بحث عن حساب المثلثات

كتابة - آخر تحديث: ١٣:٤٠ ، ٥ مايو ٢٠١٩
بحث عن حساب المثلثات

مفهوم حساب المثلثات

أُخذت كلمة حساب المُثلثات (بالإنجليزية: Trigonometry) من الكلمة اليونانيَّة trigonon، والتي تعني المُثلث (بالإنجليزية: triangle) وقياسه (بالإنجليزية: measure)، وهو عبارة عن علم يهتم بكل ما يخُص المثلثات كإيجاد الزوايا والمسافات بينها، إذ إن له أهمية في العلوم، والهندسة، والألعاب الإلكترونية، وغيرها من أمور الحياة.[١]


يُعرف علم حساب المُثلثات على أنه فرع من أفرع الرياضيَّات والذي يَدرُس العلاقة بين أضلاع المُثلثات وزواياهم، إذ يوجد علم المُثلثات في جميع الأشكال الهندسيَّة، بحيث يُمكن تقسيم أي شكل مُستقيم إلى مجموعة من المُثلثات، كما يوجد لعلم حساب المُثلثات العديد من العلاقات مع فروع الرياضيَّات الأُخرى، كالأعداد المُركبة (بالإنجليزية: complex numbers)، والمتسلسلات اللانهائية (بالإنجليزية:infinite series)، واللوغاريتم (بالإنجليزية: logarithms)، وعلم التفاضل والتكامل (بالإنجليزية: calculus).[٢]


كما يتم تعريف عِلم حساب المُثلثات على أنه علم من علوم الرياضيات الذي يتعامل مع العلاقة بين الزوايا وجوانب المُثلثات، ويُمكن تطبيقه عملياً في حساب ارتفاع المباني والجِّبال وغيرها من الأمور العمليَّة، ويتعلق علم حساب المثلثات بالدالات الخاصة بالزوايا، مثل الجيب، وجيب التمام، والظل.[٣]


أهمية المُثلث قائم الزاوية في حساب المثلثات

يُعتبر المثلث قائم الزاوية أكثر مثلث إفادة في علم حساب المُثلث، ويُرمز للزاوية القائمة ذات القياس 90 بِمربع صغير على الزاوية، في حين يُرمز لإحدى الزاويتين الأُخريتين بالرمز θ، ويحتوي هذ المُثلث على ثلاث أضلاع وهي:[١]

  • الضلع المُجاور (بالإنجليزية: Adjacent): هو الضلع المُجاور أو القريب من الزاوية θ.
  • الضلع المُقابل (بالإنجليزية: Opposite): هو الضلع الذي يقُابل أو يُواجه الزاوية θ.
  • الوتر (بالإنجليزية: Hypotenuse): هو الضلع الأطول في المُثلث.


دالات علم حساب المثلثات

تشمل دالات علم حساب المثلثات في الرياضيات على دالة الجيب (بالإنجليزية: sine)، وجيب التمام (بالإنجليزية: cosine)، والظل (بالإنجليزية: tangent)، وظل التمام (بالإنجليزية: cotangent)، والقاطع (بالإنجليزية: secant)، وقاطع التمام (بالإنجليزية: cosecant)، حيث إن جميع هذه الدَالات هي عبارة عن نِسب في المثلث القائم الزاوية إذ تُعرف باسم الدالات الدائرية (بالإنجليزية: circular functions)، ومن الجدير بالذِّكر أنَّ المُعادلة الرئيسة في حساب المثلثات هي (جا2س+ جتا2س= 1)، حيث إنَّ جا هي جيب الزاوية، وجتا هي جيب تمام الزاوية، والزاوية هي س، وتُستخدم هذه المُعادلة وغيرها من المُعادلات المُثلثيَّة التي تم اشتقاقها منها في حَل العديد من المُعادلات التفاضلية.[٤]


المتطابقات المثلثية الأساسية

تشمل المُتطابقات المثلثية الأساسيَّة ما يلي:[٥]

  • مُتطابقات ناتج القسمة (بالإنجليزية: Quotient identities): تشمل المتطبقات التالية:
    • ظا س= جا س÷ جتا س، حيث إن ظا هو الظل، وجا هو الجيب، وجتا هي جيب تمام الزاوية، والزاوية هي س.
    • قتا س= جتا س÷ جا س، حيث أن قتا هو قاطع تمام الزاوية.
  • مُتطابقات مَقلوب العدد (بالإنجليزية: Reciprocal identities): تشمل المتطبقات التالية:
    • قتا س= 1÷ جا س.
    • قا س= 1÷ جتا س، حيث أن قا هو قاطع الزاوية.
    • ظتا س =1÷ ظا س، حيث أن ظتا هو ظل تمام الزاوية.
  • مُتطابقات فيثاغورس (بالإنجليزية: Pythagorean identities): تشمل متطبقات فيثاغورس ما يلي:
    • جتا2 س+ جا2 س= 1
    • قا2 س- ظا2 س= 1
    • قتا2 س- ظتا2 س= 1


أمثلة محلولة على استخدام علم المثلثات

قبل ذِكر أمثلة محلولة على استخدام علم حساب المُثلثات، يجب العلم بأنَّه في المثلث القائم الزاوية يكون:[١]

  • جاس= الضلع المُقابل للزاوية θ÷ وتر المثلث.
  • جتا س= الضلع المجاور للزاوية θ÷ وتر المثلث.
  • ظا س= الضلع المقابل للزاوية θ÷ الضلع المجاور للزاوية θ.


فيما يلي بعض الأمثلة المتعلقة بعلم حساب المثلثات مع حلولها:[١]

  • في مُثلث قائم الزاوية، إذا كان طول الوتر يُساوي 4.9سم، وكان طول الضلع المقابل للزاوية θ يُساوي 2.8سم، أما طول الضلع المجاور لهذه الزاوية فهو 4سم، فإذا كان قياس الزاوية θ يُساوي 35، فما هو جيب هذه الزاوية؟
الحل:
جا س= الضلع المُقابل للزاوية θ÷ وتر المثلث
جا35= 2.8÷ 4.9= 0.57سم
  • ما هو طول الشجرة التي تَصنع مع الأرض بشكل عامودي الزاوية 90 درجة، إذ تُمثل زاوية الميل التي تصنعها الأرض مع الشجرة 45 درجة، علماً بأن الميل ما بينها وبين الأرض هو 20م؟
الحل: يُمكن حساب طول الشجرة بتخيُّل المُعطيات كمثلث قائم الزاوية، ففي هذه الحالة يكون طول الوتر 20م، ويكون قياس الزاوية θ هو 45، أمَّا عن طول الشجرة فهو طول الضلع المقابل للزاوية θ، ومنها يُمكن استغلال قانون الجيب:
جا س= الضلع المُقابل للزاوية θ÷ وتر المثلث
جا45 = طول الشجرة÷ 20
0.7071= طول الشجرة÷ 20
طول الشجرة= 14.14 متر


المراجع

  1. ^ أ ب ت ث "trigonometry", /www.mathsisfun.com, Retrieved 5-3-2019. Edited.
  2. Robert Coolman (30-5-2015), "What Is Trigonometry? "، www.livescience.com, Retrieved 3-5-2019. Edited.
  3. "trigonometry", dictionary.cambridge.org/, Retrieved 3-5-2019. Edited.
  4. "Trigonometric function", /www.britannica.com, Retrieved 3-5-2019. Edited.
  5. "Trigonometry", www.icoachmath.com, Retrieved 3-5-2019. Edited.