كيف نحسب المساحة

بواسطة: - آخر تحديث: ١٣:٥٢ ، ٢٢ يناير ٢٠١٨
كيف نحسب المساحة

كيفية حساب مساحة الأشكال الثنائية الأبعاد

تُعرّف المساحة على أنها المنطقة المحصورة داخل حدود المضلعات البسيطة والمسطحة (ثنائية الأبعاد)، كالمثلث، والمستطيل، والمربع، والدائرة، وغيرها من الأشكال ذات الأبعاد الثنائية. ومن الممكن إيجاد مقدار مساحة أي شكل من هذه الأشكال بعدة طرق أبسطها وأكثرها بدائيّة طريقة العد؛ وتكون عن طريق رسم الشكل - ثنائي الأبعاد - على ورق بياني (مربعات)، ومن ثم عد المربعات التي يشغلها هذا الشكل، حيث يُمثل كل مربع منها وحدة مربّعة، ويتم تحديد الوحدة المُراد استخدامها في قياس مساحة الشكل، كالبوصة، أو القدم، أو السنتيمتر، أو غيرها من وحدات قياس الطول؛ فعلى سيبل المثال لو كان الشكل المرسوم على هذه الورقة مستطيلاً، وكانت الوحدة المستخدمة (سم)، وطُلب إيجاد مساحته، فيتم عندها ببساطة عدّ المربّعات الموجودة داخل المستطيل (على فرض أنها 8 مربعات)، ومن ثَم كتابة الناتج مرافقاً للوحدة مربعة (مساحة المستطيل=8 سم²). كما يمكن إيجاد المساحة أيضاً من خلال وضع صيغ وقوانين محددة لكل شكل يتم من خلالها حساب المساحة بطريقة بسيطة.[١][٢]


مساحة المربع

يُعرّف المربع على أنه شكل هندسي ثنائي الأبعاد، ويعدّ إحدى أشهر المضلعات المنتظمة (جميع أضلاعه متساوية)، وكذلك فإنّ زواياه الأربعة قائمة ومتساوية. أما بالنسبة لمساحته فهي تلك المنطقة التي تقع داخل أضلاعه، وهي عبارة عن طول الضلع مرفوع للقوة 2، أي(طول الضلع مضروب بنفسه). وهكذا فإن مساحة المربع = (طول الضلع)².[٣][٤]

ومن الأمثلة التي توضح كيفية حساب مساحة المربّع ما يلي:

  • (مثال): احسب مساحة نافذة على شكل مربع، إذا علمت أن طول الجانب الواحد يساوي 1.5 م.[٤]

الحل:

باستخدام قانون مساحة المربع، يعوض طول الضلع بالقانون.

مساحة المربع= (1.5)².

مساحة المربع= 2.25 م².


مساحة المستطيل

يُعرف المستطيل على أنه إحدى المضلّعات غير المنتظمة، لأن أطوال أضلاعه غير متساوية ككل، بل يكون الزوجان المتقابلان من أضلاعه فقط هما المتساويين، أما زواياه الأربعة فهي قائمة ومتساوية.[٥]

أما بالنسبة لمساحته فهي المنطقة التي تقع داخل أضلاعه، وهي عبارة عن حاصل ضرب الطول في العرض.

ومن الأمثلة التي توضّح كيفية حساب مساحة المستطيل ما يلي:

  • مثال: احسب مساحة بطاقة مستطيلة الشكل، إذا علمت أن طولها يساوي 4 سم، أما عرضها فيساوي 5 سم.[١]

الحل:

قانون مساحة المستطيل=(الطول× العرض)

تُعوض قيمة الطول= 4سم، والعرض= 5سم، في القانون.

مساحة البطاقة= (4× 5).

مساحة البطاقة= 20 سم².


كيفية حساب مساحة المجسّمات ثلاثية الأبعاد

تُعرف المجسمات على أنها أشكال صلبة ذات أبعاد ثلاثية (طول وعرض وارتفاع)، وهنالك عدة أنواع من المجسمات، كالأسطوانة، والموشور؛ وهو عبارة عن مجسم ثلاثي الأبعاد يحتوي على عدة أوجه غير منحنية، وفيه كل زوج من الأوجه المتقابلة متطابقة، بما فيهم القاعدتين، وغير ذلك فهو لا يسمى بالموشور، ومن الأمثلة على الموشورات، متوازي المستطيلات والمكعب والموشور الثلاثي، وغيرها. أما طُرق إيجاد المساحة السطحية للمجسمات فهي تتم من خلال معرفة طبيعة الأشكال الهندسية المكوِّنة للمجسم، ومن ثَم حساب مساحة كل وجه على حدى، ومن ثم جمع المساحات كاملة، أو من خلال اعتماد صيغ وقوانين محددة تُستخدم لإيجاد المساحات.


مساحة سطح الأُسطوانة

الأسطوانة هي مجسم ثلاثي الأبعاد فيه قاعدتين دائريتين متقابلين ومتطابقتين، كما أن جوانبه ناتجة عن التفاف مستطيل على أحد أضلاعه.[٦][٧]

أما مساحة الأسطوانة فتساوي (محيط القاعدة)×الارتفاع+ 2×(مساحة القاعدة).

وبما أن القاعدة الواحدة عبارة عن دائرة، فإن مساحة سطح الأسطوانة= (2 ×π× نق)×الارتفاع+2×(π×نق²).[٦]

علماً بأن: محيط الدائرة= 2 ×π× نق، أما مساحة الدائرة=π×نق².

ومن الامثلة التي توضح كيفية حساب مساحة الأسطوانة ما يلي:

  • مثال: احسب مساحة سطح خزان مياه أُسطواني الشكل، إذا علمت أن نصف قطر قاعدته يساوي 2م، أما ارتفاعه فيساوي10م.[٦]

الحل:

مساحة سطح الأسطوانة = (2 ×π× نق)×الارتفاع+2×(π×نق²).

وبتعويض قيمة الارتفاع= 10، ونق= 2، تصبح المعادلة:

مساحة سطح الأسطوانة = (2 ×π× ²2) 2 +10×(π×2).

إذن: مساحة سطح الأسطوانة = π48 م².


مساحة سطح متوازي المستطيلات

متوازي المستطيلات هو موشور قائم، تحتوي أوجهه الجانبية على مستطيلات، فيه كل زوج من الأوجه المتقابلة متطابقة، بما فيها القاعدتين.[٨][٣]

أما مساحة سطحه فتساوي (محيط القاعدة)×الارتفاع+ 2×(مساحة القاعدة)، وبما أن القاعدة الواحدة عبارة عن مستطيل، فإن:[٦]

المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات =(2(الطول+العرض)× الارتفاع)+ 2 (الطول× العرض).

علماً بأن محيط المستطيل= 2×(الطول+ العرض)، أما مساحة المستطيل=(الطول× العرض).

ومن الامثلة التي توضح كيفية حساب مساحة متوازي المستطيلات ما يلي:

  • مثال: احسب مساحة سطح موشور على شكل متوازي مستطيلات، إذا علمت أن طول قاعدته 3سم، وعرضها 4سم، أما ارتفاعها فيساوي 10سم.[٦]

الحل:

مساحة سطح متوازي المستطيلات= 2(الطول+العرض)× الارتفاع+ 2(الطول× العرض).

مساحة سطح متوازي المستطيلات =2(3+4)× 10+ 2(4×3).

مساحة سطح متوازي المستطيلات =2(7)× 10+ 2 (12).

مساحة سطح متوازي المستطيلات =(14× 10)+ 24.

مساحة سطح متوازي المستطيلات =140+24.

مساحة سطح متوازي المستطيلات =164سم².


مساحة سطح الهرم

يعتبر الهرم من المجسمات الثلاثية الأبعاد حيث يحتوي على قاعدة واحدة فقط على شكل مضلع وأوجهه الجانبية عبارة عن مثلثات عددها مقرون بعدد أضلاع القاعدة. أما حساب مساحة سطحه فهي عبارة عن مجموع مساحات أوجهه بالإضافة إلى مساحة القاعدة، وبما أن أوجهه الجانبية تُمثل مثلثات فإن:[٦]

المساحة الجانبية للهرم= مساحة المثلث الواحد×عدد المثلثات.

مساحة سطح الهرم= مساحة المثلث الواحد×عدد المثلثات + مساحة القاعدة.

مساحة سطح الهرم=(0.5×طول القاعدة× ارتفاع المثلث)×عدد المثلثات + مساحة القاعدة.

ومن الامثلة التي توضح كيفية حساب مساحة الهرم ما يلي:          
  • مثال: احسب المساحة الجانبية لهرم سداسي، إذاعلمت أن ارتفاعه الجانبي يساوي 16م، أما طول قاعدته فتساوي 14م.[٦]

الحل:

المساحة الجانبية للهرم= (0.5×طول القاعدة× ارتفاع المثلث)×عدد المثلثات.

تُعوض القيم التالية في القانون: الارتفاع= 16م، طول القاعدة= 14م، وعدد المثلثات= 6 (هرم سداسي يعني 6 مثلثات جانبية).

المساحة الجانبية للهرم= (0.5×14× 16)×6.

المساحة الجانبية للهرم= 7× 16×6.

المساحة الجانبية للهرم= 672 م².


حساب مساحة المنحنيات باستخدام التكامل

تختلف طريقة حساب مساحة المناطق المحدودة ضمن قطع مستقيمة كالمثلث والمستطيل والمربع وغيرها من الأشكال المضلّعة، والمجسمات الهندسية، عن طريقة حساب المساحة تحت المنحنيات، أو المساحة بينها، ويعتمد الرياضيّون والمهندسون وغيرهم على حساب التكامل في إيجاد المنطقة المحصورة بين محور السينات ومنحنى اقترانٍ ما. وهناك أكثر من حالة يتم فيها استخدام التكامل لحساب المساحة، وهي حالات تتفاوت في درجة تعقيدها؛ فالتكامل المحدّد مثلاً يمكن اعتباره أبسط حالة في التكامل لحساب المساحة تحت المُنحنى، عندما يكون للمنحنى (أو الاقتران والذي هو الصيغة الرياضيّة للمنحنى) بداية ونهاية معلومتان ومحدّدتان، إلّا أن بعض الحالات التي تحتاج إلى خطوات حلّ أكثر تظهر فيها المساحة المحسوبة بالسالب، وفي حالات أكثر تعقيداً، تكون هناك حاجة لتقسيم المنحنى (الاقتران) إلى أكثر من جزء، ثم حساب التكامل لكل قسم، وجمع الناتج في النهاية. إلّا أن التكامل لا يقتصر على هذه الحالات فقط، فيتسع استخدامه وتطبيقاته إلى عدد كبير من الاقترانات وأنواعها.[٩][١٠][١١]



المراجع

ملف 146-199
  1. ^ أ ب "?What is Area", www.mathsisfun.com, Retrieved 18-12-2017. Edited.
  2. "Area: Definition & Counting Method", www.study.com, Retrieved 17-12-2017. Edited.
  3. ^ أ ب رجائي سميح العصار، ‏جواد يونس أبو هليل،‏محمد زهير أبو صبيح (2013)، مدخل إلى أولمبياد ومسابقات الرياضيات (الطبعة الأولى)، الرياض: جامعة الملك فهد للبترول والمعادن عمادة البحث العلمي_ مكتبة العبيكان، صفحة 85-90، جزء الأول. بتصرّف.
  4. ^ أ ب "How to Find Perimeter from Area", www.study.com, Retrieved 28-11-2017. Edited.
  5. معروف سمحان،نجلاء التويجري،ليان توبان (2016)، رياضيات الأولمبياد: الهندسة (الطبعة الأولى)، الرياض: مؤسسة الملك عبد العزيز للموهبة والإبداع،العبيكان، صفحة 155-180، جزء الأول. بتصرّف.
  6. ^ أ ب ت ث ج ح خ شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 130-140ملف128-155، جزء ثاني. بتصرّف.
  7. رجائي سميح العصار، ‏جواد يونس أبو هليل،‏محمد زهير أبو صبيح (2013)، مدخل إلى أولمبياد ومسابقات الرياضيات (الطبعة الأولى)، الرياض: جامعة الملك فهد للبترول والمعادن عمادة البحث العلمي_ مكتبة العبيكان، صفحة 80-90، جزء الأول. بتصرّف.
  8. "Cuboid", www.mathworld.wolfram.com, Retrieved 9-12-2017. Edited.
  9. "Finding areas by integration", http://www.mathcentre.ac.uk, Retrieved 16/1/2017. Edited.
  10. "Integration", www.mathsisfun.com, Retrieved 16/1/2017. Edited.
  11. ابراهيم عمايرة ،زياد جرادات (2007)، دليل المعلم الرياضيات المستويان الثالث والرابع المرحلة الثانوية الفرع العلمي (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة الوحدة الرابعة الدرس السابع صفحة187-184 ملف146-199، جزء الجزء الأول والثاني.