كيفية حساب حجم الكرة

كتابة - آخر تحديث: ١٣:٤٨ ، ٢١ فبراير ٢٠١٨
كيفية حساب حجم الكرة

الكرة

الكرة (بالإنجليزيّة: Sphere) هي عبارة عن شكل هندسي محدود، ذي سطح مُنحنٍ ومغلق؛ حيث إنّ كل نقطة تقع على هذا السطح تبعد مسافة ثابتة عن نقطة معينة تقع داخل الكرة، وتُسمّى النقطة المعينة بمركز الكرة، أما المسافة بين النقاط التي تقع على سطح الكرة والمركز فتُسمّى بنصف قطر الكرة، والخط الواصل بين أي نقطتين تقعان على سطح الكرة والمار بالمركز يُسمّى قطر الكرة،[١] ومن الأمثلة على المجسمات الموجودة في حياتنا اليومية والتي تُمثّل الجسم الكروي كرة القدم، والكوكب الذي نعيش عليه (كوكب الأرض)، والبالون عند ملئه بالهواء، وقطرات المطر، وغيرها من الأشكال الكروية التي لا حصر لها في حياتنا.[٢]


خصائص الكرة

يوجد للكرة مجموعة من الخصائص التي تميزها عن غيرها من المجسمات والأشكال الهندسيّة، ومن هذه الخصائص ما يلي:[٣][٢][١]

  • يوجد للجسم الكروي سطح واحد؛ لذلك هي لا تعتبر من المجسمات المتعددة الوجوه، كما وأنّه لا يمكن تسمية سطحها بالوجه؛ لأنّ الشكل الكروي ليس مسطحاً.
  • تخلو الكرة من الأضلاع والحواف والجوانب، وبالتالي فإنّها تخلو أيضاً من الزوايا والرؤوس.
  • المسافة بين أي نقطة تقع على سطح الكرة والمركز هي نفسها ومتساوية عند جميع النقاط التي تقع على السطح.
  • الجسم الكروي ذو ثلاثة أبعاد.


قانون حجم الكرة

إن الصيغة الرياضيّة لقانون حجم الكرة هي: حجم الكرة = 3/4 × π × نق³. وأمّا كيفيّة اشتقاق هذا القانون، فقد جاء من علاقة حجم الكرة بحجم الأسطوانة كما هو موضّح في الاشتقاق التالي:[١]


حجم الأسطوانة= 3 × (حجم نصف الكرة).
وبما أن حجم الأسطوانة= π × نق² × ع، علماً بأن 3.14 = π أو 7/22، ع = الإرتفاع، نق = نصف قطر الكرة، فإن:
π × نق² × ع= 3 × (2/1 × حجم الكرة).
π × نق²×ع= 2/3 × حجم الكرة. علماً بأنّ (2/3 = 1.5، ويمكن استخدامها بدلاً عن الكسر).
وبضرب طرفي المعادلة بمقلوب الكسر3/2، ينتج أنّ:
3/2 × (π × نق²×ع) = حجم الكرة.
(π × نق² × ع × 2)/3 = حجم الكرة.
وبما أن ع = 2نق.
(π × نق² × 2 نق × 2)/3 = حجم الكرة.
(π × نق²×4 نق)/3 = حجم الكرة.
(π ×نق³×4)/3 = حجم الكرة.
إذن: حجم الكرة = 3/4 × π × نق³.


ويمكن القيام بتجربة بسيطة، توضّح القانون بطريقة عمليّة، وتبيّن علاقة حجم الكرة بالأسطوانة عن طريق مجموعة من الخطوات البسيطة التي يتم اتباعها، والتي من خلالها يتم الوصول لقانون حجم الكرة بمنتهى المرونة والبساطة، والخطوات هي:[١]

  • إحضار مُجسّم أسطواني وكرة مفرغة من الداخل، بحيث أنّ ارتفاع الأسطوانة = 2 نق الكرة الموجودة (ضعفي نصف قطر الكرة)، ونصف قطر الكرة = نصف قطر قاعدة الاسطوانة الدائرية.
  • تقسيم الكرة المفرغة من الداخل إلى نصفين متطابقين تماماً.
  • إحضار كمية من الرمل والبدء بتعبئة الرمل في نصف الكرة، وإفراغ كمية الرمل في الاسطوانة، وإعادة هذه الخطوة حتى تمتلئ الأسطوانة بالرمل بشكل كامل.
  • بعد إنهاء هذه الخطوة سيتم الاستنتاج بأنّ الأسطوانة امتلأت بعد ثلاث مرات من ملئ نصف الكرة؛ أي أنّ الاسطوانة احتاجت إلى ثلاثة أضعاف كمية الرمل الموجودة بنصف الكرة حتى تمتلئ.


أمثلة على كيفية حساب حجم الكرة

من الأمثلة التي تُبيّن كيفية حساب وإيجاد حجم المجسم الكروي ما يلي:

  • مثال1:جسم كروي الشكل، إذا علمت أن طول نصف قطره يساوي 5سم، احسب حجم الجسم.[٢]
الحل:
نطبق قانون حجم الكرة وهو:
حجم الكرة = 3/4 × π × نق³.
نعوض قيمة نصف القطر بالقانون.
حجم الكرة = 3/4 × (π × ³(5
حجم الكرة = 3/4 × π ×5×5×5.
حجم الكرة = تقريباً 166.7 πسم³.(الجواب بدلالة π).
وعند تعويض قيمة π ينتج أن حجم الكرة يساوي تقريباً 523.3سم³.


  • مثال2: جسم كروي الشكل، إذا علمت أن طول قطره يساوي 18سم، احسب حجم الجسم.
الحل:
نُطبّق قانون حجم الكرة وهو:
حجم الكرة = 3/4 × π × نق³.
نعوض قيمة نصف القطر بالقانون.(نصف القطر= القطر/2 =>نق=18/2=9)
حجم الكرة = 3/4 × (π × ³(9
حجم الكرة = 3/4 × π ×9×9×9.
حجم الكرة = 972 πسم³. (الجواب بدلالة π)
وعند تعويض قيمة π ينتج أنّ حجم الكرة يساوي تقريباً 3052.08سم³.


  • مثال3: خزان ماء كروي الشكل، إذا علمت أنّ طول قطره يساوي 6م، احسب حجم خزان الماء.[١]
الحل:
نُطبّق قانون حجم الكرة وهو:
حجم الكرة = 3/4 × π × نق³.
نعوض قيمة نصف القطر بالقانون.(نصف القطر= القطر/2 ؛ إذن نق=2/6=3).
حجم خزان الماء = 3/4 × (π × ³(3
حجم خزان الماء = 3/4 × π × 3 × 3 × 3
حجم خزان الماء = 36 × πم³ (الجواب بدلالة π).
وعند تعويض قيمة π ينتج أن حجم الخزان يساوي تقريباً 113.04م³.


  • مثال4:مجسم كروي الشكل، إذا علمت أنّ حجمه يساويπ400سم³، احسب طول نصف قطره.[١]
الحل:
نُطبّق قانون حجم الكرة، وهو:
حجم الكرة = 3/4 × π × نق³.
نعوّض قيمة حجم الكرة بالقانون.
π400سم³ = 3/4 × π × نق³
وبضرب طرفي المعادلة بمقلوب الكسر 3/4 تنتج المعادلة التالية:
π300 = نق³ × π.
وبقسمة طرفي المعادلة على π، ينتُج أنّ:
300 = نق³، وبأخذ الجذر التكعيبي للطرفين تصبح قيمة نق تساوي:
300 = نق
نق = تقريباً 6.7 سم


  • مثال5: إذا كان كوكب المريخ كروي الشكل، وكان طول قطره يساوي 6600كم، جد حجمه باستخدام الصيغة العلمية.[١]
الحل:
نُطبّق قانون حجم الكرة وهو:
حجم الكرة = 3/4 × π × نق³.
نعوّض قيمة نصف القطر بالقانون، نق =2/6600=3300
حجم كوكب المريخ = 3/4 × (3300)³ × π.
حجم كوكب المريخ= 3/4 × (3.3×10)³ × π
حجم كوكب المريخ= 150.45624× 109
إذن: حجم كوكب المريخ= 1.5× 1011كم³.


المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج ح خ شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 146-150، ملف 128-155 درس الكرة، جزء الثاني. بتصرّف.
  2. ^ أ ب ت "Sphere", www.mathsisfun.com, Retrieved 15-1-2018. Edited.
  3. رجائي سميح العصار، ‏جواد يونس أبو هليل،‏محمد زهير أبو صبيح (2013)، مدخل إلى أولمبياد ومسابقات الرياضيات (الطبعة الأولى)، الرياض: جامعة الملك فهد للبترول والمعادن عمادة البحث العلمي_ مكتبة العبيكان، صفحة 84فقط، جزء الأول. بتصرّف.