حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل

• اقرأ أيضاً
• تعريف الهدف
• تعريف البحث العلمي

حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل

المخروط الدوراني (الدائري) هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد له سطح مستوٍ دائري، وسطح منحنٍ موجه نحو الأعلى إلى نقطة تقع خارج سطح القاعدة، وتسمى النهاية المدببة للمخروط بالقمة، وهناك العديد من الأشكال التي نشاهدها في حياتنا اليومية والتي تمثل مثالاً على المخروط الدوراني؛ كالأقماع المستخدمة في تنظيم المرور، وقمع المثلجات، وقبعات حفلات أعياد الميلاد.^[٢]

يساعد التكامل في ايجاد حجم الأشكال غير العادية التي من الصعب تحديد أبعادها، كما ويستخدم في اشتقاق صيغ الحجم لعدة أشكال هندسية، حيث يعمل التكامل على تقطيع الشكل إلى عدد لا نهائي من القطع الصغيرة جدًا ثم يتم جمع هذه القطع لحساب الحجم الإجمالي، لذا يمكن استخدام التكامل لحساب حجم المخروط الدوراني.^[٣]

استخدام طريقة التكامل بالأقراص والفلكة

كما أسلفنا الذكر يمكن أن نحصل على المخروط الدوراني نتيجة دوران مثلث قائم حول أحد أضلاع القائمة، ويمكن لنا أن نستفيد من هذه الخاصية في حساب حجمه من خلال التكامل، عبر تمثيل المثلث القائم في المستوى البياني على هذا النحو:^[٤]

• أحد أضلاع الزاوية القائمة الذي هو ارتفاع المخروط (ع)، ينطبق على محور السينات.
• الضلع الآخر للقائمة يمثل نصف قطر المخروط (نق) ويكون موازياً لمحور الصادات.
• رأس المثلث (نفسه رأس المخروط) عند نقطة الأصل.
• وبتدوير الشكل حول محور السينات دورة كاملة يصبح لدينا مخروط دوراني ارتفاعه (ع) ونصف قطره (نق).

استخدام التكامل لحساب حجم المخروط الدوراني

لحساب حجم المخروط الدوراني نتبع الخطوات الآتية:^[٤][٣]

• ص = (نق/ع)× س؛ معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل (ضلع القائمة للمثلث؛ الوتر).
• م(س) = 𝜋 ص²؛ مساحة المقطع العرضي للمخروط الناتج عن الدوران.
• = 𝜋 (نق² / ع²) × س² ؛ تعويض ص في قانون المساحة.
• ثم نأخذ التكامل للمساحة لحدود التكامل من س=0 إلى س=ع للحصول على الحجم.
• ʅ (𝜋 (نق² / ع²) × س² ) دس.
• بإخراج الثوابت 𝜋 (نق² / ع²) خارج التكامل.
• 𝜋 (نق² / ع²) ʅ ( س² ) دس.
• 𝜋 (نق² / ع²) ×[(س³ /3)]^ع₀ وبعد تعويض س=0 وس=ع فإن الحجم يساوي:
• الحجم = (3/1) 𝜋 نق² ع.

خصائص المخروط الدوراني وأبعاده

الخصائص الرئيسية للمخروط الدوراني وأبعاده هي كما يلي:^[٢] 

• له وجه دائري واحد يسمى القاعدة، ونصف قطرها هو نق.
• ليس له حواف.
• له رأس واحد وهو رأس المخروط، والخط الواصل ما بين رأس المخروط ومركز القاعدة يسمى محور المخروط ويمثل ارتفاعه ويرمز له بالرمز ع.
• راسم المخروط وهو الخط الذي يصل بين رأس المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة ويرمز له بالرمز ل.^[٥]

أنواع المخروط الدوراني

للمخروط الدوراني نوعان اعتمادًا على موقع رأس المخروط بالنسبة إلى مركز القاعدة الدائرية وهما:^[٢]

• مخروط دوراني قائم: يكون رأس المخروط فوق مركز القاعدة الدائرية مباشرة أي أن محور المخروط يشكل زاوية قائمة مع مستوى مركز القاعدة، ويمكن إنشاؤه من خلال دوران مثلث قائم الزاوية حول أحد أضلاع الزاوية القائمة.^[٥]
• مخروط دوراني مائل: يكون رأس المخروط بعيدًا عن مركز القاعدة الدائرية.

المراجع

1. ↑ "Volume", cuemath, Retrieved 10/1/2022. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "What is Cone?", splashlearn, Retrieved 11/1/2022. Edited.
3. ^ ^{أ ب} Mark Ryan (26/3/2016), "Find a Cone's Volume Using the Disk/Washer Method — Practice Question", dummies, Retrieved 11/1/2022. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "شارح الدرس: حجوم المجسَّمات الدورانية"، نجوى، اطّلع عليه بتاريخ 11/1/2022. بتصرّف.
5. ^ ^{أ ب} "Right Circular Cone", byjus, Retrieved 11/1/2022. Edited.