π×4، ومنه نصف قطر الكرة= 3م.
    • حساب حجم الكرة باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(3)³= 113.04م³.


  • المثال الحادي عشر: إذا كان حجم الكرة 36πم³، جد قياس قطرها.[١٠]
    • الحل:
    • حساب نصف القطر باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه
 4/3×π×نق³ =36π، وعليه نق=3م، وطول القطر=2×نصف القطر=2×3=6م.


  • المثال الثاني عشر: إذا كان نصف قطر وعاء نصف كروي الشكل 3.5سم، جد حجم هذا الوعاء.[١٢]
    • الحل:
    • استخدام قانون حجم الكرة لحساب ضعف حجم الوعاء؛ لأن الوعاء يمثّل نصف كرة: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه ضعف حجم الوعاء=4/3×3.14×(3.5)³=179.5سم³، أما حجم الوعاء فيساوي=179.5/2= 90سم³.


لمزيد من المعلومات حول محيط الكرة يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو قانون محيط الكرة.


المراجع

  1. ^ أ ب "Sphere", www.wolfram.com, Retrieved 23-2-2018. Edited.
  2. "Sphere Volume Calculator", www.omnicalculator.com, Retrieved 8-5-2019. Edited.
  3. "Volume of a sphere", www.mathopenref.com, Retrieved 24-3-2018. Edited.
  4. "Sphere", www.mathsisfun.com, Retrieved 15-1-2018. Edited.
  5. "Volume of a Sphere", www.varsitytutors.com, Retrieved 9-5-2019. Edited.
  6. "Volume of a sphere", www.mathopenref.com, Retrieved 9-5-2019. Edited.
  7. "Volume Of Sphere", byjus.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.
  8. ^ أ ب "VOLUME OF A SPHERE WORD PROBLEMS WORKSHEET ", www.onlinemath4all.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.
  9. "Example Questions", www.varsitytutors.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.
  10. ^ أ ب ت "How to find the volume of a sphere", www.varsitytutors.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.
  11. "How to find the volume of a sphere", www.varsitytutors.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.
  12. "surface area and volume", www.teachoo.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.