كيف نحسب مساحة المربع

بواسطة: - آخر تحديث: ٠٨:٣٤ ، ١٣ يناير ٢٠١٧
كيف نحسب مساحة المربع

المربّع

تنتشر الأشكال الهندسيّة بشكل واسع في الحياة اليومية، ويتعدد استخدامها لدى الإنسان حسب حاجته منها ومن هذه الأشكال: الدائرة، والمربع، والمستطيل، ويُعدّ المربّع (بالإنجليزيّة: Square) أحد أشهر هذه الأشكال وأهمّها، وهو عبارة عن شكلٍ هندسيٍّ مُضلّعٍ مُنتظمٍ مُغلقٍ، له أربعة أضلاعٍ متساوية الطّول، وأربع زوايا قائمةٍ ومتساوية القياس.[١]


خصائص المربّع

يتميّز المربّع بالخصائص الآتية:[٢]

  • قياس كلّ زاوية في المربّع يساوي 90 درجةً، ومجموع قياس زواياه يساوي 360 درجةً.
  • للمربّع قطران متعامدان ومتطابقان.
  • ينصّف كلّ قطر من أقطار المربّع القطر الآخر.
  • للمربّع أكبر مساحةٍ بين الأشكال الرباعيّة التي لها نفس قياس المحيط.
  • يصبح المربّع مكعّباً عند رسمه بثلاثة أبعاد.


تطابق المربّع مع الأشكال الأخرى

تتطابق خصائص المربّع مع خصائص كلٍّ من الأشكال الهندسيّة الآتية:


المستطيل

يتشابه المربّع مع المستطيل في الخصائص الآتية:[٣]

  • الأضلاع المتقابلة جميعها متوازيةٌ، ومتطابقةٌ.
  • الزوايا المتقابلة متطابقةٌ.
  • الزوايا المتحالفة متكاملةٌ.
  • للمستطيل قطران متعامدان ومتطابقان، ينصّف كلٌّ منهما الآخر.


المعين

يتشابه المربّع مع المعين في الخصائص الآتية:[٣]

  • للمعين قطران متعامدان، ومتطابقان.
  • ينصّف قطر المعين زاوية الرّأس.


متوازي الأضلاع

يتشابه المربّع مع متوازي الأضلاع في الخصائص الآتية:[٤]

  • كلّ ضلعٍ في متوازي الأضلاع لا بدّ أن يوازي أحد الأضلاع الأخرى، ويقابله.
  • مجموع الزوايا الأربع الموجودة في متوازي الأضلاع يساوي 360 درجةً.
  • كلّ زاويتين متقابلتين متطابقتان.
  • لمتوازي الأضلاع قُطران، ينصّف كلٌّ منهما الآخر.


كيفيّة حساب مساحة المربّع

تُعرَّف المساحة بأنّها الحيِّز الذي تشغله منطقةٌ معيّنةٌ محصورةٌ في نطاقٍ مُعيّنٍ، ويتمّ حساب مساحة المربّع باستخدام أحد القانونين الآتيين:[٥]

  • القانون الأوّل: يمكن حساب مساحة المربّع من قانون مساحة المستطيل، وهو كما يأتي:
مساحة المستطيل=الطول×العرض
نظراً لأنّ الطّول يساوي العرض، فإنّ:
مساحة المربّع=الطول×الطول
مساحة المربّع=مربّع طول الضّلع
  • القانون الثّاني: من الممكن إيجاد مساحة المربّع إذا عُلِمَ طول قطره، كما يأتي:
مساحة المربّع=(مربّع طول القطر)/2


كيفيّة حساب محيط المربّع

يُحسَب محيط المربّع باستخدام القانون الآتي:[٦]

محيط المربّع=مجموع أطوال أضلاعه
محيط المربّع=طول الضّلع الأوّل+طول الضّلع الثّاني+طول الضلّع الثالث+طول الضّلع الرّابع
ولكنّ أطوال أضلاع المربّع متساويةٌ، إذن:
محيط المربّع=4×طول ضلع المربّع


كيفيّة حساب قُطر المربّع

يمكن إيجاد طول قطر المربّع من نظريّة فيثاغورس؛ حيث إنّ القطر هو نفسه الوتر للمثلّث قائم الزّاوية:[٧]

(الوتر)²=(طول الضّلع الأول)²+(طول الضّلع الثاني)²
الوتر=((طول الضّلع الأول)²+(طول الضّلع الثاني)²)^(1/2)
نظراً لأنّ أطول أضلاع المربّع متساويةٌ، فإنّ:
الوتر=القطر=(2×(طول الضّلع)²)^(1/2)
القطر=(2)^(1/2)×طول الضّلع


أمثلة على حساب مساحة المربّع ومحيطه

  • مثال (1): جِد مساحة مربّعٍ طول ضلعه 4سم.
الحلّ:
مساحة المربّع=مربّع طول الضّلع
مساحة المربّع=4×4
مساحة المربّع=16سم²


  • مثال (2): جِد مساحة مربّعٍ طول قطره 8سم.
الحلّ:
إيجاد طول ضلع المربّع من القانون:
القطر=(2)^(1/2)×طول الضّلع
8=(2)^(1/2)×طول الضّلع
طول الضّلع=5.66سم


إيجاد مساحة المربّع:
مساحة المربّع=مربّع طول الضّلع
مساحة المربّع=5.66×5.66
مساحة المربّع=32.0356سم²


  • مثال (3): كرتونةٌ مربّعة الشّكل، طول ضلعها 60سم، تمّ قصّ مربّعٌ منها، طول ضلعِه 4سم، جِد مساحة الكرتونة بعد قصّ المربّع.
الحلّ:
إيجاد مساحة الكرتونة قبل القص:
مساحة الكرتونة=مربّع طول الضّلع
مساحة الكرتونة=(60)²
مساحة الكرتونة=3600سم²


إيجاد مساحة المربّع الذي تمّ قصّه:
مساحة المربّع=4×4
مساحة المربّع=16سم²


لإيجاد مساحة الكرتونة بعد القصّ:
مساحة الكرتونة بعد القص=مساحة الكرتونة قبل القصّ-مساحة المربّع المقصوص
مساحة الكرتونة بعد القصّ=3600-16
مساحة الكرتونة=3584سم²


  • مثال (4): مربّعٌ يبلغ طول محيطه 32سم، جِد مساحته.
الحلّ:
إيجاد طول ضلع المربّع من القانون:
محيط المربّع=4×طول الضّلع
32=4×طول الضّلع
طول الضّلع=8سم


لإيجاد مساحة المربّع:
مساحة المربّع=مربّع طول الضّلع
مساحة المربّع=(8)²
مساحة المربّع=64سم²


  • مثال (5): غرفةٌ جدرانها مربّعة الشكل، يُراد طلاء جدرانها، طول أحد الجدران فيها 250سم، وسعر المتر المربّع الواحد للطّلاء 7.5 دنانير، جد تكلفة دهان جدرانها كاملةً.
الحلّ:
لإيجاد مساحة الجدران الأربعة للغرفة:
مساحة الجدار الواحد=مربّع طول الضّلع
مساحة الجدار الواحد=(250)²
مساحة الجدار الواحد=62500سم²
مساحة الجدران الأربعة=4×مساحة الجدار الواحد
مساحة الجدران الأربعة=4×62500
مساحة الجدران الأربعة=250000سم²


يجب التّحويل بين وحدتي (سم²) و(م²):[٨]
حيث إنّ 1م²=10000سم²
إذن 250000سم²×0.0001=25م²


لإيجاد كلفة طلاء جدران الغرفة كاملةً:
كلفة طلاء جدران الغرفة كاملةً=مساحة الغرفة×سعر المتر المربّع الواحد
كلفة طلاء جدران الغرفة كاملة=25×7.5
كلفة طلاء جدران الغرفة كاملة=187.5 ديناراً


  • مثال (6): غرفة جدرانها مربّعة الشكل، طول ضلعها 3م، يُراد وضع سيراميك مربّع الشكل فيها، طول ضلع القطعة الواحدة 30سم، وسعر أربع قطع من السيراميك 5 دنانير، ويُراد اقتطاع مساحة قدرها 1.5م2 من الغرفة، لوضع سيراميك مستطيل الشّكل، طول القطعة الواحدة فيه 10سم، وعرضها 50سم، وسعر أربع قطعٍ من هذا النوع من السيراميك 7 دنانير، جد التّكلفة الكاملة لهذه العمليّة.
الحلّ:
إيجاد مساحة الغرفة كاملةً:
مساحة الغرفة كاملةً=مربّع طول الضّلع
مساحة الغرفة=3×3
مساحة الغرفة=9م²


لإيجاد تكلفة النّوع الأول:
المساحة المطلوبة=مساحة الغرفة كاملة-المساحة المطلوبة للنوع الثاني
المساحة المطلوبة=9-1.5
المساحة المطلوبة=7.5م²
مساحة القطعة الواحدة من السيراميك=مربّع طول الضّلع=30×30=900سم²=0.09م²
عدد القطع المطلوبة=المساحة المطلوبة/مساحة القطعة الواحدة
عدد القطع المطلوبة=83.3 قطعةً
تكلفة النوع الأول=(4/5)×83.3
تكلفة النوع الأول=104.125 دنانير


لإيجاد تكلفة النوع الثاني:
مساحة القطعة الواحدة=الطول×العرض
مساحة القطعة الواحدة=10×50
مساحة القطعة الواحدة=500سم²=0.05م²
عدد القطع المطلوبة=المساحة المطلوبة/مساحة القطعة الواحدة
عدد القطع المطلوبة=1.5/(0.05)
عدد القطع المطلوبة=30 قطعةً
تكلفة النوع الثاني=4/7×30
تكلفة النوع الثاني=52.5 ديناراً


لإيجاد التّكلفة الكاملة:
التكلفة الكاملة=تكلفة النوع الأوّل+تكلفة النوع الثاني
التكلفة الكاملة=104.125+52.5
التكلفة الكاملة=156.625 ديناراً


المراجع

  1. Maths Is Fun Staff, "Square (Geometry)"، Maths Is Fun, Retrieved 2016-12-9. Edited.
  2. Kids Math Games Online Staff, "Square Facts for Kids"، Kids Math Games Online, Retrieved 2016-12-9. Edited.
  3. ^ أ ب Wyzant Staff, "Properties of Rectangles, Rhombuses, and Squares"، Wyzant, Retrieved 2016-12-9. Edited.
  4. Wyzant Staff, "Properties of Parallelograms"، Wyzant, Retrieved 2016-12-9. Edited.
  5. Math Open Reference Staff, "Area of a Square"، Math Open Reference, Retrieved 2016-12-9. Edited.
  6. Math Open Reference Staff, "Perimeter of a Square"، Math Open Reference, Retrieved 2016-12-9.
  7. Math Open Reference Staff, "Diagonals of a square"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-9. Edited.
  8. Unit Juggler Staff, "converting area units from square centimeter to square meter"، Unit Juggler, Retrieved 2016-12-9. Edited.