قانون مساحة وحجم الكرة

كتابة - آخر تحديث: ٠٦:٤٣ ، ١٥ ديسمبر ٢٠١٦

تعريف الكرة

تُعتبر الكرة من الأشكال المألوفة في حياتنا، وهي عبارةٌ عن شكلٍ هندسي ثلاثي الأبعاد بحيث تُشكّل المحل الهندسي لمجموعةٍ من النقاط تبعد بعداً ثابتاً عن نقطةٍ معينةٍ في الفضاء تُسمى مركز الكرة، ويُسمى الخط المستقيم الواصل بين أي نقطةٍ على سطح الكرة ومركزها بنصف القطر، وهو قيمةٌ موجبةٌ دائماً ولا يُشترط أن تكون رقماً صحيحاً. وبما أنّ الكرة شكلٌ ثلاثيّ الأبعاد، فليس بالإمكان حساب محيطها، بينما يُمكن حساب مساحة سطحها وحجمها.


خواص الكرة

  • جميع النقاط المكوّنة لمجسّم الكرة والموجودة على سطحها، تبعُد بعداً متساوياً عن مركز الكرة.
  • القطعة المستقيمة الواصلة بين أيّ نقطتين متقابلتين على سطح الكرة وتمر بمركز الكرة تُسمى قطر الكرة، ومركز الكرة يُنصّف تلك القطعة.


حساب مساحة سطح الكرة

مساحة سطح الكرة يساوي أربعة أضعاف مساحة دائرة نصف قطرها يساوي نصف قطر الدائرة، بحيث أنّ:

مساحة سطح الكرة =4×مربع نصف قطر الكرة×النسبة التقريبية (ط)، وبالرموز:
مساحة سطح الكرة =4× نق²×ط


  • مثال1: أوجد مساحة سطح كرةٍ طول قطرها يساوي 16سم.
  • الحل:
    • مساحة سطح الكرة = 4× نق²×ط
    • نق = نصف قطر الكرة = طول القطر\2 = 16\2= 8 سم، وبالتالي:
    • مساحة سطح الكرة = 4×8 ² × 3.14
    • مساحة سطح الكرة = 4 × 64 × 3.14
    • مساحة سطح الكرة = 803.84 سم²
  • مثال2: إذا علمت أنّ مساحة سطح كرة يساوي 616 سم²، فما طول نصف قطرها؟
  • الحل:
    • مساحة سطح الكرة = 4× نق²×ط
    • 616 = 4×3.14×نق²
    • 616 = 12.56×نق²
    • نق²= 616 \ 12.56= 49.04
    • نصف قطر الكرة = الجذر التربيعي لـ 49 = 7سم.


حساب حجم الكرة

حجم الكرة يساوي ثلثي حجم الأسطوانة المحيطة، ويساوي أربعة أثلاث مكعب نصف قطر الكرة مضروباُ في النسبة التقريبية (ط)، وبالرموز:

حجم الكرة = 4\3× نق³×ط


  • مثال1: أوجد حجم كرة إذا علمت أنّ نصف قطرها يساوي 5 سم؟
  • الحل:
    • حجم الكرة = 4\3×نق³×ط
    • حجم الكرة = 4\3 × 5 ³× 3.14
    • حجم الكرة = 4\3 ×392.5
    • حجم الكرة = 523.33 سم³
  • مثال2: إذا علمت أنّ حجم كرة يساوي 820 سم³ ، فما طول نصف قطرها؟
  • الحل:
    • حجم الكرة = 4\3×نق³×ط
    • 820 = 4\3×نق³×3.14
    • 820 = 4.19 × نق³
    • نق³= 820\4.19 = 195.7
    • نصف قطر الكرة = الجذر التكعيبي لـ 195.7 = 5.8 سم.
  • مثال3: إذا علمت أنّ طول قطر كرة يساوي 14سم، فأوجد مساحة سطح الكرة وحجمها.
  • الحل:
    • مساحة سطح الكرة =4×نق²× ط
    • نصف قطر الكرة = طول القطر \2 = 14 \2 = 7سم.
    • مساحة سطح الكرة = 4 × 7 × 7 × 3.14
    • مساحة سطح الكرة = 615.44 سم²
    • حجم الكرة = 4\3 × نق³× ط
    • حجم الكرة = 4\3 × 7 × 7 × 7 × 3.14
    • حجم الكرة = 1436.02 سم³