قوانين شبه المنحرف

كتابة - آخر تحديث: ١٢:٢١ ، ١ أبريل ٢٠٢٠
قوانين شبه المنحرف

محيط شبه المنحرف

هناك مجموعة من القوانين لإيجاد محيط شبه المنحرف بيانها كالآتي:

  • شبه المنحرف مختلف الأضلاع: أي أن أضلاعه الأربعة تكون مختلفة في الطول، ويمكن إيجاد محيطه باستخدام القوانين الآتية:
    • القانون الأول: محيط شبه المنحرف = مجموع أطوال أضلاعه؛ فمثلاً لو كان هناك شبه منحرف أ ب جـ د طول ضلعيه 4سم، و7سم، وطول قاعدتيه 12سم، و15سم، فإن محيطه هو: المحيط = 4+7+12+15، ويساوي 38سم.[١]
    • القانون الثاني: محيط شبه المنحرف= القاعدة العلوية+القاعدة السفلية+الارتفاع×((1/جا زاوية القاعدة اليمنى) + (1/جا زاوية القاعدة اليسرى))، وبالرموز: محيط شبه المنحرف= أ+ب+ع×((1/جاس) + (1/جاص))؛ حيث:[٢]
      • أ، وب: هما قياس القاعدتين المتوازيين في شبه المنحرف.
      • ع: هو ارتفاع شبه المنحرف
      • س: هي الزاوية اليمنى المحصورة بين القاعدة السفلية، والساق الأولى.
      • ص: هي الزاوية اليسرى المحصورة بين القاعدة السفلية، والساق الثانية.
  • شبه المنحرف القائم: وهو شبه منحرف الذي يضم زاويتان قائمتان، ويمكن إيجاد محيط شبه المنحرف القائم من خلال العلاقة الآتية: المحيط = أ+ع12+ الجذر التربيعي للقيمة (أ²+(ع2 - ع1؛ حيث:[٣]
    • أ: هي طول أحد أضلاع شبه المنحرف، وهو الضلع الذي يصنع زاوية قائمة مع الضلعين الآخرين.
    • ع1، ع2: طول الضلعين المتوازيين لشبه المنحرف.
  • شبه المنحرف متساوي الساقين: محيط شبه المنحرف متساوي الساقين= أ+ب+2جـ؛ حيث:[٤]
    • أ، ب: هما طول القاعدتين العلوية، والسفلية
    • جـ: هي طول الضلعين غير المتوازيين أو (الساقين) المتساويين في الطول في شبه المنحرف.
فمثلاً لو كان هناك شبه منحرف منحرف متساوي الساقين طول قاعدته العلوية، والسفلية على الترتيب 5سم، 10سم، وطول ضلعيه غير المتوازيين، والمتساويين 7سم، فإن محيطه هو: محيط شبه المنحرف = 5 +10+ (2×7)، ويساوي 29سم.[٤]


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط شبه المنحرف يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون محيط شبه المنحرف.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط شبه المنحرف القائم يمكنك قراءة المقال الآتي: محيط شبه المنحرف القائم.


مساحة شبه المنحرف

هناك مجموعة من القوانين التي يمكن من خلالها إيجاد المساحة لشبه المنحرف بيانها كالآتي:

  • القانون الأول: باستخدام طول قاعدتي شبه المنحرف، وارتفاعه، وهو: مساحة شبه المنحرف=(الارتفاع/2)(القاعدة الأولى+القاعدة الثانية)، وبالرموز: مساحة شبه المنحرف=ع/2 × (ق1 + ق2)؛ حيث:[٥]
    • ع: ارتفاع شبه المنحرف.
    • ق2: قاعدة شبه المنحرف السفلية.
    • ق1: قاعدة شبه المنحرف العلوية.
    • فمثلاً لو كان هناك شبه منحرف ارتفاعه 5سم، وطول قاعدتيه المتوازيتين 4سم، و10سم، فإن مساحته هي: المساحة = (5/2)×(4+10)، وتساوي 35سم2.[٥]
  • القانون الثاني: إيجاد المساحة باستخدام أطول أضلاع شبه المنحرف الأربعة دون الارتفاع، وتُعرف هذه الصيغة باسم صيغة هيرون (Heron's formula)، وهي:
    • مساحة شبه المنحرف = (أ+ب)/(|أ - ب|)×الجذر التربيعي للقيمة ((س - أ) × (س - ب) × (س - أ - جـ) × (س - أ - د))؛ حيث:[٦]
    • أ، ب: طول قاعدتي شبه المنحرف العلوية، والسفلية
    • جـ، د: طول ضلعي شبه المنحرف غير المتوازيين.
    • س: يعرف بنصف محيط شبه المنحرف، ويساوي: (أ + ب + جـ + د)/2.
  • القانون الثالث: عند معرفة طول الخط المتوسط والارتفاع يمكن التعبير عن القانون الأول كما يأتي: مساحة شبه المنحرف=طول الخط المتوسط×الارتفاع؛ حيث إن الخط المتوسط هو الخط الواصل بين منتصفي ساقي شبه المنحرف، ويساوي: الخط المتوسط=(طول القاعدة الأولى+طول القاعدة الثانية)/2.[٧]


  • أمثلة على مساحة شبه المنحرف:
    • المثال الأول: ما هي مساحة شبه المنحرف متساوي الساقين الذي طول قاعدتيه السفلية، والعلوية 9سم، و5سم على التربيب، وطول إحدى ضلعيه الغير متوازيين، والمتساويين 4سم، علماً أن ارتفاع شبه المنحرف يصنع مع قاعدته مثلثاً قائم الزاوية، وقياس زاويته السفلية 60 درجة؟[٨]
    • الحل: مساحة شبه المنحرف = 1/2×ع×(ق1+ق2).
    • لإيجاد ارتفاع شبه المنحرف الذي يشكّل ارتفاع المثلث القائم أيضاً، يمكن استخدام قانون جيب الزاوية، وهو: جا(الزاوية)=الضلع المقابل/الوتر، ومنه جا(60)=الارتفاع/4= 0.866، وبالتالي فإن: الارتفاع= 3√2.
    • مساحة شبه المنحرف = 1/2 × 3√2 ×(9+5)، وبالتالي فإن مساحة شبه المنحرف = 3√14سم2.


    • المثال الثاني: ما هي مساحة شبه المنحرف الذي ارتفاعه 10سم، وطول قاعدتيه 16سم، و12سم؟[٨]
    • الحل: مساحة شبه المنحرف= 1/2×ع×(ق1 + ق2)، وبالتالي فإن المساحة:
      • مساحة شبه المنحرف = 1/2×10×(12+16)= 1/2×10×28= 140سم2.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة شبه المنحرف يمكنك قراءة المقال الآتي: مساحة الشبه المنحرف.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة شبه المنحرف القائم يمكنك قراءة المقال الآتي: مساحة شبه المنحرف القائم.


ارتفاع شبه المنحرف

يمكن تعريف الارتفاع بأنه القطعة المستقيمة الواصلة بين أية نقطة على أحد ضلعي شبه المنحرف المتوازيين (أي إحدى قاعدتيه) إلى القاعدة المقابلة لها بحيث تصنع زاوية قائمة معها، وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن رسم عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة التي تعبّر عن الارتفاع في شبه المنحرف،[٩] وهناك عدة قوانين يمكن من خلالها إيجاد ارتفاع شبه المنحرف، وهي:

  • الارتفاع= (2×مساحة شبه المنحرف)/(مجموع طول القاعدتين)، وبالرموز: ع=(2×م)/(ق1 + ق2)؛ حيث:[١٠]
    • م: مساحة شبه المنحرف
    • ق1، وق2: قاعدتا شبه المنحرف المتوازيتان.
    • ع: ارتفاع شبه المنحرف.
  • ع= جـ×جاس، أو ع=د×جاص؛ حيث:[١١]
    • س، ص: هما زوايا القاعدة السفلية
    • جـ، د: هما طول الضلعين الغير متوازيين في شبه المنحرف؛ ففي حالة اختيار إحدى زوايا القاعدة السفلية فيجب اختيار الضلع المجاور لهذه الزاوية عند التعويض بالقانون.
    • ع: ارتفاع شبه المنحرف.


مثال: ما هو ارتفاع شبه المنحرف أ ب جـ د متساوي الساقين إذا كان طول قياس إحدى زوايا القاعدة (جـ) 50 درجة، وطول إحدى ضلعيه الغير متوازيين (ب جـ) 4 وحدات؟[١١]
  • الحل: ارتفاع شبه المنحرف= طول (ب جـ) × جا(جـ)، وبالتالي:
    • ارتفاع شبه المنحرف = 4×جا(50)= 3.06 وحدة.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول ارتفاع شبه المنحرف يمكنك قراءة المقال الآتي: ارتفاع شبه المنحرف.


أقطار شبه المنحرف

يمكن تعريف القطر بأنه القطعة المستقيمة التي تربط بين رأسين متقابلين في شبه المنحرف؛ أي بين الرأس، والرأس المقابل له،[١٢] ويمكن إيجاد قطر شبه المنحرف من خلال القوانين الآتية:

  • في شبه المنحرف (دهـ وي)، طول القطر (هـ ي)= الجذر التربيعي للقيمة (أ²+د²-2×أ×د×جتا(و))، وطول القطر (دو)= الجذر التربيعي للقيمة (ب²+جـ²-2×ب×جـ×جتا(ي))؛ حيث:[١٢]
    • (هـ ي)، (دو): هما قطرا شبه المنحرف (دهـ وي).
    • أ، جـ: هما طول الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف؛ حيث: أ: طول الضلع الأيسر، جـ: طول الضلع الأيمن.
    • ب: طول القاعدة العلوية لشبه المنحرف.
    • د: طول القاعدة السفلية لشبه المنحرف.
    • و: هي الزاوية المحصورة بين القاعدة د، والضلع أ.
    • ي: هي الزاوية المحصورة بين القاعدة د، والضلع جـ.
  • ن²+ هـ² = أ²+ جـ²+(2×د×ب)؛ حيث:[١٣]
    • ن، وهـ : هما قطرا شبه المنحرف.
    • أ، جـ: هما طول الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف؛ حيث: أ: طول الضلع الأيسر، جـ: طول الضلع الأيمن.
    • ب: طول القاعدة العلوية لشبه المنحرف.
    • د: طول القاعدة السفلية لشبه المنحرف.


طول الخط المتوسط لشبه المنحرف

يعرف الخط المتوسط لشبه المنحرف بالوسيط، وهو الخط الواصل بين نقطة المنتصف لكل من الضلعين غير المتوازيين، ويكون موازي للقاعدتين المتوازيتين، ويساوي المتوسط الحسابي لطول كل من القاعدتين،[١٤] ويمكن حسابه باستخدام القانون الآتي: طول الخط الوسيط= 1/2×(مجموع طول القاعدتين).، وذلك كما في المثالين الآتيين:

  • إذا كان طول الخط الوسيط لشبه المنحرف 11سم، وطول إحدى قاعدتيه 15سم، جد طول القاعدة الأخرى.
    • باستخدام القانون: طول الخط الوسيط= 1/2×(مجموع طول القاعدتين)، ينتج أن: 11×2=(15+القاعدة الثانية)، وبطرح 15 من الطرفين ينتج أن: طول القاعدة الثانية=7سم.
  • احسب طول الخط الوسيط لشبه المنحرف الذي يبلغ طول قاعدتيه 7سم، 2سم.
    • باستخدام القانون: طول الخط الوسيط= 1/2×(مجموع طول القاعدتين)، ينتج أن: طول الخط الوسيط=1/2×(7+2)=4.5سم.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول شبه المنحرف يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث عن شبه المنحرف.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول خصائص شبه المنحرف يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص الشبه منحرف.


فيديو عن شبه المنحرف خصائصه ومساحته

للتعرف حول المزيد شاهد الفيديو:[١٥]


المراجع

  1. "Perimeter of a Trapezoid Formula", byjus.com, Retrieved 29-3-2020. Edited.
  2. "Area and Perimeter of a Trapezoid", www.efunda.com, Retrieved 29-3-2020. Edited.
  3. "Right Trapezoid", mathworld.wolfram.com, Retrieved 29-3-2020. Edited.
  4. ^ أ ب "How to Find the Perimeter of an Isosceles Trapezoid", study.com, Retrieved 29-3-2020. Edited.
  5. ^ أ ب "perimeter-of-a-trapezoid-formula", www.vedantu.com, Retrieved 29-3-2020. Edited.
  6. "Area Formulas for Geometric Figures", onlinemschool.com, Retrieved 29-3-2020. Edited.
  7. "TRAPEZOID", /www.richmediacs.com, Retrieved 1-4-2020. Edited.
  8. ^ أ ب "How to find the area of a trapezoid", www.moomoomath.com, Retrieved 29-30-2020. Edited.
  9. "The Trapezoid ", www.math.uh.edu, Retrieved 29-3-2020. Edited.
  10. "Trapezoid formula", byjus.com, Retrieved 29-3-2020. Edited.
  11. ^ أ ب "Properties of a Trapezoid", www.moomoomath.com, Retrieved 29-3-2020. Edited.
  12. ^ أ ب "Trapezoid Given its Bases and Legs", www.analyzemath.com, Retrieved 29-3-2020. Edited.
  13. "Trapezoids", byjus.com, Retrieved 9-3-2020. Edited.
  14. "Median and Mid-Segment of a Trapezoid", www.onlinemathlearning.com, Retrieved 1-4-2020. Edited.
  15. فيديو عن شبه المنحرف خصائصه ومساحته.