قانون مساحة المكعب

بواسطة: - آخر تحديث: ١٠:١١ ، ٧ يناير ٢٠١٨
قانون مساحة المكعب

تعريف الموشور

  • الموشور: هو مجسم له قاعدتان متقابلتان ومتطابقتان، كما وأن جوانبه تمثل متوازيات أضلاع، ويسمى الموشور منتظماً( متناغماً) إذا كانت كل قاعدة من قاعدتيه تُمثل مضلع منتظم فهذا يعني أن الموشور منتظم، أما إذا كانت الأضلاع الجانبية عمودية على كلا القاعدتين (أي تُشكل زاوية قياسه 90 درجة)، فعندها يسمى الموشورالقائم، ومن الأمثلة على الموشورات القائمة، متوازيات المستطيلات وكذلك المكعبات.


تعريف المكعب

المكعب (بالإنجليزية: Cube): هو أحدى أهم المجسمات الهندسيّة المُتعدد الوجوه، ذو ثلاثة أبعاد وهم الطول والعرض والإرتفاع، حيثُ يحتوي هذا المُجسم الثلاثي الأبعاد على ستة أوجه يمثل كل وجه منها مضلع رٌباعي منتظم (أي أن جميع أطوال أضلاعه متطابقة). وبمعنى آخر المُكعب عبارة عن موشور قائم ذو ستة أوجه جميعها عبارة عن مربعات، ومن الأمثلة على المجسمات المكعبة الشكل حجر النرد.[١][٢][٣]


خصائص المُكعب

إن للمكعب مجموعة من الميزات التي تخصه عن غيرهِ من المُجسمات ومن هذه الخصائص ما يلي:[٢]

  • يتميز المُكعب بتعدد وجوهه، وهذا يعني أنه مجسم ذو ثلاثة أبعاد.
  • يتميز المُكعب بوجود ستة أوجه يُمثل كل منها مضلع رباعي منتظم، أي مُربع، وبما أن جميع أوجه المُكعب مربعة إذن جميع أضلاع المكعب متطابقة وبالتالي فإن طول المكعب= عرضه= ارتفاعه.
  • يتميز المكعب بأن جميع أوجهه لها نفس المساحات و الحجوم .
  • يتكون كل جانب من جوانب المُكعب من أربعة حواف (أضلاع)، وبالتالي فإن عدد أحرف المكعب اثنا عشر حرفاً، في حين أن كل حرف يُمثل الحد الفاصل بين كل جانبين متجاورين.
  • يتكون المكعب من ثمانية رؤوس وزوايا حيث ينتج كل منها عن تقاطع ثلاث حواف مع بعضها البعض.


مساحة المكعب

تقدر المساحة على أنها المنطقة المشغولة داخل حدود أي شكل يُراد حساب مساحته، حيثُ تُعد مسألة ايجاد مساحة الأشكال الهندسية من الأمور التي لا يمكن الإستغناء عنها في الحياة، أما طريقة حساب المساحة فهي تختلف حسب أبعاد الشكل المراد حساب مساحته، فإذا كان الشكل ذو أبعاد ثنائية (طول وعرض فقط) فهذا يعني أن المساحة هي المنطقة التي تقع داخل حواف الشكل، أما إذا كانت المساحة لمجسم متعدد الوجوه فهذا يعني أنه ذو طول وعرض وارتفاع (عمق) ولإيجاد مساحة أي مجسم يجب تحديد طبيعة كل وجه ومن ثم ايجاد مجموع مساحات جميع أوجهه، أما وحدة المساحة فهي دائماً الوحدة تربيع.[٤][٢]

وبناءً عليه فإن:[٤][٢]

وبما أن المكعب مُجسم له ستة أوجه كل منها مُربع، فهذا يعني أن مساحة الوجه الواحد (المربع) تساوي طول الضلع مضروباً في نفسه أما مساحته فهي مجموع ستة أوجه متشابهة جميعها عبارة عن مربعات، حيثُ تتضاعف مساحة الوجه الواحد بمقدار ستة مرات.

إذن:

المساحة الكلية للمكعب= مساحة الوجه الأول+ مساحة الوجه الثاني+ مساحة الوجه الثالث+ مساحة الوجه الرابع+ مساحة الوجه الخامس+ مساحة الوجه السادس.
المساحة الكلية للمكعب= مساحة المُربع الأول+ مساحة المُربع الثاني+ مساحة المُربع الثالث+ مساحة المُربع الرابع+ مساحة المُربع الخامس+ مساحة المُربع السادس.
المساحة الكلية للمكعب= (طول الضلع)²+ (طول الحرف)²+ (طول الحرف)²+ (طول الحرف)²+ (طول الحرف)²+ (طول الحرف)².
المساحة الكلية للمكعب= عدد أوجه المُكعب×(طول الحرف)².
المساحة الكلية للمكعب= 6×(طول الحرف)².
أو المساحة الكلية للمكعب= المساحة الجانبية+ مساحة القاعدتين.
المساحة الكلية للمكعب=4 (طول الحرف)²+ 2 (طول الحرف)².


أمثلة توضح كيفية حساب مساحة المكعب

ومن بعض الأمثلة التي توضح كيفية إيجاد مساحة أي مُجسم مُكعب الشكل، مايلي:

  • مثال(1): احسب مساحة ورق التغليف اللازم لتغليف صندوق مكعب الشكل، إذا علمت أن طول حرفه 5 سم.[٢]
الحل:
قانون مساحة المكعب= عدد أوجه المُكعب×(طول الضلع)².
تُعوض طول الضلع= 5سم في القانون، لتصبح:
مساحة الصندوق= 6×(5)².
مساحة الصندوق= 6×(5)².
مساحة الصندوق= 6×25.
إذن: المساحة اللازمة لتغليف الصندوق هي=150سم².


  • مثال(2): احسب المساحة الكلية لإحدى المُكعبات، إذاعلمت أن طول أحد حروفه 1.5ملم.[٢]
الحل:
قانون مساحة المكعب= عدد أوجه المُكعب×(طول الضلع)².
يُعوض طول الضلع= 1.5ملم في القانون، لتصبح:
مساحة المُكعب= 6×(5)².
مساحة المُكعب= 6×(1.5)².
مساحة الصندوق= 6×2.25.
إذن: مساحة المُكعب =13.5سم².


  • مثال (3): خزان ماء مكعب الشكل طول حرفه يساوي 3.5 م، احسب مساحته الجانبية.[٢]

الحل:

قانون المساحة الجانبية لللمكعب= عدد الأوجه الجانبية× (طول الحرف)².
المساحة الجانبية للخزان= 4× (3.5)².
المساحة الجانبية للخزان= 4×12.25
إذن المساحة الجانبية للخزان تساوي 49 م².


  • مثال(4): مجسم مُكعب الشكل مساحته تساوي 64سم²، احسب طول حرفه.[٢]

الحل:

قانون المساحة الكلية للمكعب= عدد الأوجه الجانبية× (طول الحرف)².
المساحة الكلية للمكعب = 4× (طول الحرف)².
تُعوض قيمة المساحة في القانون، ليُصبح:
64 = 4× (طول الحرف)²، وبقسمة طرفي المعادلة على العدد 4 تُصبح المعادلة:
16=(طول الحرف)²، وبأخد الجذر التربيعي للطرفين:
4 سم= طول الحرف.


بعض المجسمات الأخرى

هنالك مجسمات أخرى متعددة الوجوه وثلاثية الأبعاد غير المُكعب كالمتوازي المستطيلات والهرم والأسطوانة وغيرها من المجسمات.هي مجسّم ذو ثلاثة أبعاد، يتكون من قاعدتين دائريتين متقابلتين ومتطابقتين، حيث تنتج الأسطوانة عن إلتفاف المستطيل حول أحد أضلاعه بدورةً كاملة.[٥][٦]

  • متوازي المستطيلات: هوأحدى المجسمات التي تحتوي على ستة أوجه أربعة منها وجوه جانبية واثنين يمثلان القاعدة، وما يميز متوازي المستطيلات أن وجوهه الجانبية عبارة عن مستطيلات.
  • الهرم: هو مجسم فيه قاعدة واحدة فقط على شكل مضلع ثلاثي، رباعي، خماسي،....إلخ، أما جوانبه فهي تُمثل مثلثات تلتقي مع بعضها البعض عند نقطة في أعلى المُجسم تُسمى رأس الهرم.
  • الأسطوانة: هي إحدى المجسمات التي تتكون من قاعدتين دائريتين، أما جوانبه المنحنية فهي عبارة عن إنحناء ودوران المستطيل حول أحد أضلاعه.


فيديو عن كيفية حساب حجم المكعب

للتعرف على كيفية حساب حجم المكعب شاهد الفيديو.


المراجع

  1. رجائي سميح العصار، ‏جواد يونس أبو هليل،‏محمد زهير أبو صبيح (2013)، مدخل إلى أولمبياد ومسابقات الرياضيات (الطبعة الأولى)، الرياض: جامعة الملك فهد للبترول والمعادن عمادة البحث العلمي_ مكتبة العبيكان، صفحة 63-88. بتصرّف.
  2. ^ أ ب ت ث ج ح خ د "Cube Hexahedron", www.mathsisfun.com, Retrieved 29-11-2017. Edited.
  3. "cube", www.factmonster.com, Retrieved 29-11-2017. Edited.
  4. ^ أ ب "How to Find the Surface Area of a Cube", www.study.com, Retrieved 29-11-2017. Edited.
  5. شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 130-140 رياضيات8 اسم الملف(128-155)، جزء الأول. بتصرّف.
  6. رجائي سميح العصار، ‏جواد يونس أبو هليل،‏محمد زهير أبو صبيح (2013)، مدخل إلى أولمبياد ومسابقات الرياضيات (الطبعة الأولى)، الرياض: جامعة الملك فهد للبترول والمعادن عمادة البحث العلمي_ مكتبة العبيكان، صفحة 80-90، جزء الأول. بتصرّف.