قانون ضعف الزاوية

بواسطة: - آخر تحديث: ١١:٥٧ ، ٢١ نوفمبر ٢٠١٧
قانون ضعف الزاوية

قانون ضعف الزاوية

لقانون ضعف الزاوية أشكال متعددة مرتبطة بالاقترانات المثلثية الثلاث، وهذه الأشكال هي:[١]

  • جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2ظا(س)/1+ظا2(س).
  • جتا(2س)=جتا2(س)-جا2(س)=2جتا2(س)-1=1-2جا2(س)=1-ظا2(س)/1+ظا2(س).
  • ظا(2س)=2ظا(س)/1-ظا2(س).


تعريف قانون ضعف الزاوية

ترتبط قوانين ضعف الزاوية مع النسب المثلثية المعروفة الثلاث، وهي: جيب الزاوية (جا)، وجيب تمام الزاوية (جتا)، وظل الزاوية (ظا)، وهذه النسب الثلاث هي عبارة عن اقترانات تربط بين أضلاع المثلث قائم الزاوية بالنسبة إلى زاوية معينة منه، ويعبر قانون ضعف الزاوية عن جا(2س)، وجتا (2س)، وظا(2س) بواسطة علاقات متناسبة مع بعضها البعض، ومن الجدير بالذكر أنّ كلمة ضعف تعني زيادة قياس الزاوية مرتين بالنسبة إلى قياسها الأصلي، أي ضرب قياس الزاوية بالعدد 2، فإذا كان قياس الزاوية ص هو 100 درجة فإنّ ضعفها هو 200 درجة.[٢]


أمثلة على قانون ضعف الزاوية

المثال الأول:


يوضح المثال الآتي طريقة إيجاد جيب تمام ضعف الزاوية عند معرفة جيبها.[٣]


احسب جتا(2س) إذا كان جا(س)=3 /5، باستخدام قانون ضعف الزاوية
جتا(2س)=1-2جا2(س)=1-2(5/3)2=1-2(9/ 25)= 1-(18/ 25)=7/ 25


المثال الثاني:

يوضح المثال الآتي طريقة إيجاد كل القيم الممكنة للزوايا التي ينطبق عليها 2جتا(س)+جا(2س)=0.[٣]


السؤال: احسب جميع القيم الممكنة للزاوية س، إذا كان 2جتا(س)+جا(2س)=0، حيث 360≥س≥0
باستبدال جا(2س) بالقيمة 2جا(س) جتا(س) ينتج ما يأتي: 2جتا(س)+2جا(س) جتا(س)
باستخراج العامل المشترك 2جتا(س) يكون الناتج 2جتا(س) (1+جا(س))=0
باستخدام قانون الضرب بالصفر، وهو إذا كان أ،ب عددين وكان أ×ب=0 فإنّ أ=0 أو ب=0، أو كلا العددين أ،ب يساويان صفراً،[٤] ومنه ينتج أنّ 2جتا(س)=0، 1+جا(س)=0، ومنه جتا(س)=0، وجا(س)=-1[٣]
تحديد الزاويا ذات جيب التمام المساوي للصفر، وهي س=90، 270 درجة، والزوايا ذات الجيب المساوي ل -1 وهي 270 درجة، وعليه يكون الحل س=90 درجة، 270 درجة[٣]


المراجع

  1. "Trigonometric Identities", www.mathsisfun.com , Retrieved 19-11-2017. Edited.
  2. Beverly Maitland-Frett، "Double Angle: Properties، Rules، Formula & Examples"، www.study.com، Retrieved 19-11-2017. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث "Double Angle Identities"، www.softschools.com، Retrieved 19-11-2017. Edited.
  4. "Zero Product Property", www.mathsisfun.com, Retrieved 19-11-2017. Edited.