طريقة حل المعادلات التفاضلية الجزئية

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المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى

المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية هي المعادلات التي يمكن كتابتها على النحو التالي:

.(1)

وبالنسبة للتابع ، ويمكن كتابة معادلة المنحنى على النحو التالي:

وهذه المعادلة تقودنا إلى ما يَسمَى جملة المعادلات المساعدة للمعادلة رقم (1)، ويُعبّر عنها كالتالي:

وإذا كانت قيمة الطرف في المعادلة رقم (1) تساوي صفر عندها نُسميها معادلة متجانسة.^[١] <section class="panel" data-question="<p class="ql-direction-rtl ql-align-right">ما الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية التالية؟</p><p class="ql-direction-rtl ql-align-right"><span class="ql-mathjax" contenteditable="false" data-value="x du/dx +y du/dy =2xy"><span contenteditable="false"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg%22 width="23.679ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 10466 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink%22 aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.566ex;"><defs><path id="MJX-329-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-329-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path 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-68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-329-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-329-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 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</div> </div> </div> </div>" data-denotation-char="" data-editor-class="editor-1" data-id="2fec8ff8_0062_473f_9ed9_530affc94cf8" data-index="553" data-panel-type="faq" data-ref="">

السؤال:

ما الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية التالية؟

<button articles-number="6">إظهار الحل</button>

الحل:

نبدأ بتحديد جملة المساعدات:

وعليه فإن الحل العام هو:

<button>إخفاء الحل</button>

</section>وبالانتقال لمثالٍ آخر: <section class="panel" data-question="<p class="ql-direction-rtl ql-align-right">ما الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية التالية:</p><p class="ql-direction-rtl ql-align-right"><span class="ql-mathjax" contenteditable="false" data-value="y du/dx - x du/dy=0"><span contenteditable="false"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg%22 width="21.276ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 9404 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink%22 aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.566ex;"><defs><path id="MJX-348-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 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ql-align-right"><span class="ql-mathjax" contenteditable="false" data-value="c2=x^2 +y^2 "><span contenteditable="false"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg%22 width="12.272ex" height="2.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 5424.1 1038.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink%22 aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.464ex;"><defs><path id="MJX-366-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-366-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 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class="ql-direction-rtl ql-align-right">بالبداية نذكر أن جملة المعادلات المساعدة هي:</p><p class="ql-direction-rtl ql-align-right"><span class="ql-mathjax" contenteditable="false" data-value="dx/y=-dy/x=du/0"><span contenteditable="false"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg%22 width="21.948ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 9701.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink%22 aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.566ex;"><defs><path id="MJX-352-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 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data-mml-node="mo" transform="translate(1710,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-372-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2154.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-372-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-372-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3385.4,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-372-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4385.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-372-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-372-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5312.2,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-372-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5979,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-372-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7034.8,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-372-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></span></span> </p> </div> <div class="qa-body__hideAnswer"> <button>إخفاء الحل</button> </div> </div> </div> </div>" data-denotation-char="" data-editor-class="editor-1" data-id="0891684a_45eb_40fa_ad3d_c212fe60c8b5" data-index="577" data-panel-type="faq" data-ref="">

السؤال:

ما الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية التالية:

؟

<button articles-number="6">إظهار الحل</button>

الحل:

بالبداية نذكر أن جملة المعادلات المساعدة هي:

ومنها نجد أن:

وعليه فإن الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية هو:

<button>إخفاء الحل</button>

</section>

المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية

إذا كان u تابعاً لمتغيرين مستقلين x و y ، فإن الشكل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من المرتبة الثانية هو:

وكما يتضح فإن التوابع هنا تتمثل ب:

والمتغيرين المستقلين هما فقط كل من:

^[١].

ويمكن القول بأن المعادلة الخطية متجانسة إذا كان ، ويمكن للمعادلة التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية أن تكون متناقصة أو متزايدة أو متكافئة، فعلى سبيل المثال: ^[١]

• إذا كانت قيمة F أقل من 0 فهي متناقصة.
• إذا كانت قيمة F تساوي من 0 فهي متكافئة.
• إذا كانت قيمة F أكبر من 0 فهي متزايدة.

بالإضافة لما سبق يمكن حل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطیة من المرتبة الثانية بعدة طرق وهي: ^[٢]

• الطريقة المباشرة

حيث يمكن تعيين الحل العام لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية الخطیة عن طريق تكامل أحد المتغيرات المشتقة بشكل مباشر.

• طريقة فصل المتغيرات

حيث يمكن تعيين الحل العام لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية الخطیة المتجانسة عن طريق فصل المتغيرات ومبدأ التركيب الخطي والذي ينص على أن التركيب الخطي لبعض حلول المعادلات التفاضلية الجزئية الخطیة المتجانسة هو حلٌ لها، بلغة أخرى تعني أن يتم تحويل المعادلة التفاضلية الجزئية ذات n من المتغيرات المستغلة إلي n من المعادلات التفاضلية الاعتيادية.

• طريقة سلاسل فورير

حيث يمكن استخدام هذه الطريقة لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية الخطیة المتجانسة والتي لديها شروط ولا نستطيع إيجاد حلها بالطرق السابقة.

• طريقة المعادلة المساعدة

إذا كانت المعادلة التفاضلیة الجزئیة خطیة ومتجانسة ذات أمثال ثابتة وجمیع حدودها من نفس الدرجة مثل:

مفهوم المعادلات التفاضلية الجزئية وما يتعلق بها

المعادلات التفاضلية الجزئية هي المعادلات التي تحتوي على أكثر من متغير والمشتقات الجزئية لهذا التابع بالنسبة لمتغيراته، ومرتبة المعادلة التفاضلية هي أعلى مرتبة اشتقاق جزئي للمعادلة، فعلى سبيل المثال: ^[١]<section class="panel" data-question="<p class="ql-align-justify ql-direction-rtl">ما مرتبة المعادلة التفاضلية التالية:</p><p class="ql-align-justify ql-direction-rtl"><span class="ql-mathjax" contenteditable="false" data-value="d^2u/dxdy=2x-y"><span contenteditable="false"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg%22 width="18.662ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 8248.6 1083.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink%22 aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.566ex;"><defs><path id="MJX-61-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-61-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-61-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 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data-editor-class="editor-1" data-id="11799889_46ce_4ce8_8610_ba505e9b665a" data-index="447" data-panel-type="faq" data-ref="">

السؤال:

ما مرتبة المعادلة التفاضلية التالية:

<button>إظهار الحل</button>

الحل:

معادلة من الدرجة الثانية.

<button>إخفاء الحل</button>

</section>

يتوجب قبل البدء بأي حلول، تحديد فيما إذا كانت المعادلة خطية أو غير خطية؛ فالمعادلة الخطية هي المعادلة التي لا تتضمن فيها المعادلة وأي حد منها أو الشروط الأولية أي حاصل ضرب من المتغيرات التابعة أو مشتقاتها. ^[١]

وحل المعادلة التفاضلية الجزئية هو أي تابع يحقق المعادلة التفاضلية الجزئية، والحل العام للمعادلة التفاضلية نقصد به الحل الذي يحوي توابع اختيارية عددها يساوي مرتبة المعادلة، بينما يُعرّف الحل الخاص على أنه كل حل ينتج عن عبارة الحل العام لها بعد تعيين قيم محددة للتوابع الاختيارية التي يحتويها الحل العام بشرط أن تتوافق وشروط المسألة. ^[٢]

فلنأخذ مثالًا بسيطًا، المعادلة التالية على سبيل المثال التابع التالي:

هو الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية:

حيث أنها معادلة من المرتبة الثانية والتابع الذي ذكرناه يحقق المعادلة ويحوي تابعين اختياريين هما .^[٢]

وكمثال على الحل الخاص فإن:

هو مثال على الحل الخاص للمعادلة التفاضلية الجزئية، وهذا يقودنا إلى ما يُسمى بالمعادلة الحدية وهي المسألة التي تتألف من معادلة تفاضلية جزئية بالإضافة لبعض الشروط التي تتعلق بحدود منطقة المتغيرات والتي ندرس المعادلة ضمنها. ^[٢]

تصنيف المعادلات التفاضلية

تُصنف المعادلات التفاضلية الجزئية بناء علي اعتبارات عدة والتصنيف ذو مفهوم مهم؛ لأن النظرية العامة وطريقة الحل عادة تُطبق على صنف معين من المعادلات، وتُصنف المعادلات التفاضلية الجزئية إلي 6 أصناف هي:^[٣]

• حسب رتبة المعادلة التفاضلية الجزئية (أولى، ثانية، إلخ).
• حسب عدد المتغيرات (ذات متغيرين، ذات متغيرات).
• حسب صفة الخطية (خطية وغير خطية).
• حسب التجانس (متجانسة وغير متجانسة).
• حسب نوعية المعاملات (ثابتة أو متغيرة).
• حسب الأنماط الثلاثة الأساسية للمعادلات الخطية (متزايد، متكافئ، متناقص).

أهمية المعادلات التفاضلية الجزئية

تتأتى أهمية المعادلات التفاضلية الجزئية لأن معظم الفيزياء الرياضية توصَف بمثل هذه المعادلات؛ فعلى سبيل المثال لا الحصر: ^[١]

• ديناميات الموائع.
• ديناميكيات الوسائط المستمرة.
• النظرية الكهرومغناطيسية.
• ميكانيكا الكم.
• تدفق حركة المرور.

كما ويمكن وصف غالبية الظواهر الفيزيائية من خلال المعادلات التفاضلية الجزئية، مثل: ^[١]

• معادلة نافييه-ستوكس لديناميكا الموائع.
• معادلات ماكسويل للكهرومغناطيسية.
• معادلة الحرارة.
• معادلة الموجة.
• معادلة لابلاس.
• معادلة هيلمهولتز.
• معادلة كلاين-جوردون.
• معادلة بواسون.
• معادلة برجر.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ} School of Mathematics, University of Leeds, Analytic Solutions of Partial Differential Equations, Page 7. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث} جامعة حماة، مدخل إلى المعادلات التفـاضلية الجزئية، صفحة -. بتصرّف.
3. ↑ أماني محمد،تسابيح عبدالرحمن، كوثر علي وآخرون، مباديء المعادلات التفاضلية الجزئية وبعض تطبيقاتها، صفحة 15-16. بتصرّف.