كيفية حساب محيط المثلث القائم

كتابة - آخر تحديث: ١٦:٠٥ ، ٢٣ أبريل ٢٠١٨
كيفية حساب محيط المثلث القائم

المثلّثات

المثلّثات: هي عبارة عن أشكال هندسيّة ثلاثيّة الجوانب، حيث يتكوّن سطحها من التقاء ثلاث قِطَع مستقيمة تُسمّى جوانب (أضلاع) المثلّث؛ في حين ينتج عن هذا الالتقاء ثلاث نقاط تسمى برؤوس المثلث، لا تقع على استقامة واحدة، أما بالنسبة للقطعة المستقيمة الواصلة بين رأس المثلّث ومنتصف الضّلع المقابل له فتسمى بالمستقيم أوالمسمى الأشهر لها هو القطعة المتوسّطة، في حين يُعرف ارتفاع المثلّث على أنه العمود الواصل من رأس المثلّث إلى قاعدته؛ حيث ينتج عن نزول هذا العمود زاوية قائمة (قياسها 90°).[١][٢]


تصنف أنواع المثلثات إلى تصنيفين؛ الأول من حيث الزوايا، والثاني من حيث أطوال الأضلاع، وفي ما يأتي توضيح لهذه الأنواع من المثلثات.

تُقسَم أنواع المثلّثات حسب زواياها إلى ثلاثة أصناف، هي:[٣][٢]
  • مثلّث قائم الزاوية: هو المثلث الذي يحتوي على زاوية قياسها 90°، في حين أن الزاويتان الباقيتان قياس كل منهما أقل من 90° (حادّتان ومتتامّتان).
  • مثلّث حادّ الزّوايا: هو المثلث الذي يحتوي على ثلاث زوايا قياس كل منها أقل من 90°، أي إن جميع زواياه حادة.
  • مثلّث منفرج الزاوية: هو المثلث الذي يحتوي على زاوية قياسها أكثر من 90°، في حين أن الزاويتان المتبقيتان قياس كل منهما أقل من 90°(حادّتان).


أما بالنسبة لأنواع المثلّثات من حيث أطوال أضلاعها فهي مقسمة إلى ثلاثة أصناف، وهي:[٣][٢]
  • مثلّث متساوي الأضلاع: هو المثلث الذي تتطابق أضلاعه الثلاثة حيث لها الطول نفسه، وعليه فإنّ زواياه الثلاث مُتطابقة تماماً؛ حيث إن قياس كل واحدة منها يساوي 60°.
  • مثلّث متساوي السّاقين: هو المثلث الذي يتطابق فيه ضلعان من حيث الطول، وعليه فإنّ الزاويتين المُجاورتين للضلعين المتطابقين متطابقتان في القياس (زاويتا القاعدة متطابقتان).
  • مثلّث مختلف الأضلاع: هو المثلث الذي جوانبه تختلف في الطول عن بعضها البعض فلا يوجد أي جانب مساوٍ للآخر، وعليه فإنّ زواياه الثلاثة مختلفة في القياس.


تعريف المثلّث قائم الزاوية

المثلث قائم الزاوية هو المثلّث الذي فيه مجموع مربّعَي طول أقصر ضلعين يساوي مربّع طول الضلع الثالث،[١] وبصورة أخرى هو المثلّث الذي إحدى زاوياه قائمة قياسها 90°،[٣][٤] أما أطول الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة في المثلّث القائم الزاوية فيسمى وتراً.[٥]


كيفية حساب محيط المثلّث قائم الزاوية

إن حساب محيط المثلث القائم لا يختلف عن حساب المحيط لباقي المثلثات، فبمجرد إيجاد مجموع أطوال أضلاع المثلّث ينتج المحيط، فهو يُعبر عن المسافة التي تَحُد وتُحيط بالمثلّث، وهو يُحسب بجمع أطوال الجوانب/الأضلاع الثلاثة.[٣] وقد ساهمت الاكتشافات المهمة التي توصل إليها العلماء عبر دراسة المثلثات قبل آلاف السنين، في الوصول لنظريات وقوانين مهمة تخص المثلث القائم خصوصاً والمثلثات عموماً، ومن أهم العلماء الذين وضعوا نظريات عملت على نقل علم المثلثات نقلة نوعية العالم الشهير فيثاغورس الذي كان له مدرسته الخاصة التي أنشأها في إيطاليا والتي وضع بواسطتها نظرياتٍ عدّة في الهندسة المستوية، كما أنه وضع نظريته المشهورة والتي سميت على اسمه (نظرية فيثاغورس)، والتي تُعنى في حساب طول الضلع الثالث في المثلث القائم الزاوية، وذلك بحساب مربع طول أطول ضلع أو الضلع الذي يُقابل الزاوية القائمة ومساواته بمجموع مربّعَي الضلعين المتبقيين، حيث تُصبح مسألة إيجاد المحيط لمثلث قائم طول أحد أضلاعه غير معلوم أمر في غاية البساطة فعن طريق هذه النظرية يحسب طول الضلع المجهول ومن ثم يُحسب المحيط بجمع أطوال الأضلاع، حيث يعبر عن هذه النظرية بالقانون الآتي:[١][٦]

نظرية فيثاغورس: (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)²


أمثلة توضح كيفية حساب محيط المثلث قائم الزاوية

  • مثال (1): إذا كانت الأطوال الآتية (41م، 40م، 9م) تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية والأطوال الآتية (3دسم، 4دسم، 5 دسم) أضلاع لمثلث آخر من النوع نفسه، جد محيطهما.
الحل:
المثلث الأول:
نحسب محيط المثلث القائم.
محيط المثلث= مجموع أطوال أضلاعه.
محيط المثلث= 41+40+9.
إذن محيط المثلث=90م.
المثلث الثاني:
نحسب محيط المثلث القائم.
محيط المثلث= مجموع أطوال أضلاعه.
محيط المثلث= 3+4+5
إذن: محيط المثلث=12دسم.
  • مثال (2): بيّن إذا كانت أطوال الأضلاع الآتية 8سم، 15سم، 17سم، تُمثّل أطوال أضلاع مثلث قائم، ثم جد محيطه.[١]
الحل:
أولاً: نبحث في كون المثلث قائم الزاوية أو غير قائم الزاوية.
نجد مربع طول كل ضلع.
8²=64، 15²=225، 17²=289.
نجد مجموع مربّعَي الضلعين الأقصر طولاً إذا كان مساوٍ لمربّع طول الضلع الثالث
17² هل تساوي15²+8².
289 هل تساوي 64+225.
إذن289=289، وبهذا فإن المثلث قائم الزاوية.
ثانياً: نحسب محيط المثلث.
محيط المثلث= مجموع أطوال الأضلاع الثلاث.
محيط المثلث= 8+15+17.
إذن: محيط المثلث= 40سم.
الحل:
أولاً: نحسب طول الجانب ع ص عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس.
(طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)².
(ع ص)² =(ع س)²+(س ص)².
(ع ص)² =(3)²+(4)².
(ع ص)² =9+16.
(ع ص)² =25.
وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين.
(ع ص) =5. (ملاحظة: تُهمل -5 لأن الطول دائماً موجب).
إذن: طول الضلع ع ص=5سم.
ثانياً: بعد إيجاد طول الضلع المجهول نحسب المحيط بجمع أطوال الأضلاع الثلاثة.
محيط المثلث س ص ع= 3+ 4+5.
إذن محيط المثلث س ص ع= 12سم.


المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم-إدارة المناهج والكتب المدرسيّة، صفحة: 106، 112-113/ملف(102-127)، الجزء الثاني. بتصرّف.
  2. ^ أ ب ت أحمد حلمي، محمود سليم (2005)، الرسم الهندسي (الطبعة الأولى)، القاهرة: مجموعة النيل العربيّة، صفحة: 69-75. بتصرّف.
  3. ^ أ ب ت ث "Triangles", www.mathsisfun.com, Retrieved 5-12-2017. Edited.
  4. "Right-Angled Triangles", www.mathsisfun.com, Retrieved 27-12-2017. Edited.
  5. "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 27-12-2017. Edited.
  6. "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 6-12-2017. Edited.