تعريف متوازي المستطيلات

كتابة - آخر تحديث: ١٥:٤٤ ، ٢٣ مارس ٢٠٢٠
تعريف متوازي المستطيلات

تعريف متوازي المستطيلات

يمكن تعريف متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Cuboid) بأنه أحد المُجسّمات الثلاثية الأبعاد؛ أي له طول، وعرض، وارتفاع، وهو يشبه في شكله شكل الصندوق، ويُعتبر بشكل عام حالة خاصة من المنشور، ويتكوّن من الأجزاء الآتية:[١][٢][٣]

  • الوجوه: (بالإنجليزية: Faces) لمتوازي المستطيلات ستة أسطح على شكل مستطيلات، تُعرف باسم وجوه متوازي المستطيلات.
  • الأحرف: (بالإنجليزية: Edge) وهي حوافّه المكوّنة للأسطح ويمكن تعريفها بشكل آخر بأنها الخطوط المستقيمة الواصلة بين كل رأسين متجاورين في متوازي المستطيلات.
  • الرؤوس: (بالإنجليزية: Vertices) وهي النقاط أو الزوايا التي تلتقي عندها عادة ثلاثة أحرف لمتوازي المستطيلات، وجميعها قائمة.


يمتاز متوازي المستطيلات إضافة لما تم ذكره في التعريف السابق بمجموعة من الخصائص، وهي:[٤]

  • كلّ زوج من الأوجه المُتقابِلة في متوازي المستطيلات متوازية ومتطابقة تماماً.
  • لمتوازي المستطيلات ستة وجوه، وثمانية رؤوس، واثنا عشر حرفاً.
  • الحواف المتقابلة لمتوازي المستطيلات متوازية.


يجدر بالذكر هنا أنه إذا تساوى الطول، والعرض، والارتفاع في طولهما فإن متوازي المستطيلات يُعرف وقتها باسم المكعّب (بالإنجليزية: Cube).[٣]


لمزيد من المعلومات حول المكعب يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون مساحة المكعب، كيفية حساب حجم المكعب.


مساحة متوازي المستطيلات

قانون مساحة متوازي المستطيلات

يمكن حساب مساحة متوازي المستطيلات باستخدام القانون الآتي:[٥][٦]

  • المساحة الكلية متوازي المستطيلات= 2×(الطول×العرض+الطول×الارتفاع+العرض×الارتفاع)، وبالرموز: م=2×(س×ص+س×ع+ص×ع)؛ حيث:
    • م: مساحة متوازي المستطيلات.
    • س: طول متوازي المستطيلات.
    • ص: عرض متوازي المستطيلات.
    • ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.
  • أما المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات، وهي مجموع مساحة كافة الأوجه عدا القاعدتين، فتساوي: 2×(الطول+العرض)×الارتفاع، وبالرموز: المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات=2×(س+ص)×ع؛ حيث:
    • س: طول متوازي المستطيلات.
    • ص: عرض متوازي المستطيلات.
    • ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.
  • وبصورة أخرى: المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= المساحة الجانبية+ مساحة القاعدتين.


ولتوضيح ما سبق فإن متوازي المستطيلات يعتبر شكلاً ذا أوجه متعددة، ولإيجاد مساحته يجب إيجاد مجموع مساحات أوجهه الستة كاملة، وبالتالي فإن مساحة متوازي المستطيلات= مساحة الوجه الأول+ مساحة الوجه الثاني+ مساحة الوجه الثالث+ مساحة الوجه الرابع+ مساحة الوجه الخامس+ مساحة الوجه السادس، وبما أن كل زوج من الأوجه متطابق؛ فإن المساحة= 2×مساحة الوجه الأول (مساحة القاعدتين)+ 2×مساحة الوجه الثاني (مساحة أول وجهين جانبيين)+2×مساحة الوجه الثالث (مساحة ثاني وجهين جانبيين)= 2×الطول×العرض (مساحة القاعديتن)+ 2×العرض× الارتفاع (مساحة أول وجهين جانبيين)+2×الطول×الارتفاع (مساحة ثاني وجهين جانبيين)، علماً أن مساحة المستطيل=الطول×العرض.[٧][٦]


أمثلة على حساب مساحة متوازي المستطيلات

  • المثال الأول: متوازي مستطيلات، طول قاعدته 10م، وعرضها 4م، أما ارتفاعه فيساوي 5م، جد المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات.[٨]
    • الحل: باستخدام القانون: المساحة الكلية متوازي المستطيلات= 2×(الطول×العرض+الطول×الارتفاع+العرض×الارتفاع)=2×(10×4+10×5+4×5)، ومنه المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات =220م².


  • المثال الثاني: إذا كان طول قاعدة صندوق على شكل متوازي مستطيلات 40سم، وعرضها 31سم، أما ارتفاعه فيساوي 12سم، جد مساحته الكلية لتغليفه بالكامل بورق الهدايا.[٩]
    • الحل: باستخدام القانون: المساحة الكلية متوازي المستطيلات= 2×(الطول×العرض+الطول×الارتفاع+العرض×الارتفاع)=2×(40×31+40×12+31×12)، ومنه المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات =4,184م².


  • المثال الثالث: إذا كان طول قاعدة متوازي مستطيلات 3سم، وعرضها 5سم، أما ارتفاعه فيساوي 4سم، جد مساحته الجانبية.[٥]
    • الحل: المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات= 2×(الطول+العرض)×الارتفاع=2×(3+5)×4=64سم².


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة متوازي المستطيلات يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون مساحة متوازي المستطيلات.


حجم متوازي المستطيلات

قانون حجم متوازي المستطيلات

يمكن حساب حجم متوازي المستطيلات الذي يعبّر عن مقدار الفراغ الموجود بداخله عن طريق استخدام العلاقة الآتية:[١]

  • حجم متوازي المستطيلات= الطول×العرض×الارتفاع، وبالرموز: ح= س×ص×ع؛ حيث:
    • ح: حجم متوازي المستطيلات.
    • س: طول متوازي المستطيلات.
    • ص: عرض متوازي المستطيلات.
    • ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.


أمثلة على حساب حجم متوازي المستطيلات

  • المثال الأول: دفتر صغير على شكل متوازي مستطيلات، طول قاعدته 6سم، وعرضها 4سم، أما ارتفاعه فيساوي 1سم، فجد كم يلزم من الصفحات لتعبئته.[١]
    • الحل: باستخدام قانون حجم متوازي المستطيلات= الطول×العرض×الارتفاع=6×4×1=24سم³، وعليه فهو يحتاج 24سم³ من الصفحات لتعبئته.


  • المثال الثاني: جد حجم الشوكولاتة الموجودة داخل علبة على شكل متوازي مستطيلات، إذا كان طول قاعدتها 12سم، وعرضها 5سم، أما ارتفاعها 2.4سم.[١]
    • الحل: باستخدام قانون حجم متوازي المستطيلات= الطول×العرض×الارتفاع=12×5×2.4=144سم³، وعليه فإن حجم الشوكولاتة الموجودة داخل العلبة=144سم³.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول حجم متوازي المستطيلات يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون حجم متوازي المستطيلات.


أقطار متوازي المستطيلات

لمتوازي المستطيلات نوعان مختلفان من الأقطار، هما:[٢][١٠]

  • أقطار الوجه: (بالإنجليزية: Face Diagonals) وهي الخطوط المستقيمة الواصلة بين كل زاويتين متقابلتين لأوجه متوازي المستطيلات، ولكل وجه قطران، بمجموع يبلغ اثني عشر قطراً لكامل متوازي المستطيلات، ولحساب طولها يمكن استخدام القانون الآتي:
    • طول قطر القاعدتين=الجذر التربيعي لـ (مربع الطول+مربع العرض)، وبالرموز: طول قطر القاعدتين= (س²+ص²)√.
    • طول قطر أول وجهين جانيين=الجذر التربيعي لـ (مربع الطول+مربع الارتفاع)، وبالرموز: طول قطر أول وجهين جانيين= (س²+ع²)√.
    • طول قطر ثاني وجهين جانيين=الجذر التربيعي لـ (مربع العرض+مربع الارتفاع)، وبالرموز: طول قطر ثاني وجهين جانيين= (ص²+ع²)√؛ حيث:
      • س: طول متوازي المستطيلات.
      • ص: عرض متوازي المستطيلات.
      • ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.
  • أقطار متوازي المستطيلات: (بالإنجليزية: Space Diagonals) وهي عبارة عن القطعة المستقيمة الواصلة بين كلّ رأسين متقابلين في متوازي المستطيلات، ولكل متوازي مستطيلات أربعة أقطار، ويمكن حساب طولها باستخدام القانون الآتي:
  • طول قطر متوازي المستطيلات=الجذر التربيعي لـ (مربع الطول+مربع العرض+مربع الارتفاع)، وبالرموز: طول قطر متوازي المستطيلات= (س²+ص²+ع²)√.


فمثلاً لو كان هناك متوازي مستطيلات طول قاعدته 5سم، وعرضها 4سم، وارتفاعه 3سم، فإن طول أقطاره هو: طول قطر متوازي المستطيلات= (س²+ص²+ع²)√=(5²+4²+3²)√=50√سم.[١١]


أمثلة متنوعة على متوازي المستطيلات

  • المثال الأول: إذا كان حجم قاعة على شكل متوازي المستطيلات 792م³، ومساحة أرضها 132م²، جد ارتفاع سقفها.[١٢]
    • الحل: باستخدام القانون: حجم متوازي المستطيلات= الطول×العرض×الارتفاع، ومن خلال معرفة حقيقة أن مساحة أرض الغرفة=مساحة قاعدة متوازي المستطيلات=الطول×العرض، ينتج أن: الطول×العرض=132م²، وبتطبيق ذلك في قانون الحجم ينتج أن: 792=132×الارتفاع، وبحل المعادلة ينتج أن الارتفاع= 6م.


  • المثال الثاني: إذا كان ارتفاع متوازي المستطيلات 3سم، وعرض قاعدته 4سم، وطولها 5سم، جد حجمه، ومساحته الكلية.[١٣]
    • الحل:
    • حساب الحجم باستخدام القانون: حجم متوازي المستطيلات= الطول×العرض×الارتفاع=5×4×3=60سم³.
    • حساب المساحة الكلية باستخدام القانون: المساحة الكلية متوازي المستطيلات= 2×(الطول×العرض+الطول×الارتفاع+العرض×الارتفاع)=2×(5×4+5×3+4×3)=94سم².


  • المثال الثالث: إذا كان طول متوازي المستطيلات 8سم، وعرضه 6سم، وحجمه 192سم³، جد ارتفاعه، ومساحته الجانبية، ومساحته الكلية.[١٣]
    • الحل:
    • حساب الارتفاع بتعويض القيم في قانون حجم متوازي المستطيلات: حجم متوازي المستطيلات= الطول×العرض×الارتفاع=8×6×الارتفاع=192، ومنه الارتفاع=4سم.
    • حساب المساحة الكلية بتعويض القيم في قانون: المساحة الكلية متوازي المستطيلات= 2×(الطول×العرض+الطول×الارتفاع+العرض×الارتفاع)=المساحة الكلية متوازي المستطيلات= 2×(8×6+8×4+6×4)=208سم².
    • حساب المساحة الجانبية بتعويض القيم في قانون: المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات= 2×(الطول+العرض)×الارتفاع=2×(8+6)×4=112سم².


فيديو عن حجم ومساحة متوازي المستطيلات

للتعرف على هذا الشكل الهندسي تابع الفيديو:[١٤]



المراجع

  1. ^ أ ب ت ث Alida D, "What is a Cuboid Shape? - Definition, Area & Properties"، study.com, Retrieved 22-3-2020. Edited.
  2. ^ أ ب "Cuboid | Formulas | Properties of Cuboid", mathsmaker.com, Retrieved 22-3-2020. Edited.
  3. ^ أ ب رجائي سميح العصار، ‏جواد يونس أبو هليل،‏محمد زهير أبو صبيح (2013)، مدخل إلى أولمبياد ومسابقات الرياضيات (الطبعة الأولى)، الرياض: جامعة الملك فهد للبترول والمعادن عمادة البحث العلمي_ مكتبة العبيكان، صفحة 85-90، جزء الأول. بتصرّف.
  4. "Cube and Cuboid", www.toppr.com, Retrieved 22-3-2020. Edited.
  5. ^ أ ب "CUBOIDS", www.onlinemath4all.com, Retrieved 22-3-2020. Edited.
  6. ^ أ ب "Cube and Cuboid", byjus.com, Retrieved 22-3-2020. Edited.
  7. "What is a Cuboid Shape? - Definition, Area & Properties", www.study.com, Retrieved 9-12-2017. Edited.
  8. "Cuboids, Rectangular Prisms and Cubes", www.mathsisfun.com, Retrieved 9-12-2017. Edited.
  9. "What is a Cuboid? - Definition, Shape, Area & Properties", tutors.com, Retrieved 22-3-2020. Edited.
  10. "Cuboid", mathworld.wolfram.com, Retrieved 22-3-2020. Edited.
  11. "Volume and Surface Area of Cuboid", www.math-only-math.com, Retrieved 22-3-2020. Edited.
  12. "Worked-out Problems on Volume of a Cuboid", www.math-only-math.com, Retrieved 22-3-2020. Edited.
  13. ^ أ ب "Volume and Surface Area of Cuboid", www.math-only-math.com, Retrieved 22-3-2020. Edited.
  14. فيديو عن حجم ومساحة متوازي المستطيلات.