قانون مساحة المعين

كتابة - آخر تحديث: ٠٩:٢٤ ، ١٧ يناير ٢٠١٨
قانون مساحة المعين

المضلعات الرباعية

المضلع

هو شكل هندسي مُغلق، تقع جميع نقاطه في المستوى نفسه، ويتكون المضلع من اتحاد ثلاث قطع مستقيمة على الأقل، ومن أهم المضلعات وأشهرها المثلث، وهو مضلع ثلاثي يتكون من ثلاث قطع مستقيمة. وكذلك المربع، والمستطيل، والمعين، وهي مضلعات رباعية حيث يتكون كل منها من أربع قطع مستقيمة.[١]


وبالنسبة للمضلع المنتظم فهو المضلع الذي تنطبق عليه صفات المضلع السابقة، بالإضافة إلى وجود شرطين أساسيين، وهما تطابق جميع الأضلاع، وتساوي قياسات جميع زواياه، مع عدم الإخلال بأي شرط منهما، فمثلاً المستطيل ليس مضلعاً منتظماً، بالرغم من أن زواياه متساوية، لكن أطوال أضلاعه ليست جميعها متطابقة.[١]


المضلع الرباعي

هو عبارة عن شكل هندسي مُغلق، يحتوي على أربع قطع مستقيمة، حيث تتقاطع فيما بينها لتشكل أربعة رؤوس، وتُسمى برؤوس المضلع.
أما القطعة المستقيمة التي تصل رأسين غير متجاورين مع بعضهما البعض فتسمى بقُطر المضلع، حيث يقوم القطر بتقسيم المضلع الرباعي إلى قسمين، ويمثل كل قسم مثلثاً، وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث هي 180 درجة، فإنه بالمقابل مجموع قياسات زوايا المثلثين تُساوي 360 درجة، وبناءً عليه فإن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الرباعي هي 360 درجة.[١]


المُعين

تعريف المعين

المُعين: بضم الميم، هو عبارة عن مضلع رباعي، جميع أضلاعه متطابقة، وفيه كل ضلعين متقابلين متوازيين، وكل زاويتين متقابلتين متساويتين، وهو يشبه في صفاته إلى حدٍ كبير المربع، أما وجه الاختلاف بينهما فهو في قياسات الزوايا، فقياس كل زاوية من زوايا المربع هو 90 درجة، أما المُعين فليس بالضرورة أن تكون زواياه قائمة.[١][٢][٣]


خصائص المُعين

يُعتبر المُعين أحد أنواع المضلعات الرباعية، كما يُعتبر من أشكال متوازي الأضلاع، ويمتاز المُعين بوجود خصائص تميزه عن غيره من الأشكال الهندسية ومن بعض هذه الخصائص ما يأتي:[٣][٢]

  • يتكون المُعين من أربع أضلاع متساوية في الطول والقياس.
  • كل ضلعين متقابلين متوازيين.
  • كل زاويتين متقابلتين متساويتين بالقياس في المعين.
  • يحتوي المُعين على أربع زوايا.
  • مجموع قياسات زوايا المُعين 360 درجة.
  • يحتوي المُعين على أربع رؤوس.
  • يحتوي المُعين على قطرين متعامدين، حيث إنهما ينصّفان زواياه الأربعة.
  • يُمكن أن يُسمّى المُعين مربّعاً، إذا كانت كل زواياه قائمة.
  • يُعتبر المُعين من الأشكال الثنائية الأبعاد.


مساحة المُعين

إن مساحة المُعين -كمساحة أي مضلع رباعي- عبارةٌ عن المنطقة الداخلية التي تقع ضمن حدوده، حيث يمكن حساب مساحة المُعين بأكثر من طريقة، وفيما يأتي سيتم ذكر طريقتين منها.[٤][٢]


حساب المساحة بدلالة طولي القطرين

قانون مساحة المُعين بدلالة طولي قطريه= حاصل ضرب القطرين مقسوماً على العدد 2، ويمكن كتابته على النحو الآتي:((القطر الأول×القطر الثاني)÷2)؛ أو(القطر الأول×القطر الثاني×0.5)، حيث يمثل قطري المُعين القطعتين المستقيمتين الواصلتين بين كل زاويتين غير متجاورتين.[٤][١][٢] ومن الأمثلة التي توضح كيفية حساب مساحة المُعين إذا عُلم قطريه، ما يأتي:

مثال1: احسب مساحة مُعين إذا علمت أن طول قطريه يساوي 6 سم، و8 سم.[٢]

الحل:
قانون مساحة المُعين بدلالة قطريه= (القطر الأول× القطر الثاني×0.5).
نعوّض قيمة القطرالأول والقطر الثاني بالقانون.
مساحة المُعين = (0.5× 8× 6)
= 24سم².


مثال2: قطعة أرض على شكل مُعين، أراد صاحبها فرشها بالنجيل، فجد مساحة النجيل اللازم لفرشها، إذا عُلم أن طول قطريها يساوي 20 م، و 15م.[٢]

الحل:
قانون مساحة المُعين بدلالة قطريه= ((القطر الأول×القطر الثاني)÷2).
نعوض قيمة قطري القطعة بالقانون.
مساحة النجيل اللازم لفرش قطعة الأرض=(15 × 20) ÷2.
مساحة النجيل اللازم لفرش قطعة الأرض= 300÷ 2 .
إذن مساحة النجيل اللازمة لفرش القطعة هي 150 م².


حساب المساحة بدلالة الارتفاع وطول أحد الأضلاع

قانون مساحة المُعين بدلالة ارتفاعه وطول أحد أضلاعه = الارتفاع ×طول الضلع، مع التنويه هنا إلى أن ارتفاع المُعين هو القطعة العمودية الواصلة بين الضلعين المقابلين لبعضهما البعض، أما طول الضلع فيمكن اختيار أي ضلع من أضلاع المُعين، وذلك يعود لميزة تساوي أضلاعه.[٤] ومن الأمثلة التي توضح كيفية حساب مساحة المُعين بدلالة الارتفاع وطول ضلعه، ما يأتي.


مثال3: احسب مساحة مُعين إذا علمت أن ارتفاعه يساوي 6 سم، وطول أحد أضلاعه 2 سم.[٤]

الحل:
قانون مساحة المُعين بدلالة الارتفاع وطول ضلعه= الارتفاع ×طول الضلع.
نعوض قيمة الارتفاع وطول الضلع بالقانون.
مساحة المُعين = 6سم ×2سم.
إذن مساحة المُعين =12سم².


خطوات رسم مُعين إذا علم طول قطريه

لقد ورد سابقاً مفهوم المُعين، وخصائصه التي تميزه عن غيره من الأشكال الهندسية، ومن هذه الخصائص وجود قطرين متعامدين، حيث يمكن استغلال هذه الخاصية لرسم مُعين بأُسلوب مُبسط، وبشكل دقيق.[٥]


مثال4: خطوات رسم مُعين إذا عُلم أَن طول قُطره الأول 8 سم، وطول قُطره الثاني 10 سم.

  • الخطوة الاولى: نرسم قطعة مستقيمة مقدارها 8 سم باستخدام المسطرة، ونسميها القطعة أب، حيث تُمثل هذه القطعة طول القطر الأول.
  • الخطوة الثانية: نُعيّن نقطة المنتصف للقطعة أب، ونسميها بالنقطة م.
  • الخطوة الثالثة: نُحدد طول نصف القطر الثاني باستخدام المسطرة، وهو (10 ÷ 2) فيصبح الطول يساوي 5سم.
  • الخطوة الرابعة: نرسم القطعة المستقيمة التي طولها 5سم بشكل عمودي على النقطة م، وذلك باستخدام المثلث قائم الزاوية، حيث نُسمي هذه القطعة ج م.
  • الخطوة الخامسة: نرسم قطعة من الجهة الأخرى طولها 5سم عمودية على النقطة م، وذلك بالطريقة نفسها، حيث نُسمى هذه القطعة د م.
  • الخطوة السادسة: نصل بخط مستقيم بين النقاط أ ب ج د ، وعندها يتشكل المُعين أ ب ج د.


محيط المُعين

إن محيط المُعين كمحيط أي شكل رباعي هو عبارة عن المسافة التي تحيط به، ويُحسب المحيط بجمع أطوال أضلاع جوانبه الأربعة، وبذلك يكون محيط المُعين هو مجموع أطوال أضلاعه، أي طول الضلع الأول+ طول الضلع الثاني+ طول الضلع الثالث+ طول الضلع الرابع، وبما أن أضلاع المُعين منتظمة ومتطابقة، فإن محيط المُعين= عدد أضلاعه × طول الضلع، إذن: محيط المُعين= 4× طول الضلع.[٢] ومن الأمثلة التي تبين كيفية حساب محيط المعين ما يأتي:


مثال5: احسب محيط مُعين ما، إذا علمت أن طول ضلعه6 سم.[٢]

الحل:
محيط المعين= 4 × طول الضلع.
نعوّض قيمة طول الضلع بالقانون.
مُحيط المُعين= 4 × 6.
محيط المُعين= 24سم.


مثال6: مزرعة على شكل مُعين، طول أحد جوانبها يساوي 45 م، أراد صاحبها إحاطتها بسياج، فكم متراً من السياج يلزم لإحاطة المزرعة.[٢]

الحل:
محيط المُعين= 4 × طول الضلع.
نعوض قيمة طول الضلع بالقانون.
محيط المزرعة= 4× 45.
إذن يلزم 180 متراً من السياج لإحاطة المزرعة.


فيديو عن المعين وحساب مساحته

تعرف على المعين و كيفية حساب مساحته في الفيديو



المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج رجائي سميح العصار، ‏جواد يونس أبو هليل،‏محمد زهير أبو صبيح (2013)، مدخل إلى أولمبياد ومسابقات الرياضيات (الطبعة الأولى)، الرياض: جامعة الملك فهد للبترول والمعادن عمادة البحث العلمي_ مكتبة العبيكان، صفحة 63-88. بتصرّف.
  2. ^ أ ب ت ث ج ح خ د ذ "Rhombus", www.mathsisfun.com, Retrieved 1-12-2017. Edited.
  3. ^ أ ب معروف سمحان،نجلاء التويجري،ليان توبان (2016)، رياضيات الأولمبياد الهندسة (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: مؤسسة الملك عبد العزيز للموهبة والإبداع،العبيكان، صفحة 159-179، جزء الأول. بتصرّف.
  4. ^ أ ب ت ث "Measuring the Area of a Rhombus: Formula & Examples", www.study.com, Retrieved 2-12-2017. Edited.
  5. باجس خمايسة، ابراهيم الصماي، فدوى الحشاش (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الخامس (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 177-180، جزء الجزء الأول والثاني. بتصرّف.