كيف أحسب حجم الأسطوانة

كتابة - آخر تحديث: ٠٧:١٣ ، ٢٢ فبراير ٢٠١٨
كيف أحسب حجم الأسطوانة

الأسطوانة

الأسطوانة (بالإنجليزيّة: Cylinder) هي إحدى المجسّمات الهندسيّة الأساسيّة ثلاثيّة الأبعاد؛ حيث تتكوّن من قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين، يصل بينهما سطحٌ مُنحنٍ، وهي من المجسّمات المنتشرة بكثرةٍ في الحياة العمليّة، ومن أمثلتها: جذوع الأشجار، وأعمدة الكهرباء، والعلب المعدنيّة، ولها أنواعٌ عديدة، تعتمد على شكل القاعدتين.[١]


أنواع الأسطوانات

تتعدّد أنواع الأسطوانات حسب شكل القاعدتين فيها، وهي كما يأتي:[٢]

  • الأسطوانة الدائريّة (بالإنجليزيّة: Circular Cylinder): تكون القاعدتان فيها دائريّتي الشّكل.
  • الأسطوانة بيضاويّة الشّكل (بالإنجليزيّة: Elliptic Cylinder): تكون القاعدتان في هذا النّوع من الأسطوانات إهليجيّتي الشّكل، بمعنىً آخر يكون المقطع العرضيّ للأسطوانة على شكل قطعٍ ناقصٍ، وقد تُسمّى الأسطوانةَ الناقصةَ.
  • الأسطوانة المكافِئة (بالإنجليزيّة: Parabolic Cylinder): يكون شكل المقطع العرضيّ للأسطوانة قطعاً مكافئاً.
  • الأسطوانة الزّائدة (بالإنجليزيّة: Hyperbolic Cylinder): يكون شكل المقطع العرضيّ للأسطوانة فيها قطعاً زائداً.


خصائص الأسطوانة الدائريّة

يتوسّط مجسّمَ الأسطوانة الدائريّة ما يُعرَف بمحور الأسطوانة؛ حيث تبعُد النّقاط كافّةً عن هذا المحور مسافاتٍ معيّنةً، أمّا عند طرفَي المجسّم الأسطوانيّ فهناك سطحان دائريّان يتعامدان مع محور الأسطوانة، ويمكن تخيّل هذا المجسَّم عن طريق تخيُّل مستطيلٍ يدور حول واحدٍ من أضلاعه الأربعة دورةً كاملةً، ومن هنا يُسمّى محور عمليّة الدّوران هذه باسم محور الأسطوانة، أمّا الضّلع المُقابل له فيسمّى راسمَ الأسطوانة؛ لأنّه هو الذي يحدّد محيطها.[١]


يُعرَّف ارتفاع الأسطوانة بأنّه الخطّ الواصل بين الوجه الدائريّ الأوّل للأسطوانة والوجه الدائريّ الثاني لها؛ بحيث يكون هذا الخطّ مُتعامداً مع كلا السّطحين الدائريّين، ووضع هذا الخطّ بالنّسبة إلى محيطَي القاعدتَين هو الذي يحدّد ما إذا كانت الأسطوانة مائلةً أو قائمةً؛ فإذا تعامد ارتفاع الأسطوانة مع المحيطَين فالأسطوانة عندئذٍ قائمةٌ، أمّا إن لم تتعامد القطعتان مع الأسطوانة فستكون أسطوانةً مائلةً.[١]


كيفيّة حساب حجم الأسطوانة الدائريّة

يُحسَب حجم الأسطوانة الدائريّة القائمة بالطّريقة نفسها التي يُحسَب فيها حجم الأسطوانة الدائريّة المائلة، وذلك باستخدام القانون الآتي:[٣]

حجم الأسطوانة=مساحة القاعدة×الارتفاع
مساحة القاعدة=مساحة الدّائرة=π×(مربّع نصف القطر)
حجم الأسطوانة= π×(مربّع نصف القطر)×الارتفاع


كيفيّة حساب مساحة الأسطوانة الدائريّة

حساب المساحة السطحيّة للأسطوانة

يمكن حساب المساحة السطحيّة للأسطوانة عن طريق تجزئتها إلى القاعدتين والجزء المنحني، كالآتي:[٤]

المساحة السطحيّة للأسطوانة=مساحة القاعدة الأولى+مساحة القاعدة الثانية+مساحة الجزء المنحني

نظراً لأنّ القاعدتين في الأسطوانة الدائريّة هما عبارة عن دائرتين، والجزء المنحني يشكّل مستطيلاً، إذن:

المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائريّة=مساحة الدّائرة الأولى+مساحة الدّائرة الثانية+مساحة المستطيل

المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائريّة=π×(مربّع نصف القطر)+π×(مربّع نصف القطر)+الطول×العرض


ولأنّ القاعدتين متطابقتان، إذن:

مساحة الدّائرة الأولى=مساحة الدائرة الثّانية، وعليه فإنّ:

المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائريّة=2×(π×(مربّع نصف القطر))+الطول×العرض

ولكنّ العرض هو نفسه ارتفاع الأسطوانة، أمّا الطّول فهو محيط القاعدة، إذن:

محيط القاعدة=محيط الدّائرة=π×2×نصف القطر

المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائريّة=2×(π×(مربّع نصف القطر))+π×2×نصف القطر×الارتفاع

المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائريّة=2×π×نصف القطر(نصف القطر+الارتفاع)


حساب المساحة الجانبيّة للأسطوانة

تُحسَب المساحة الجانبيّة للأسطوانة كما يأتي:[٥]

المساحة الجانبيّة للأسطوانة=مساحة الجزء المنحني
المساحة الجانبيّة للأسطوانة=π×2×نصف القطر×الارتفاع


أمثلةٌ على حساب حجم الأسطوانة ومساحتها

  • مثال (1): جِد حجم أسطوانةٍ يبلغ ارتفاعها 20سم، ونصف قطر قاعدتها 5سم.
الحلّ:
حجم الأسطوانة=π×(مربّع نصف القطر)×الارتفاع
حجم الأسطوانة=πײ(5)×20
حجم الأسطوانة=1570.79سم³


  • مثال (2): يبلغ حجم أسطوانةٍ 300سم³، تُراد زيادة ارتفاعها إلى الضّعف، احسب نسبة الزّيادة في الحجم.
الحلّ:
حجم الأسطوانة الحاليّ=π×(مربّع نصف القطر)×الارتفاع=300سم³
حجم الأسطوانة الجديد=π×(مربّع نصف القطر)×2×الارتفاع الحاليّ
حجم الأسطوانة الجديد/حجم الأسطوانة الحاليّ=2×الارتفاع الحاليّ/الارتفاع الحاليّ
حجم الأسطوانة الجديد=2×حجم الأسطوانة الحاليّ
حجم الأسطوانة الجديد=2×300=600سم³


  • مثال (3): يراد عمل تلسكوبٍ يدويٍّ من قطعةٍ معدنيّةٍ مستطيلة الشّكل، عرضها 18سم، وطولها 36سم، تمّ لفّ القطعة المعدنيّة على شكل أسطوانةٍ محيطها 36سم، جد حجم الأسطوانة الناتجة، ومساحتها السطحيّة.
الحلّ:
لإيجاد حجم الأسطوانة النّاتجة:
عرض المستطيل=ارتفاع الأسطوانة=18سم
طول المستطيل=محيط القاعدة الدائريّة
36=π×2×نصف القطر
نصف القطر=5.73سم
حجم الأسطوانة=πײ(5.73)×18
حجم الأسطوانة=1856.6سم³


لإيجاد المساحة السطحيّة للأسطوانة:
المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائريّة=2×(π×(مربّع نصف القطر))+الطول×العرض
المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائرية=854.3سم²


  • مثال (4): خزّانٌ أسطوانيّ الشكل، مملوءٌ بالماء، طول قطره 50سم، وارتفاعه 200سم، نُقِل الماء الموجود داخله إلى خزّانٍ آخر طول قطره 100سم، جد ارتفاع الماء داخل الخزّان الثاني بوحدة المتر.
الحلّ:
إيجاد حجم الخزّان الأوّل:
نصف القطر=القطر/2
نصف القطر=2/50=25سم
حجم الخزّان الأوّل=π×(مربّع نصف القطر)×الارتفاع
حجم الخزّان الأوّل=πײ(25)×200
حجم الخزّان الأوّل=392699سم³
حجم الخزان الأوّل (بالمتر المكعّب)=392699×0.000001
حجم الخزّان الأوّل=0.3927م³


نظراً لأنّ الخزان الأوّل كان مملوءاً بالماء، فإنّ حجمه هو نفسه حجم الماء داخل الخزان الثاني، إذن:
حجم الخزّان الثاني=π×(مربّع نصف القطر)×الارتفاع
0.3927=الارتفاع×πײ0.5
الارتفاع=0.5م


  • مثال (5): صهريج ماءٍ أسطوانيّ الشكل، يبلغ طوله 2.5م، بينما يبلغ نصف قطر قاعدته 0.5م، تمّت تعبئته بالماء حتّى ارتفاع 0.6م، جد حجم الماء الموجود داخله.
الحلّ: يُعدّ مثل هذا النوع من الأسئلة صعباً، وذلك بسبب الحاجة إلى معرفة مساحة الجزء المملوء من الماء، مع الأخذ بعين الاعتبار القاعدةَ التي تكون على شكل قطاعٍ دائريّ، لذا فإنّ:[٦]
الحجم=الارتفاع×مساحة القطاع الدائريّ
يمكن إيجاد مساحة هذه القطعة في حال كان العمق معطىً كالآتي:[٧]
المساحة=(مربّع نصف القطر)×جتا-1((نصف القطر-العمق)/نصف القطر)-(نصف القطر-العمق)×(2×نصف القطر×العمق-مربّع العمق)^(1/2)


مع استعمال التقدير الدائريّ لحساب قيمة جتا-1، فإنّ:
المساحة=(0.5×0.5)×جتا-1((0.5-0.6)/0.5)-(0.5-0.6)×(2×0.5×0.6-0.6×0.6)^(1/2)
المساحة=0.492م²
حجم الماء داخل الصّهريج=0.492×2.5
حجم الماء داخل الصهريج=1.23م³=1230 لتراً


  • مثال (6): وعاءٌ أسطوانيُّ الشكل، حجمه 600سم³، ومحيط غطائه 40سم، احسب المساحة الكليّة للأسطوانة إذا أُزيل الغطاء.
الحلّ:
لإيجاد المساحة الكليّة، يجب إيجاد قيمة نصف القطر والارتفاع، كما يأتي:
نجد طول نصف القطر من قانون محيط الدائرة:
محيط الدائرة=π×2×نصف القطر
40=π×2×نصف القطر
نصف القطر=6.37سم


نجد الارتفاع من قانون حجم الأسطوانة:
حجم الأسطوانة=π×(مربّع نصف القطر)×الارتفاع
600=(πײ(6.37×الارتفاع
الارتفاع=4.7سم


لإيجاد المساحة السطحيّة:
المساحة السطحيّة للوعاء بلا غطاء=(π×(مربّع نصف القطر))+π×2×نصف القطر×الارتفاع
المساحة السطحيّة للوعاء بلا غطاء=315.6سم²


فيديو عن مساحة الأسطوانة وحجمها

للتعرف على هذا الشكل الهندسي وكيفية حساب مساحته وحجمه شاهد الفيديو التالي


المراجع

  1. ^ أ ب ت Math Open Reference Staff, "Cylinder"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-28. Edited.
  2. Fandom Staff, "Cylinder"، Fandom, Retrieved 2016-12-28. Edited.
  3. Math Open Reference Staff, "Volume enclosed by a cylinder"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-28. Edited.
  4. Math Open Reference Staff, "Derivation of the surface area of a cylinder"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-28. Edited.
  5. "الأسطوانة : وصفها - حجمها و مساحتها الجانبية و الكلية"، Arqam-Math، 2013-6-12، اطّلع عليه بتاريخ 2016-12-28. بتصرّف.
  6. Math Open Reference Staff, "Volume of a horizontal cylinder segment"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-28. Edited.
  7. Math Open Reference Staff, "Area of a Circular Segment given its height"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-28. Edited.