كيف نحسب مساحة الدائرة

كتابة - آخر تحديث: ٠٨:٠٢ ، ٨ أغسطس ٢٠١٨
كيف نحسب مساحة الدائرة

الدّائرة

مفهوم الدائرة

عند رسم نقطة معينة على سطح الأرض والطلب من عشرة أشخاص مثلاً الوقوف على بُعد متر من تلك النقطة التي تم رسمها، سينتج حينها شكل يشبه الدائرة إلى حد كبير، وبهذه الطريقة عرّف إقليدس الدائرة، وبقي هذا التعريف موجوداً إلى وقتنا الحالي، ويتم تحديد الدائرة بمعلومتين، الأولى نقطة المركز، والثانية هي نصف قطرها، وعليه تُعرَّف الدائرة على أنها جميع النقاط التي تقع في نفس المستوى على بُعد (نق) عن نقطة المركز.[١]


أجزاء الدائرة ومصطلحاتها

القرص فهو عبارة عن مجموعة من النقاط التي تقع على مسافة ثابتة أقصاها (نق) عن نقطة معينة، وتشمل الدئرة مجموعة من المفاهيم والمصطلحات المرتبطة بها، ومن هذه المفاهيم والمصطلحات ما يأتي:[١]

  • محيط الدائرة (Circumference): هو عبارة عن مسافة الخط المنحني الخارجية للدائرة.
  • القوس (Arc): هو عبارة عن جزء من الخط الذي يحيط بالدائرة؛ حيث يقع بين نقطتين.
  • نصف القطر(Radius): هو يمثل الخط المستقيم الواصل بين النقطة التي تقع في منتصف الدائرة(المركز)، وأي نقطة أخرى تقع على محط الدائرة.
  • الوتر (Chord): هو الخط المستقيم الواصل بين نقطتين تقع كل منهما على محيط الدائرة.
  • القطر (Diameter): هو عبارة عن الوتر الذي يمر بمركز الدائرة، وطوله يساوي (2× طول نصف القطر).
  • المماس (Tangent): هو عبارة عن خط مستقيم مرسوم خارج الدائرة بحيث يمس الدائرة عند نقطة واحدة فقط.


مساحة الدّائرة

يمكن تعريف مساحة الدّائرة بأنها عدد الوحدات المُربَّعة الموجودة ضمن الحدود الداخلية للدائرة. على سبيل المثال، إذا كانت مساحة المُربَّع الواحد سنتيمتراً مُربّعاً واحداً، ووجدنا أن إحدى الدوائر تحتوي على 28.26 مُربّعاً ضمن حدودها، فإنَّ المساحة الكليّة لهذه الدّائرة تساوي 28.26سم2، وقد استنتج العالم الكبير أرخميدس الصيغة التي يحسب من خلالها مساحة القرص (الدائرة)، وكان ذلك لأول مرة في عام 225 ق.م، وتمثل الصيغة ما يأتي:[٢][١]

مساحة الدائرة=نق2×π


كيفية حساب مساحة الدائرة

حساب المساحة باستخدام نصف القطر أو القطر

من الأمور المهمة والشائعة في فرع الهندسة هو إيجاد مساحة ومنطقة الدائرة والتي تعرف بالصيغة (مساحة الدائرة=2×نقπ)، وتُعَدّ هذه الصيغة سهلة وبسيطة؛ حيث إنّ معرفة نصف القطر كافيه لحساب مساحة الدائرة من خلال هذه الصيغة، أما عن كيفية إيجاد مساحة الدائرة من خلال نصف القطر فيتم من بتطبيق مجموعة من الخطوات، وهي:[٣]

  • تحديد قيمة نصف قطر الدائرة، ويكون ذلك من خلال قياس المسافة بين مركز الدائرة وحافتها باستخدام مسطرة أو شريط قياسي، في حال كانت رسمة الدائرة موجودة، أو قد تكون قيمة نصف القطر معلومة من معطيات السؤال، أما إذا كن القطر هو المعلوم فيتم قسمته على العدد 2 ليساوي بذلك قيمة (نق).
  • تطبيق صيغة مساحة الدائرة وذلك تربيع نصف القطر، فمثلاً لو كان هنالك دائرة نصف قطرها 6سم، فهذه القيمة تمثل المتغير (نق) وبناءاً على صيغة مساحة الدائرة فإن:
نق²=6×6، إذن: نق²=36
  • وضع الإجابة بدلالة باي (π)؛ ففي المثال السابق يُعبّر عن منطقة الدائرة كالآتي:
مساحة الدائرة=36×π
  • تعويض قيمة باي (π) وذلك للحصول على أدق إجابة ممكنة لمساحة الدائرة، لتصبح 3.14×36=A، إذن مساحة الدائرة= 113.04
  • المساحة بالوحدة المربعة، فمثلاً لو كان قياس نصف قطر الدائرة بالقدم فستكون بالمقابل المساحة بالقدم المربع، وبالمثال السابق فإن المساحة=π36سم²، أو 113.04سم².


حساب المساحة باستخدام محيط الدائرة

في بعض الأحيان قد يكون نصف قطر أو قطر الدائرة غير معلوماً أوقد يكون قياسه بدقة أمر غير ممكن، ولذلك قد يُلجأ لقياس المحيط باستخدام شريط قياسي، أو أن يكون معلوماً بالسؤال حيث يكون حساب المساحة في هذه الحالة ممكناً وفيما يأتي الخطوات التي يجب اتباعها لحساب مساحة دائرة من خلال محيطها:[٣]

  • صيغة محيط الدائرة هي:πd=C، حيث أنC= المحيط، وd =القطر، وبما أن القطر يساوي ضعفي نصف القطر فإن:d=r×2.
  • تعوض قيمة نصف القطر بصيغة محيط الدائرة، لتصبح:πr2=C.
  • يقسم طرفي المعادلة على π2، وذلك لإيجاد قيمة نصف القطر بشكل دقيق، لتنتج الصيغة التالية:r=C/2π.
  • تكتب صيغة مساحة الدائرة πr²=A، وبتعويض قيمة r الموجودة بالخطوة السابقة، ينتج أن: π(C/2π)²=A.
  • يوزع التربيع على البسط والمقام، كالآتي: πC²/4π²=A.
  • تختصر π الموجودة بالبسط مع المقام، لتصبح صيغة المساحة بدلالة المحيط كالتالي:C²/4π.


أمثلة تبين كيفية إيجاد مساحة الدائرة

  • مثال 1: أرادت حنان شراء كفر من القماش لسطح طاولة دائرية الشكل، فإذا كان قطرها يساوي 3م، وسعر المتر المربع الواحد من القماش يساوي 4.5ديناراً، جد سعر القماش اللازم لتغطية سطح الطاولة.
الحل:
باستخدام القانون يتم حساب مساحة سطح الطاولة على النحو الآتي:
مساحة الدائرة:πr²=A
يُعوَّض r بالقانون وقيمته1.5م، لأن r= القطر/ 2، r=3/2=1.5
مساحة سطح الطاولة = (1.5)²× 3.14.
مساحة سطح الطاولة= 1.5× 1.5× 3.14.
مساحة سطح الطاولة=2.25×3.14.
مساحة سطح الطاولة= 7.065.
إذن: مساحة سطح الطاولة=7.068 م² تقريباً.
ويتم إيجاد ثمن القماش من خلال إيجاد حاصل ضرب مساحة سطح الطاولة بسعر المتر المربع.
ثمن القماش= 7.065×4.5.
إذن: ثمن القماش اللازم يساوي31 ديناراً وثمانون قرشاً تقريباً.
الحل:
باستخدام صيغة مساحة الدائرة بدلالة محيطها على النحو الآتي:
C²/4π=A.
تعوض قيمة المحيط، كالتالي:
42²/4π=A، وبفك التربيع ينتج أن:
1764/4π=A، وبقسمة العدد1764 على 4 تصبح قيمة المساحة:
441/1π=Aسم² .
وبتعويض قيمة باي ينتج ان المساحة تساوي تقريباً 140.44سم².


المراجع

  1. ^ أ ب ت Richard Elwes‏، (فكرة 1001 عن الرياضيات (الأعداد-الهندسة-الجبر-علم الإحصاء، صفحة: 147-149.
  2. "Area of a Circle", www.mathgoodies.com, Retrieved 11-7-2018. Edited.
  3. ^ أ ب ت "How to Calculate the Area of a Circle"، www.m.wikihow.com. بتصرّف.