خواص القيمة المطلقة

خواص القيمة المطلقة

خصائص القيمة المطلقة

هناك العديد من خصائص القيمة المطلقة، ومنها ما يلي:[١]

  • |أ|≥0؛ أي أن القيمة المطلقة للعدد أ لا يمكن لها أن تكون أقل من الصفر؛ حيث أ أي عدد حقيقي.
  • |أ|= (أ2)√؛ حيث يساوي جذر العدد عدداً موجباً أو مساوياً للصفر في الأعداد الحقيقية.
  • |أ×ب|=|أ|×|ب|، وهذا يعني أن حاصل ضرب القيمة المطلقة للعدد أ بالقيمة المطلقة للعدد ب يساوي القيمة المُطلقة لحاصل ضرب العددين أ و ب.
  • |أ|=|-أ|, حيث يمتلك العدد وسالبه القيمة المطلقة ذاتها.[٢]
  • |أ-ب|=|ب-أ|؛ حيث (أ-ب) ≠ (ب-أ)، بينما القيمة المطلقة لهما متساوية.[٢]
  • |أ|=|ب|، فقط إذا كانت أ=ب، أو أ=-ب.[٣]
  • |أ|ن=|أ ن|، حيث ن= عدد صحيح موجب.[٣]
  • |أ|/|ب|=|أ/ب|، حيث ب لا تساوي صفر.[٣]
  • |أ±ب|≤|أ|+|ب|, وتعني أن القيمة المطلقة لمجموع قيمة العددين أ, ب أقل دائماً أو مساوية لناتج جمع أو طرح القيمة المطلقة للعدد أ مع القيمة المطلقة للعدد ب.[٤]


ملاحظة: يمثل المتغيران أ، ب في الخصائص السابقة أي عددين حقيقيين.


تعريف القيمة المطلقة

يمكن تعريف القيمة المطلقة (بالإنجليزية: Absolute Value) بأنّها المسافة التي يبعدها العدد الحقيقي بغض النظر عن إشارته عن الصفر على خط الأعداد، فالعدد 6 يبعد عن الصفر بمقدار 6، وكذلك الأمر بالنسبة للعدد (-6)،[٣] وهي تُعنى بقيمة العدد دون النظر إلى إشارته، وتُستخدم عادة عند التكلم عن المسافات، لعدم وجود مسافات سالبة في الواقع والحياة.[٥]


كيفية كتابة القيمة المطلقة

تُكتب القيمة المطلقة للعدد س مثلاً باستخدام الرمز الآتي: |س|؛ فمثلاً يمكن التعبير عن القيمة المطلقة للعدد (5) على شكل |5| = 5، وكذلك الأمر بالنسبة للعدد (-5): |5-|=5،[٣] وهي تعني عملياً إزالة الإشارة السالبة الموجودة أمام العدد، والتفكير في جميع الأعداد على أنها موجبة دائماً أو مساوية للصفر فقط.[٦]


اقتران القيمة المطلقة

يعبّر عن اقتران القيمة المطلقة بالصيغة الآتية: ق(س)=|س|، وهو يحوّل قيمة س إلى القيمة الموجبة دائماً؛ فمثلاً ق(4-)=|4-|=4، وياخذ هذا الاقتران عند تمثيله بياناً شكل حرف (V)، ويمتاز بالمميزات الآتية:[٧]

  • مجاله هو جميع الأعداد الحقيقية.
  • مداه هو جميع الأعداد الحقيقية التي تساوي أو تزيد عن الصفر.
  • رسمه البياني يقع بالكامل فوق محور السينات.
  • رسمه البياني متماثل بالنسبة لمحور الصادات.


أمثلة متنوعة على القيمة المطلقة

وفيما يأتي أمثلة متنوعة على القيمة المطلقة:


المثال الأول: ما هو ناتج كل مما يلي:[٣][٦]


السؤال
الحل
|3.5|-|2.5-|
|3.5| - |2.5-| = 3.5 - 2.5=1
|5×6|
|5×6|=|30|=30
|2×(2/3 - 0.5)|
|2×(2/3 - 0.5)| = |2×(1/6)| = |1/3| = 1/3
|12-|-
|12-|-= 12-
|²(2-)|-
|²(2-)|- = |4|- = 4-
|³(-3)+5|
|³(-3)+5| = |27+5-| =|22-| = 22


المثال الثاني: احسب قيمة س في المسألة: |س+2|=5؟[١]


الحل:

  • س+2=5±، ومنه:
    • س+2=5، ومنها س=3.
    • س+2=5- ، ومنها س=7-.


المثال الثالث: احسب مدى س في المسألة: |س| < 3.[٦]


الحل:

  • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: س< 3±، وعليه:
    • س< 3، أو س>-3؛ أي أن -3<س<3.


المثال الرابع: احسب مدى س في المسألة: |3س-6| ≤ 12.[٦]


الحل:

  • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: (3س-6)≤ 12±، وبالتالي: 3س-6 ≤ 12، أو 3س-6 ≤ 12-، ومنه:
    • 3س-6≤ 12، تصبح بعد جعل س على طرف لوحدها: س≤ 6.
    • 3س-6 ≤ 12-، تصبح بعد جعل س على طرف لوحدها: 2- ≤ س .
    • وبالتالي: 2- ≤ س ≤ 6


المثال الخامس: احسب قيمة س في المسألة: |س-2| + |س-3| = 1.[٣]


الحل:

  • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: ±(س-2)±(س-3) = 1، وبالتالي هناك عدة حالات على الشكل الآتي:
    • س-2+ س-3= 1، وبالتالي: 2س-5 =1، ومنه: س= 3.
    • -س+2 - س+3 = 1، وبالتالي: -2س+5=1، ومنه: س = 2.
    • س-2- س+3= 1، وهذه المسألة لا حلول لها لأن س تلغي بعضها.
    • -س+2+س-3= 1، وهذه المسألة لا حلول لها لأن س تلغي بعضها.
  • حلول هذه المسألة هي: س= 2،3.


المثال السادس: احسب قيمة س في المسألة: |3س-2| = |5س+4|.[٤]


الحل:

  • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: (3س-2) = ±(5س+4)، وبالتالي هناك عدة حالات على الشكل الآتي:
    • 3س-2 = 5س+4، ومنه: س= 3-.
    • 3س-2 = -5س-4، ومنه: س= 1/4-.
  • حلول هذه المسألة هي: س=1/4-، 3-.


المثال السابع: إذا كانت قيمة س=2، جد قيمة ما يلي: |-4س+3| |3س-14|.[٨]


الحل: بتعويض قيمة س ينتج أن: |(-4×2)+3|×|(3×2)-14| = |5-|×|8-| = 5×8 = 40.


المثال الثامن: إذا كان: |2أ-3| = 5، |3-4ب| = 11، جد قيمة |ب-أ|، علماً أن أ، ب أعداد سالبة.[٩]


الحل:

  • |2أ-3| = 5، ومنه: 2أ-3 = 5±، وبالتالي: 2أ-3 = 5، وبحلها ينتج أن أ=4، أو 2أ-3 = 5-، وبحلها ينتج أن: أ=1-، وهي القيمة المطلوبة.
  • |3-4ب| = 11، ومنه: 3-4ب = 11±، وبالتالي: 3-4ب = 11، وبحلها ينتج أن: ب= 2-، وهي القيمة المطلوبة، أو 3-4ب = 11-، وبحلها ينتج أن: ب=2.
  • قيمة |ب-أ| هي: |-2-(-1)| = |1-| =1.


تُكتب القيمة المطلقة للعدد س مثلاً باستخدام الرمز الآتي: |س|، إذ يعبّر عن اقتران القيمة المطلقة بالصيغة الآتية: ق(س)=|س|، وهو يحوّل قيمة س إلى القيمة الموجبة دائماً، وللقيمة المطلقة العديد من الخصائص وأهمها؛ أنها لا يمكن أن تكون أقل من الصفر، وحاصل ضرب القيمة المطلقة للعدد أ بالقيمة المطلقة للعدد ب يساوي القيمة المُطلقة لحاصل ضرب العددين أ و ب، والقيمة المطلقة لمجموع قيمة العددين أ, ب أقل دائماً أو مساوية لناتج جمع أو طرح القيمة المطلقة للعدد أ مع القيمة المطلقة للعدد ب، وغيرها العديد.


المراجع

  1. ^ أ ب "Absolute Value in Algebra", www.mathsisfun.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
  2. ^ أ ب Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, College Algebra, Page 8. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث ج ح خ "Absolute Value", www.brilliant.org, Retrieved 23-10-2017. Edited.
  4. ^ أ ب "ABSOLUTE VALUE", www.wiley.com, Retrieved 24-10-2017. Edited.
  5. Aiesha Brooks, "What is an Absolute Value?"، www.study.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
  6. ^ أ ب ت ث "Absolute Value", www.mathsisfun.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
  7. Laura Pennington, "Absolute Value Function: Definition & Examples"، www.study.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
  8. "How to solve absolute value equations", www.varsitytutors.com, Retrieved 18-5-2020. Edited.
  9. " How to find absolute value", www.varsitytutors.com, Retrieved 18-5-2020. Edited.
240 مشاهدة
للأعلى للأسفل