قانون محيط الدائرة ومساحتها

كتابة - آخر تحديث: ٠٧:٣٥ ، ١٩ أبريل ٢٠٢٠
قانون محيط الدائرة ومساحتها

نظرة حول محيط الدائرة ومساحتها

يتمثّل محيط أي شكل هندسي بطول حدوده أو الحواف المحيطة به من الخارج،[١] وبالتالي يُمكن تعريف محيط الدائرة (بالإنجليزية: circumference) بأنه المسافة المحيطة بها، ويُقاس بالوحدات الطولية،[٢] أما بالنسبة لمساحة الدائرة (بالإنجليزية: Circle Area) فيمكن تعريفها بأنها كمية الفراغ الذي تغطّيه الدائرة، وتُقاس بالوحدات المربعة.[٣]


قانون محيط الدائرة

يُمكن حِساب محيط الدائرة من خلال أحد القوانين الآتية:[٤]

  • محيط الدائرة= قُطر الدائرة×π، وبالرموز: ح=ق×π.
  • محيط الدائرة= 2×نصف قُطر الدائرة×π، وبالرموز: ح=2×نق×π.
  • محيط الدائرة= الجذر التربيعي للقيمة (4×مساحة الدائرة×π) ، وبالرموز: ح= (4×م×π)√؛ حيث:
    • م: مساحة الدائرة.
    • ح: محيط الدائرة.
    • نق: نصف قطر الدائرة، وهو المسافة الواصلة بين المركز وأية نقطة على محيط الدائرة.
    • ق: طول قطر الدائرة، وهو يعادل المسافة الواصلة بين أية نقطتين على محيط الدائرة عند مرورها في المركز.
    • π: الثابت باي، وتساوي قيمته: 3.14، أو 22/7.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو قانون محيط الدائرة.


قانون مساحة الدائرة

يُمكن حِساب مساحة الدائرة من خلال أحد القوانين الآتية:[٥]

  • مساحة الدائرة= مربع نصف قُطر الدائرة×π، وبالرموز: م=نق²×π.
  • مساحة الدائرة= (مربع قُطر الدائرة/4)×π، وبالرموز: م=(ق²×π)/ 4
  • مساحة الدائرة= مربع محيط الدائرة/(4π)، وبالرموز: م=(ح²/ 4π)؛ حيث:
    • م: مساحة الدائرة.
    • ح: محيط الدائرة.
    • نق: نصف قطر الدائرة.
    • ق: طول قطر الدائرة.
    • π: الثابت باي، وتساوي قيمته: 3.14، أو 22/7.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: كيف أحسب مساحة الدائرة.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة نصف الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة نصف الدائرة.


أمثلة متنوعة على حساب مساحة ومحيط الدائرة

  • المثال الأول: احسب مساحة ومحيط دائرة نصف قطرها يساوي 3سم.[٥]
    • الحل:
    • باستخدام القانون: مساحة الدائرة= نق²×π، ينتج أن: م=3²×3.14=28.26سم²
    • باستخدام القانون: محيط الدائرة= 2×نق×π، ينتج أن: ح=2×3×3.14=18.84سم.


  • المثال الثاني: احسب مساحة ومحيط دائرة قطرها يساوي 16سم.[٣]
    • الحل:
    • باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(ق²×π)/ 4
    • م=(16²×3.14)/4=200.96سم².
    • باستخدام القانون: محيط الدائرة=ق×π
    • ح=16×3.14=50.24سم.


  • المثال الثالث: احسب مساحة ومحيط حوض دائري الشكل للزهور قطره يساوي 9م.
    • الحل:
    • باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(ق²×π)/ 4
    • م=(9²×3.14)/4=63.6م².
    • باستخدام القانون: محيط الدائرة=ق×π
    • ح=9×3.14=28.26م.


  • المثال الرابع: إذا كان نصف قطر إطار عربة ما 6سم، جد المسافة المقطوعة من قبل العربة بعد دوران العجل مرة واحدة فقط.[٦]
    • الحل:
    • المسافة المقطوعة من قبل الإطار بعد دورانه مرة واحدة تعادل محيط هذا الإطار، وباستخدام القانون: محيط الدائرة=2×نق×π، ينتج أن محيط الدائرة=2×6×3.14= 37.68سم، وبالتالي فإن المسافة المقطوعة من قبل هذا الإطار بعد دورانه مرة واحدة=37.68سم تقريباً.


  • المثال الخامس: جد مساحة الدائرة التي يبلغ قياس محيطها 30م.[٧]
    • الحل:
    • باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(مربع محيط الدائرة/ 4π)، ومنه مساحة الدائرة=(30²/ 4×3.14)=71.65م².


  • المثال السادس: إذا كانت مساحة الدائرة 314.159م²، جد طول نصف قطرها.[٧]
    • الحل:
    • باستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: 314.159=نق²×3.14، ومنه: نق=10م.


*المثال السابع: إذا كان نطاق تغطية أحد الهواتف النقّالة محصوراً ضمن دائرة نصف قطرها 3كم، جد مساحة المنطقة التي يغطيها الهاتف.[٨]
    • الحل:
    • باستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: مساحة الدائرة=3²×3.14 =28.26كم².


  • المثال الثامن: إذا كان عرض الإطار المحيط بصورة دائرية الشكل 4سم، وكان نصف قطر هذه الصورة 12سم، جد مساحة هذا الإطار.[٨]
    • الحل:
    • حساب مساحة الدائرة الخارجية والتي يبلغ نصف قطرها=نصف قطر الدائرة الداخلية+عرض الإطار= 12+4=16سم، وباستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: مساحة الدائرة=16²×3.14=803.84سم².
    • حساب مساحة الصورة باستخدام القانون: مساحة الدائرة= نق²×π، ومنه مساحة الدائرة= 12²×3.14= 452.16سم².
    • حساب مساحة الإطار والتي تساوي: مساحة الإطار= مساحة الدائرة الخارجية-مساحة الصورة =803.84 -452.16=351.68 سم².


  • المثال التاسع: إذا كانت مساحة الدائرة 200م²، جد نصف قطرها.[٨]
    • الحل:
    • باستخدام القانون: مساحة الدائرة=نق²×π، ينتج أن: 200=نق²×3.14، ومنه: نق=8م.


  • المثال العاشر: جد مساحة الدائرة التي يبلغ قياس محيطها 40م.[٨]
    • الحل:
    • باستخدام القانون: مساحة الدائرة=(محيط الدائرة²/ 4π)، ومنه: مساحة الدائرة=(40²/ 4×3.14)=127.4م².


  • المثال الحادي عشر: إذا كان الفرق بين محيط إحدى الدوائر وقطرها 5سم، جد نصف قطر هذه الدائرة.[٩]
    • الحل: محيط الدائرة هو: ح=ق×π، ووفق معطيات السؤال فإن: محيط الدائرة-قطر الدائرة = 5، أي أن ق×π-ق=5، وبحل المعادلة ينتج أن قطر الدائرة=2.34سم، أما نصف قطرها فيساوي=قطر الدائرة/2=2.34/2=1.166سم.


*المثال الثاني عشر: أرادت هبة تغيير شكل سلك تم تشكيله على شكل دائرة نصف قطرها 49سم وتحويله إلى مربع، جد طول ضلع المربع الناتج.[٩]
    • الحل:
    • باستخدام قانون محيط الدائرة: محيط الدائرة=2×نق×π، ينتج أن ح=2×49×3.14=307.72سم، وهو ذاته محيط المربع.
    • باستخدام قانون محيط المربع= طول الضلع×4، ينتج أن 307.72/4=طول ضلع المربع=77سم.


لمزيد من المعلومات حول الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث عن الدائرة ومحيطها.
لمزيد من المعلومات حول خصائص الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص الدائرة.


فيديو عن الدائره ومساحتها ومحيطها

للتعرف على المزيد عن هذا الشكل الهندسي تابع الفيديو:[١٠]


المراجع

  1. "circumference", dictionary.cambridge.org, Retrieved 4-4-2019. Edited.
  2. "Circumference review", www.khanacademy.org, Retrieved 4-4-2019. Edited.
  3. ^ أ ب "Area of circles review", www.khanacademy.org, Retrieved 9-4-2019. Edited.
  4. "Circumference (Perimeter) of a circle", www.mathopenref.com, Retrieved 10-3-2020. Edited.
  5. ^ أ ب "Area of a Circle", www.mathsisfun.com, Retrieved 10-3-2020. Edited.
  6. "Perimeter of a Circle", www.web-formulas.com, Retrieved 10-3-2020. Edited.
  7. ^ أ ب "Area of a Circle", byjus.com, Retrieved 10-3-2020. Edited.
  8. ^ أ ب ت ث "area of a circle", corbettmaths.files.wordpress.com, Retrieved 10-3-2020. Edited.
  9. ^ أ ب "Problems On Area And Circumference Of A Circle", byjus.com, Retrieved 11-3-2020. Edited.
  10. فيديو عن الدائره ومساحتها ومحيطها.