ما هي معادلة الخط المستقيم

كتابة - آخر تحديث: ١٢:٢٠ ، ٢٦ أبريل ٢٠٢٠
ما هي معادلة الخط المستقيم

نظرة عامة حول معادلة الخط المستقيم

تعرف معادلة الخط المستقيم (بالإنجليزية: Straight Line Equation) بأنها المعادلة التي تربط بين قيمة كل من الإحداثي السيني، والصادي لأية نقطة تقع على الخط المستقيم، وبالتالي فإن أية نقطة تقع على الخط المستقيم تحقق هذه المعادلة، والمثالان الآتيان يوضحان ذلك:[١]

  • المثال الأول: هل النقطة (3،1) تقع على الخط المستقيم الذي معادلته ص = 5س - 2؟
    • الحل: بتعويض قيمة س في المعادلة فإن 5×1-2 يساوي 3، وهو قيمة ص، وبالتالي فهي تحقّق المعادلة، وتقع على الخط المستقيم هذا.
  • المثال الثاني: هل النقطة (4،2) تقع على الخط المسقيم الذي معادلته ص = 5س - 2؟
    • الحل: بتعويض قيمة س في المعادلة فإن 5×2 - 2 يساوي 8، وليس 4، وبالتالي فإن هذه النقطة لا تقع على الخط المستقيم.


أما عن الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم فهي: أس+ب ص+جـ = 0؛ حيث تمثل أ، ب، جـ أعداداً حقيقية، وأ، وب لا تساوي صفراً، وهناك عدة أشكال لمعادلة الخط المستقيم بيانها على النحو الآتي:[٢]

  • المعادلة التي تمثّل العلاقة بين الميل، والإحداثي الصادي:
    • ص = أس + ب، حيث أ يمثل ميل الخط المستقيم، وب تمثل نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور الصادات.
  • معادلة الخط المستقيم الموازي لمحور السينات:
    • ص = ع؛ حيث ع هو عدد ثابت يمثل بعد الخط المستقيم عن محور السينات.
  • معادلة الخط المستقيم الموازي لمحور الصادات:
    • س = ل، حيث ل هو رقم ثابت يمثل بعد الخط المستقيم عن محور الصادات.
  • معادلة الخط المستقيم المار بنقطة الأصل:
    • ص = أ س؛ حيث أ يمثل ميل الخط المستقيم، وفيما يلي مثال يوضح ذلك:[٣]
      • مثال: مستقيم مار بنقطة الأصل معادلته ص = س، وهذا يعني أنه عند تعويض أي قيمة للمتغير س فإنها تساوي قيمة ص، والجدول الآتي يوضح ذلك:
س ص
0 0
1 1
2 2
3 3
  • نلاحظ مما سبق أن:
    • الميل يساوي معامل س، ويساوي 1، وللتأكد من ذلك يمكن تطبيق قانون الميل، وذلك كما يلي:
      • الميل = فرق الصادات / فرق السينات= ص2 - ص1/س2 - س1
      • لتطبيق القانون يتم اختيار أي نقطتين من الجدول، مثلاً (1،1) و (2،2)، ليمثل الميل لتلك النقطتين: (1-2)/ (1-2)، ويساوي 1.
    • وذلك ينطبق على أي خط مستقيم يمر بنقطة الأصل فمثلاً إذا كانت معادلة الخط المستقيم ص = 2س، فهذا يعني أنه عند تعويض أي قيمة للمتغير ص فإنها تساوي ضعف قيمة س، والميل يساوي معامل س، ويساوي 2.


لمزيد من المعلومات حول ميل الخط المستقيم يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون ميل الخط المستقيم


كيفية كتابة معادلة الخط المستقيم

يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم بطرق مختلفة وفقاً للمعطيات المتاحة، وذلك كما يلي:

  • كتابة معادلة الخط المستقيم عند معرفة ميله ونقطة واقعة عليه: تكون معادلة الخط المستقيم هي:[٢]
    • (ص-ص1) = م(س-س1)، حيث:
      • م: ميل الخط المستقيم.
      • (س1، ص1): هي النقطة الواقعة على الخط المستقيم.
  • كتابة معادلة الخط المستقيم عند معرفة نقطتين عليه: تكون معادلة الخط المستقيم هي:[٢]
    • ( ص-ص1)/(س-س1) = (ص2-ص1)/(س2-س1)، حيث:
      • (س1، ص1)، و(س2، ص2) هما نقطتان تقعان على الخط المستقيم.
  • كتابة معادلة الخط المستقيم عند معرفة ميله ونقطة تقاطعه مع محور الصادات: تكون معادلة الخط المستقيم هي:[٤]
    • ص = أس+ب، حيث:
      • أ: ميل الخط المستقيم.
      • ب: هي المقطع الصادي أي النقطة التي يتقاطع عندها الخط المستقيم مع محور الصادات.
  • كتابة معادلة الخط المستقيم عند معرفة نقاط تقاطعه: تكون معادلة الخط المستقيم هي:[٥]
    • س/ل + ص/ع = 1؛ حيث:
    • ل: هو المقطع السيني؛ أي قيمة س عندما ص = 0.
    • ع: هو المقطع الصادي؛ أي قيمة ص عندما س = 0.


لمزيد من المعلومات حول الخط المستقيم يمكنك قراءة المقال الآتي: تعريف الخط المستقيم


أمثلة على معادلة الخط المستقيم

  • المثال الأول: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين أ (-1، -5)، والنقطة ب (5، 4)؟[٤]
    • الحل: يمكن حل هذا السؤال بعدة خطوات كما يلي:
    • الخطوة الأولى: لنفرض أن النقطة أ تمثل (س1، ص1)، والنقطة ب تمثل (س2، ص2).
    • الخطوة الثانية: كتابة معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين، وذلك كما يلي:
      • ( ص - ص1)/(س- س1) = (ص2 - ص1)/(س2 - س1)
    • الخطوة الثالثة: تعويض القيم في معادلة الخط المستقيم:
      • (ص- (-5))/(س- (-1)) = (4- (-5))/ (5-(-1)) =
      • (ص+5)/(س+1) = 9/6، ومنه: (ص+5)=9/6×(س+1)، وبفك الأقواس ينتج أن:
      • ص+5 =3/2س+3/2، وبطرح (5) من الطرفين ينتج أن:
      • ص=3/2س - 7/2 وهي معادلة الخط المستقيم.


  • المثال الثاني: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي ميله يساوي (1/3)-، ويمر بالنقطة (-1،1)؟[٤]
    • الحل: نفرض أن النقطة (-1،1) تمثل (س1، ص1).
    • كتابة معادلة الخط المستقيم عند معرفة ميله، ونقطة واقعة عليه كما يلي:
      • ص - ص1 = م(س - س1)، ومنه:
      • ص-1 = -(1/3)×(س-(-1))، ومنه: ص-1 = -(1/3) × (س+1)، وبفك الأقواس ، وجمع (1) للطرفين ينتج أن:
      • ص = -(1/3) س - (1/3) + 1، ومنه: ص = -(1/3)س + (2/3)، وهي تمثل معادلة الخط المستقيم.
      • ملاحظة: عندما يكون الميل سالباً فهذا يعني أن الاقتران متناقص؛ أي يميل الخط المستقيم نحو الأسفل بالتوجه من اليسار لليمين.


  • المثال الثالث: ما هي معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين (-3،2)، و (8،3)؟[٦]
    • الحل:
    • نفترض أن: (-3،2) هي (س1، ص1)، وأن (8،3) هي (س2،ص2)، ومعادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين: (ص-ص1)/(س-س1) = (ص2-ص1)/(س2-س1)، وبالتعويض فيها ينتج أن:
    • (ص-3)÷(س-(2-)) = (8-3)÷(3-(-2))، ومنه: (ص-3)÷(س+2) = 5÷5 = 1، ومنه: (ص-3) = (س+2)، وبجمع (3) للطرفين ينتج أن:
    • ص=س+5، وهي تمثل معادلة الخط المستقيم.


  • المثال الرابع: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي ميله 4، ويمر بالنقطة (3،-2)، حيث إن: س1= 3، وص1= -2؟[٦]
    • الحل:
    • معادلة الخط المستقيم الذي يُعرف ميله، ونقطة يمر فيها هي: (ص-ص1) = م(س - س1)، ويمكن إيجادها كما يلي:
      • ص = ص1+م(س - س1)، وبالتعويض فيها ينتج أن: ص= -2+4×(س-3)، ومنه: ص= -2+4س-12، وعليه:
      • ص = 4س -14، وهي تمثل معادلة الخط المستقيم.


  • المثال الخامس: ما هو الميل، والمقطع الصادي لكل من المعادلات الآتية: أ) ص= 4س+3، ب) 6س + 3ص = 9؟[٧]
    • الحل:
    • المعادلة ص = 4س+3 على الصورة ص=أس+ب، وبالتالي فإن الميل لهذه المعادلة يساوي 4، والمقطع الصادي يساوي 3.
    • المعادلة 6س+3ص= 9، يجب تحويلها إلى الصورة: ص=أس+ب، لإيجاد الميل، والمقطع الصادي لها، وذلك كما يلي:
      • جعل ص موضوع القانون، وذلك بطرح الحد الجبري 6س من الطرفين، ثم القسمة على 3، لتصبح المعادلة كما يلي: 3ص = -6س+9، وبالقسمة على 3 فإن ص= -2س+3.
      • أصبحت المعادلة على الصورة ص= أس+ب، وبالتالي فإن الميل=-2، والمقطع الصادي 3.


  • المثال السادس: إذا كان الميل لخط مستقيم يساوي 5، والمقطع الصادي يساوي 3، فما هي معادلة الخط المستقيم؟[٧]
    • الحل:
    • معادلة الخط المستقيم الذي يُعرف ميله ونقطة تقاطعه مع محور الصادات هي: ص=أس+ب.
    • وبالتالي فإن معادلة الخط المستقيم المطلوب هي: ص=5س+3.


  • المثال السابع: ما هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (-5،2)، وفيه المقطع السيني 3؟[٨]
    • الحل:
    • معادلة الخط المستقيم ص = أ س + ب، ولتطبيق هذه المعادلة نحتاج إلى الميل، وقيمة (ب)، ويمكن إيجادهما على النحو الآتي:
      • لإيجاد الميل نحتاج إلى نقطتين، وبما أن المقطع السيني (نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور السينات عندما تكون ص=0)، يساوي 3 فإن النقطة الثانية تساوي (0،3)، وبالتالي فإن الميل هو:
      • الميل = ص2 - ص1/س2 - س1= 5 - 0 / -2 -3= -1.
      • معادلة الخط المستقيم ص = -س+ب، ولإيجاد قيمة ب يتم اتباع الخطوات الآتية:
      • تعويض أي من النقطتين (0،3)، أو (-2، 5) في المعادلة، لينتج أن:
      • بتعويض النقطة (0،3) فإن 0 = -3+ب، وبالتالي فإن ب = 3.
    • وبالتالي فإن معادلة الخط المستقيم ص= -س+3
    • ملاحظة: عند التعويض في قانون الميل فإنه يمكن اختيار أي من النقطتين لتكون (س1، ص1)، واختيار الأخرى لتكون (س2، ص2)، وفي الحالتين يمكن الحصول على نفس النتيجة.


  • المثال الثامن: ماهي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (4 ، 12-)، ومقطعه الصادي يساوي 9؟[٨]
    • الحل:
    • معادلة الخط المستقيم ص = أ س + ب، ولتطبيق هذه المعادلة نحتاج إلى الميل، وقيمة (ب) = 9؛ لأن قيمة المقطع الصادي= 9، ويمكن إيجاد الميل على النحو الآتي:
      • الميل = ص2 -ص1/س2 - س1، ولإيجاد الميل فإننا نحتاج إلى نقطة ثانية وهي (9،0)، وذلك لأن المقطع الصادي هو قيمة ص عندما س تساوي صفر، وبالتالي فإن الميل = (-12-9)/ (4-0) = 4 /21-.
    • التعويض في معادلة الخط المستقيم، وذلك كما يلي:
      • ص= (21/4-)س+9.


  • المثال التاسع: ما هو ميل الخط المستقيم الذي معادلته 7س+28ص= 84؟[٨]
    • الحل:
    • الخط المسستقيم الذي يكون على صورة ص= أس+ب ميله يساوي أ، وبالتالي فإنه يجب كتابة هذه المعادلة على هذه الصورة كما يلي:
      • 7س + 28ص = 84، وبطرح (7س) من الطرفين ينتج أن: 28ص=-7س+84، وبقسمة الطرفين على (28)، ينتج أن:
      • ص=(7/28)-س+84/28، ومنه: ص = (1/4-)س+3
    • بما أن المعادلة أصبحت على الصورة ص = أ س + ب، فإن الميل يساوي (1/4-).


  • المثال العاشر: خط مستقيم معادلته ص= 3س-6، ومستقيم آخر معادلته 2س = (2/3)ص + 4 فعند أي نقطة يتقاطع المستقيمان؟[٩]
    • الحل:
    • يمكن إعادة ترتيب الحدود الجبرية في المستقيم الثاني، وجعل ص موضوع القانون لتوحيد شكل المعادلة مع معادلة المستقيم الأول، وذلك كما يلي:
      • 2س = (2/3)ص + 4، وبطرح الرقم 4 من الطرفين، وبضرب الطرفين بمقلوب معامل ص (3/2)، ينتج أن: ص= 3س-6.
    • يُلاحظ أن المستقيمين لهما نفس المعادلة، وهذا يعني أن المستقيمين يتقاطعان عند جميع النقاط.


المراجع

  1. "Equation of a Straight Line", www.math-only-math.com, Retrieved 13-4-2020. Edited.
  2. ^ أ ب ت "Straight Line Formulae", www.math-only-math.com, Retrieved 13-4-2020. Edited.
  3. "Equations of straight lines", www.mathcentre.ac.uk, Retrieved 13-4-2020(page 3). Edited.
  4. ^ أ ب ت "Equation Of A Line", www.siyavula.com, Retrieved 13-4-2020. Edited.
  5. "Straight Lines", byjus.com, Retrieved 13-4-2020. Edited.
  6. ^ أ ب "Finding the Equation of a Line", www.columbia.edu, Retrieved 13-4-2020. Edited.
  7. ^ أ ب "Equation of a Straight Line", www.mathsteacher.com.au, Retrieved 13-4-2020. Edited.
  8. ^ أ ب ت "How to find the equation of a line", www.varsitytutors.com, Retrieved 13-4-2020. Edited.
  9. "How to find the equation of a line", www.varsitytutors.com, Retrieved 13-4-2020. Edited.