قانون حساب حجم المخروط

كتابة - آخر تحديث: ١٠:٥٩ ، ٦ أكتوبر ٢٠١٨
قانون حساب حجم المخروط

تعريف المخروط

يُعرف (المخروط: بالإنجليزية Cone) على أنه مجسّم يحتوي على قاعدة واحدة فقط مسطحة ودائرية الشكل، كما أنه يتكون من دوران مثلّث قائم الزاوية بحيث يدور حول أحد ضلعيه الأقصر من الوتر، فيتشكّل سطحه المنحني من الجوانب، أما النقطة المدبّبة الموجودة أعلى هذا المجسم فتُسمّى برأس المخروط.[١] وبمعنى آخر، المخروط هو عبارة عن هرم ذي قاعدة منحنية وليست مضلعاً (ليس له جوانب)، فإذا كانت قاعدته دائرية سُمي بالهرم الدائري.[٢]


خصائص المخروط

إن للمخروط -كغيره من الأجسام الهندسية- مجموعة من الخصائص التي تميزه عن غيره ومن بعض هذه الخصائص ما يأتي:[٢][١]

  • يحتوي المخروط على قاعدة واحدة مسطّحة الشكل.
  • يتكون المخروط من جانب منحنٍ واحد.
  • يعد المخروط ذا أبعاد ثلاثية (مجسم).


قانون حجم المخروط

في حال تمّ إحضار مخروط وأسطوانة يشتركان في القاعدة والارتفاع، حيث طُلب ملء الأسطوانة الموجودة بالتراب وذلك عن طريق استخدام المخروط، فسيلاحظ بأن الأسطوانة ستمتلئ بالتراب بعد ثلاث مرات من تعبئة المخروط ووضعه بالأسطوانة، وبناءً عليه يستنتج بأن: (حجم الأسطوانة يساوي ثلاثة أمثال حجم المخروط المشترك معها بالارتفاع والقاعدة).[٣]

وبناءً عليه فإن:
قانون حجم المخروط= 3/1 حجم الأسطوانة المشتركة معه في الارتفاع والقاعدة.
إذن: حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.


أمثلة تبيّن كيفية حساب حجم المخروط

  • (مثال1): أوجد حجم شكل مخروطي إذا علمت أن نصف قطر قاعدته يساوي 11سم، وارتفاعه يساوي 16سم؟
الحل:
حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.
وبتعويض قيمة الارتفاع، ونصف القطر ينتج أن:
حجم المخروط= 3/1 × (π× 16×(11²
حجم المخروط= 3/1 × π× 16×11×11
إذن: حجم المخروط= 645.33333 πسم³، (الجواب بدلالة π).
وبتعويض π يكون الناتج تقريباً (3467 .2026).
  • (مثال2): أوجد حجم شكل مخروط دائري قائم، إذا علمت أنه يشترك مع أسطوانة دائرية في الارتفاع ونصف قطر القاعدة، وكان حجم الأسطوانة يساوي 3360دسم³.[٣]
الحل:
حجم المخروط= 3/1 حجم الأسطوانة المشتركة معه في مقدار الارتفاع والقاعدة.
وبتعويض حجم الأسطوانة، ينتج أن:
حجم المخروط= 3/1 ×3360.
إذن: حجم المخروط=1120دسم³.
  • (مثال3): احسب حجم المخروط الدائري القائم الذي قطر قاعدته يساوي24 م، وارتفاعه يساوي 15م؟[٣]
الحل:
حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.
وبتعويض قيمة الارتفاع، ونصف القطر(24/2) ينتج أن:
حجم المخروط= 3/1 × (π ×15×(12²
حجم المخروط= 3/1 × π ×15×12×12
إذن: حجم المخروط= 720π م³، (الجواب بدلالة π).
وبتعويض π يكون الناتج تقريباً (2260.8م³).
  • (مثال4): أسطوانة دائرية قائمة، قطر قاعدتها يساوي 20سم، يعلو هذه الأسطوانة مخروط دائري قائم مشترك مع الأسطوانة في الارتفاع نفسه، فإذا علمت أن طول راسمه يساوي 30 سم، جد حجم المجسم بالكامل.[٣]
الحل:
حجم المجسّم بالكامل= حجم المخروط+ حجم الأسطوانة.
أولاً: نجد حجم المخروط وذلك بحساب ارتفاعه بواسطة نظرية فيثاغورس.
(طول الراسم)²= (الارتفاع)²+(نق)².
(30)²= (الارتفاع)²+(10)².
(الارتفاع)²= (30)²-(10)².
(الارتفاع)²= (900)-(100).
(الارتفاع)²= 800.
وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن الارتفاع يساوي الجذر التربيعي للعدد 800، وباستخدام الآلة الحاسبة ينتج أن الارتفاع= 28.2842712.
حجم المجسم بالكامل= حجم المخروط+ حجم الأسطوانة.
حجم المجسم بالكامل= 3/1 حجم الأسطوانة+ حجم الأسطوانة.
حجم المجسم بالكامل= 3/1 π ×نق²×ع+ π ×نق²× ع.
حجم المجسم بالكامل= 3/1 π×10²×28.2842712 + π ×10²×28.2842712
حجم المجسم بالكامل= 3/1 π×100×28.2842712 + π ×100×28.2842712
حجم المجسم بالكامل= 3/1 π× 2828.42712 + π ×2828.42712
حجم المجسم بالكامل= π×2828.42712 + π× 942.80904
حجم المجسم بالكامل= π 3771.23616سم³. (الجواب بدلالة π).
وعند تعويض قيمة π، ينتج أن حجم المجسم بالكامل= 11841.6815سم³.


مساحة المخروط

يتكوّن المخروط القائم من قطاع دائري، حيث إن مساحة القطاع الدائري تعبر عن المساحة الجانبية للمخروط القائم، أما القاعدة فهي عبارة عن شكل دائري، ولحساب المساحة الكلية للمخروط القائم يجب حساب مساحة الجانب ومساحة القاعدة.[٣]


وبهذا فإن:[٣]

المساحة الكلية للمخروط القائم = (مساحة الجانبية+ مساحة القاعدة).
المساحة الكلية للمخروط القائم = (مساحة القطاع الدائري+ مساحة القاعدة).
المساحة الكلية للمخروط القائم = (π×نق× ل+ π ×نق²).
علماً بأن:
ل يعبر عن طول راسم المخروط
نق تعبرعن نصف قطر قاعدة المخروط.


ومن الممكن استخدام القانون الآتي لحساب المساحة الجانبية للمخروط وهي:[٣]

مساحة القطاع الدائري= (زاوية القطاع الدائري المركزية/360درجة) × مساحة الدائرة.
علماً بأن الزاوية المركزية للقطاع الدائري تساوي 180 درجة.


وفيما يأتي مثال يبين كيفية حساب مساحة المخروط الدائري.

  • مثال: كرتونة على شكل نصف دائرة، قطرها يساوي 3سم، فإذا علمت أنه تم تحويلها لمخروط قائم أجوف، احسب المساحة الجانبية لهذا المخروط؟
المساحة الجانبية للمخروط القائم= مساحة القطاع الدائري.
المساحة الجانبية للمخروط القائم= (360/180) × π × نق².
المساحة الجانبية للمخروط القائم= 2/1×π×نق².
المساحة الجانبية للمخروط القائم= π× نق² /2.
بما أن نق=القطر/2، بالتالي فإن نق=1.5، وبتعويض نق بالقانون.
ينتج أن:
المساحة الجانبية للمخروط القائم= (π ×1.5×1.5) /2
المساحة الجانبية للمخروط القائم=π×1.125سم²، (الجواب بدلالة π).
وعند تعويض قيمة π ينتج أن المساحة الجانبية للمخروط القائم= 3.5325سم².


المراجع

  1. ^ أ ب "Cone", www.mathsisfun.com, Retrieved 2-1-2018. Edited.
  2. ^ أ ب رجائي سميح العصار، ‏جواد يونس أبو هليل،‏محمد زهير أبو صبيح (2013)، مدخل إلى أولمبياد ومسابقات الرياضيات (الطبعة الأولى)، الرياض: جامعة الملك فهد للبترول والمعادن عمادة البحث العلمي_ مكتبة العبيكان، صفحة 86. بتصرّف.
  3. ^ أ ب ت ث ج ح خ شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 138-142 ملف128-155، ملف اجابات الاسئلة 199-217، جزء الثاني. بتصرّف.