قانون محيط الدائرة ومساحتها

كتابة - آخر تحديث: ١٣:١٢ ، ١٢ أبريل ٢٠١٩
قانون محيط الدائرة ومساحتها

الدائرة

يُمكن تعريف الدائرة على أنها شكل هندسي ثُنائي الأبعاد، ويُمثل تَقوُّس يَبتعد عن نُقطة مركزية بمقدار مسافة ثابتة، وتُسمى هذه المسافة التي تَفصل بين نقطة المركز والمُنحنى بنصف قُطر الدائرة.[١] كما يُمكن تعريف الدائرة بأنها شكل تَبعُد جميع نقاطه بمقدار ثابت عن مركزه، ويتم تسمية الدائرة باسم مركزها، فإذا كان مركز الدائرة يُسمَّى (أ)، فنقول عن الدائرة الخاصة به الدائرة (أ).[٢]


تَنقسم الخطوط المستقيمة في الدائرة إلى:[٣]

  • نصف قُطر الدائرة: هو الخط المستقيم الواصل بين نقطة مركز الدائرة، وأي نقطة أُخرى على هذه الدائرة.
  • قُطر الدائرة: هو الخط المستقيم الواصل بين نقطتين في الدائرة ويَمُر في نقطة مركز الدائرة، إذ يُساوي ضعف طول نصف القُطر:
طول القُطر= 2* طول نصف القُطر
  • وَتر الدائرة: هو الخط المستقيم الواصل بين نقطتين على الدائرة، إلا أنه لا يَمُر بنقطة مركز الدائرة.


علاقة الدائرة بالعدد باي

يُرمَز لباي بالرمز الإغريقي π (بالإنجليزية: pi)، والذي يُساوي 3.14159265358979323846، ويتم تقريبه إلى 3.14، وقد تم إيجاد هذا الرقم من خِلال حِساب المسافة حول الدائرة (محيط الدائرة)، وتقسيمها على الخط المستقيم الواصل ما بين مُنحنيين في الدائرة والمار في نقطة مركز الدائرة (قُطر الدائرة) إذ يَنتُج العدد باي، ويُمكن تمثيل ذلك بالمعادلة التالية:[٢]

π= محيط الدائرة\ قطر الدائرة


محيط الدائرة

يُمثل محيط أي شكل طول الحواف المحيطة بشكله الخارجي،[٤] وبالتالي يُمكن تعريف محيط الدائرة بأنه المسافة المُقاسة حول الدائرة، ويُمكن حِساب محيط الدائرة من خِلال ضرب قُطر الدائرة في العدد π (بالإنجليزية: pi)، ويُمكن تمثيل ذلك من خلال إحدى المعادلتين التاليتين:[٥]

  • محيط الدائرة= قُطر الدائرة* π
  • محيط الدائرة= (2*نصف قُطر الدائرة)* π


مساحة الدائرة

يتم تعريف مساحة أي شكل على أنه عدد المربعات التي تُغطي سطح هذا الشكل، وتكون مُقاسة بالوحدات المربعة كالسانتيمتر المربع، أو المتر المربع، أو الإنش المربع، وغيرها. ويُمكن حساب مساحة الدائرة من خلال ضرب مربع نصف قُطر الدائرة في العدد π (بالإنجليزية: pi)، ويُمكن تمثيل ذلك من خلال إحدى المعادلتين التاليتين:[٦][٧]

  • مساحة الدائرة= (نصف قُطر الدائرة)2
  • مساحة الدائرة= (قُطر الدائرة\ 2)2


قياس زوايا الدائرة

إن الدائرة تُمثل 360 درجة، حيث إنه إذا تم تقسيم الدائرة باستخدام خط مستقيم أُفقي يَمُر بالمركز، وخط مستقيم عامودي آخر يَمُر بالمركز أيضاً، فإن كل رُبع من أرباع هذه الدائرة يكون قياس زاويته يُساوي 90 درجة، حيث إنه هناك 90 درجة في الزاوية اليُمنى العُليا، و90 درجة في الزاوية اليُسرى العُليا، و90 درجة في الزاوية اليُمنى السُّفلى، و90 درجة في الزاوية اليُسرى السُّفلى.[٨]


يَستخدم مُعظم العلماء، والمهندسين، ومُختصي الرياضيات نظام الراديان عِوضاً عن الدرجات، وذلك لأنه يُسهِّل كتابة مُعظم الصيغ الرياضية، مما يُسهِّل فهمها وحفظها، وبالنسبة للدائرة فإنها تُمثل بنظام الراديان π مضروباً باثنين، مما يعني أن الـ 2π تُساوي 360 درجة، وأن الـ π يُساوي 180 درجة، أي نصف الدائرة الأعلى أو الأسفل (في حال تم تقسيم الدائرة باستخدام خط مستقيم أُفقي مار بالمركز)، أو نصف الدائرة الأيمن أو الأيسر (في حال تم تقسيم الدائرة باستخدام خط مستقيم عامودي مار بالمركز)، وفي ما يلي قيم بعض الزوايا بالراديان والدرجات:[٨]

الزاوية بالدرجات الزاوية بالراديان
90 π/2
180 π
360 2*π
270 2/(3*π)
60 π/3
120 3/(2*π)
150 6/(5*π)
30 π/6
0 0
225 4/(5*π)


حساب مساحة القطاع الدائري

يُمكن تعريف القطاع الدائري بأنه جزء من الدائرة يَحده نصفا قُطر من الجهتين ليتكوَّن شكل مُغلق، ويتم حِساب مساحة القطاع الدائري بسهولة إذا كان كل من قيمة طول نصف قُطر الدائرة، وقياس الزاوية الواقعة بين نصفي القُطرين معلومين، حيث يُمكن حساب مساحة القطاع الدائري من خلال الخطوات التالية:[٩]

  • تحويل قياس الزاوية إلى الراديان، ويتم التحويل بين الراديان والدرجات كالتالي:
    • التحويل من درجات إلى راديان: الدرجة الواحدة تساوي العدد π مقسوماً على 180 درجة (1°= π/°180)، ثم يتم حساب القيمة من خلال عملية نسبة وتناسب لإيجاد قيمة الزاوية بالراديان.
    • التحويل من راديان إلى درجات: الراديان الواحد يساوي 180 درجة مقسومة على العدد π من خلال (1راديان=π÷180)، ثم يتم حساب القيمة من خلال عملية نسبة وتناسب لإيجاد قيمة الزاوية بالدرجات.
  • حساب القطاع الدائري من خلال المعادلة التالية:
مساحة القطاع الدائري =0.5* نصف القُطر2* (قيمة الزاوية الواقعة بين نصفي القُطر)


حساب طول القوس الدائري

يُمكن القيام بحساب طول القَوس الدائري بعد معرفة الزاوية التي حُصِر بها هذا القَوس من قِبَل نصفي أقطار الدائرة، وقياس نصف قُطر الدائرة، حيث إن طول القوس الدائري مُساوٍ لطول نصف قُطر الدائرة مَضروباً بالزاوية بالراديان، ويُمكن تمثيل ذلك بالمعادلة التالية:[٩]

طول القَوس الدائري = نصف القُطر* الزاوية بالراديان


كتابة معادلة الدائرة

يُمكن معرفة معادلة الدائرة في مستوى ديكارتي بسهولة إذا كانت إحداثيات مركزها، وقيمة نصف قطرها معلومة، حيث إذا كانت إحداثيات مركزها هما (أ، ب)، وإحداثيات نقطة واقعة على الدائرة (هـ، و)، وتم الرمز إلى نص قُطرها بـ (نق)، تكون معادلة الدائرة:[١٠]

نق2= (هـ- أ)2 + (و- ب)2


حيث تم اشتقاق القانون السابق بعد استخدام قانون المسافة بين نقطتين، وهما نقطة إحداثيات المركز والنقطة الواقعة على الدائرة، حيث إن المسافة بين هاتين النقطين مُساوية لنصف القُطر، وعندما نأخذ الجذر التربيعي للطرفين نحصل على معادلة الدائرة السابقة، لكن إذا وقع مركز الدائرة على نقطة الأصل (0،0) في المستوى الديكارتي فسيتم تعويض صفر بدلاً من (أ)، وصفر بدلاً من (ب) إذ تصبح معادلة الدائرة كما يلي:[١٠]

نق2 =هـ2 + و2


فيديو عن الدائره ومساحتها ومحيطها

للتعرف على المزيد عن هذا الشكل الهندسي تابع الفيديو



المراجع

  1. "Circle", www.mathsisfun.com, Retrieved 4-4-2019. Edited.
  2. ^ أ ب " Circumference of a Circle", www.mathgoodies.com, Retrieved 4-4-2019. Edited.
  3. "Basic information about circles", www.mathplanet.com, Retrieved 4-4-2019. Edited.
  4. "circumference", dictionary.cambridge.org, Retrieved 4-4-2019. Edited.
  5. "Circumference review", www.khanacademy.org, Retrieved 4-4-2019. Edited.
  6. "Area of circles review", www.khanacademy.org, Retrieved 9-4-2019. Edited.
  7. "Area of a Circle", www.mathgoodies.com, Retrieved 9-4-2019. Edited.
  8. ^ أ ب John Polking , "Degree/Radian Circle"، math.rice.edu, Retrieved 4-4-2019. Edited.
  9. ^ أ ب David Joyce, "Measurement of Angles"، www2.clarku.edu, Retrieved 4-4-2019. Edited.
  10. ^ أ ب "Day 10 – Equations of Circles, Circumference, and Area", jwilson.coe.uga.edu, Retrieved 4-4-2019. Edited.