قانون الجيب في الرياضيات

كتابة - آخر تحديث: ١٣:٠٩ ، ٢١ يوليو ٢٠١٨

قانون الجيب في الرياضيات

في حساب المثلثات يتم تعريف قانون الجيب على أنَّه علاقة رياضيّة تربط بين أطوال أضلاع مثلث غير قائم بجيوب زواياه الداخلية وفقاً للعلاقة الرياضية الآتية: (أ/جا أَ)=(ب/جا بَ)=(ج/جا جَ) حيث إنَّ (أ، ب، ج) هي أطوال أضلاع المثلث، و(أَ، بَ، جَ) هي الزوايا المقابلة على الترتيب لأضلاع المثلث، ويُمكن كتابة قانون الجيب في الرياضيات على الصورة الآتية: (جا أَ/أ)=(جا بَ/ب)=(جا جَ/ج).[١]


تكمن أهميّة قانون الجيب في أنّه يمكّن من حساب طول ضلعين من أطوال مثلث غير قائم بمعرفة طول ضلعه الثالث وقياس أي زاويتين من زواياه الداخليّة، وكذلك يمكّننا من قياس زاوية في مثلث غير قائم إذا علم طول أيّ ضلعين فيه وقياس زاوية غير محصورة بينهما، وفي هذا المقال سنعرّفكم على قانون الجيب في الرياضيات بشكلٍ مفصل.[١]


إثبات قانون الجيب

إذا كان لدينا مثلث أضلاعه هي أ، وب، وج، بحيث إنَّ الزاوية أَ تُقابل الضلع أ، والزاوية بَ تُقابل الضلع ب، والزاوية جَ تُقابل الضلع ج، فإنّه وفقاً لقانون حساب مساحة المثلث بدلالة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أي باستخدام العلاقة الآتية.[٢]


د=(0.5) أب جاجَ=(0.5) أج جابَ=(0.5) ب ج جا أَ بحيث إنَّ د تُساوي مساحة المثلث أ ب ج


باستخدام (0.5) أب جا جَ=(0.5) أج جا بَ


نتوصل إلى أنَّ : ب جا جَ=ج جا بَ


أي أنَّ : ج / جا جَ=ب / جا بَ


بتكرار الخطوات السابقة نحصل على ما تبقَّى من قانون الجيب.


الحالة المبهمة في حساب المثلثات

قد نحصل في كثير من الأحيان على حلّين مختلفين عند استخدامنا قانون الجيب لحساب قياس زاوية مجهولة من زوايا المثلث، هذا يعني أنَّه يوجد مثلثان يختلفان في مقدار العناصر المجهولة ولكنهما يتفقان في قيم العناصر المعروفة، ولا تحصل هذه الحالة إلا بتحقق مجموعة الشروط الآتية:[٣]

  • إذا كان طول ضلعين من أضلاع المثلث (أ، ب) وقياس زاوية غير محصورة بينهما (أَ) معروفاً.
  • إذا كانت الزاوية المعروفة (أَ) هي زاوية حادة.
  • إذا كان الضلع المقابل (أ) للزاوية المعروفة (أَ) أصغر من طول الضلع الآخر (ب).
  • أن يكون الضلع (أ) أطول من ارتفاع المثلث القائم الذي وتره (ب) وإحدى زواياه هي (أَ).


مثال: حلّ المثلث ج د هـ، إذا علمت أنّ المثلث فيه الزاوية جَ=68 ْ، الزاوية دَ=55 ْ، هـ=5 سم. المطلوب أن نقوم بحل المثلث، أي إيجاد مقدار الزاوية المجهولة وأطوال أضلاع المثلث غير المعلومة:[٣]


إيجاد الزاوية هـَ:

الزاوية هـَ=مجموع زوايا المثلث-(مقدار الزاوية جَ+مقدار الزاوية دَ) 

الزاوية هـَ=180-(68+55)

الزاوية هـَ=57 ْ


إيجاد أطوال الأضلاع باستخدام قانون الجيب:

(ج/جا جَ)=(د/جا دَ)=(هـ/جا هـَ)

(ج/جا 68 ْ)=(د/جا 55 ْ)=(هـ/جا 57 ْ)


باستخدام الآلة الحاسبة نجد مقادير الجيب:

جا 68 ْ=0.93

جا 55 ْ=0.82

جا 57 ْ=0.84

(ج/0.93)=(د/0.82)=(5/0.84)


إيجاد الضلع ج:

لإيجاد طول الضلع ج نأخذ الكسر الأول مع الكسر الثالث:

(ج/0.93)=(5/0.84)

ج×0.84=5×0.93

ج=(5×0.93)/0.84

ج=5.5 سم.


إيجاد الضلع د:

لإيجاد طول الضلع د نأخذ الكسر الثاني مع الكسر الثالث:

(د/0.82)=(5/0.84)

د×0.84=5×0.82

د=(5×0.82)/0.84

د=4.9 سم.


المراجع

  1. ^ أ ب "The Law of Sines", www.mathsisfun.com, Retrieved 24-6-2018. Edited.
  2. "Law of Sines", www.proofwiki.org, Retrieved 24-6-2018. Edited.
  3. ^ أ ب "Sine Rule (Law of Sines)", www.brilliant.org, Retrieved 24-6-2018. Edited.