قوانين شبه المنحرف

قوانين شبه المنحرف

قانون حساب مساحة شبه المنحرف

يُعتبر شبه المنحرف (بالإنجليزية: Trapezoid) شكل هندسي رباعي الأضلاع، تتوازى فيه أزواج الأضلاع المتقابلة،[١] ويُمكننا حساب مساحة شبه المُنحرف بواسطة عدة قوانين أكثرها استخدامًا كالآتي:[١]

القانون الأول:

 قانون مساحة شبه المنحرف = (الارتفاع /2) × (طول القاعدة الأولى + طول القاعدة الثانية)
 وبالرموز:

م = (ع /2) × (ق1 + ق2)

حيث أنّ:[١]

  • م: مساحة شبه المنحرف.
  • ع: ارتفاع شبه المنحرف.
  • ق1: قاعدة شبه المنحرف السفلية.
  • ق2: قاعدة شبه المنحرف العلوية.

القانون الثاني: يُستخدم القانون الثاني لحساب مساحة شبه المنحرف القائم (بالإنجليزية: Right Trapezoid)؛ وهو كالآتي:[٢]

مساحة شبه المنحرف القائم = ½ × (مجموع القاعدتين) × الارتفاع

وبالرموز:

م = ½ × (ق1+ق2) × ع

حيث أنّ:[٣]

  • م: مساحة شبه المنحرف.
  • ق1: قاعدة شبه المنحرف السفلية.
  • ق2: قاعدة شبه المنحرف العلوية.
  • ع: ارتفاع شبه المنحرف.


قانون حساب محيط شبه المنحرف

يُمكننا حساب محيط شبه المُنحرف بواسطة عدة قوانين كالآتي:

  • القانون الأول: لحساب مُحيط شبه المنحرف القائم يُستخدم القانون الآتي:[٣]

المحيط = الضلع القائم + القاعدة الأولى + القاعدة الثانية + الجذر التربيعي للقيمة (الضلع القائم² + (القاعدة الثانية - القاعدة الأولى)²)

ورمزًا:

محيط شبه المنحرف= أ+ع12+ (أ²+(ع2 - ع1)² )√

بحيث أنّ:[٢]

  • أ: هي طول الضلع القائم على الضلعين الآخرين.
  • ع1: طول القاعدة الأولى لشبه المنحرف.
  • ع2: طول القاعدة الثانية لشبه المنحرف.

القانون الثاني: لحساب مُحيط شبه المنحرف الذي تكون أضلاعه مختلفة الطول بالقانون الآتي:[٤]

محيط شبه المنحرف = مجموع أطوال أضلاعه

أو بالمعادلة الآتية:

المحيط = القاعدة العلوية + القاعدة السفلية + الارتفاع × ((1/ جا زاوية القاعدة اليمنى) + (1/جا زاوية القاعدة اليسرى))

ورمزًا:

محيط شبه المنحرف= أ + ب + ع ×((1/ جا س) + (1 / جا ص))

حيث أنّ:[٤]

  • أ، ب: قياس الضلعين المتقابلين والمتوازيين في شبه المنحرف (القاعدتيْن).
  • ع: ارتفاع شبه المنحرف.
  • س: الزاوية المحصورة ما بين القاعدة السفلية وساق شبه المنحرف الأولى.
  • ص: الزاوية المحصورة ما بين القاعدة السفلية وساق شبه المنحرف الثانية.

القانون الثالث: لحساب شبه المنحرف المتساوي الساقين، يُستخدم قانون محيط شبه المنحرف الآتي:

محيط شبه المنحرف = طول القاعدة العلوية + طول القاعدة السفلية + مجموع طول الضلعين المتساويين في الطول

ورمزًا:

محيط شبه المنحرف متساوي الساقين= أ+ب+2جـ

حيث أنّ:[٥]

  • أ: طول القاعدة العلوية.
  • ب: طول القاعدة السفلية.
  • جـ: طول الضلعين المتساويين في الطول في شبه المنحرف.

مثال: لو كان هناك شبه منحرف متساوي الساقين طول قاعدته العلوية، والسفلية على الترتيب 5سم، 10سم، وطول ضلعيه غير المتوازيين، والمتساويين 7سم، فإن محيطه هو:

  • محيط شبه المنحرف = 5 +10+ (2×7)، ويساوي 29سم.


يُمكن حساب محيط شبه المنحرف وفقًا لثلاثة قوانين والتي تختلف باختلاف نوع الشكل، وهي:

  • المحيط = أ+ع12+ (أ²+(ع2 - ع1)² )√ لشبه المنحرف القائم.
  • المحيط = أ + ب + ع ×((1/ جا س) + (1 / جا ص)) لشبه المنحرف الذي تختلف أضلاعه في الطول.
  • المحيط = أ+ب+2جـ لشبه المنحرف مستوي الساقين.


قانون حساب ارتفاع شبه المنحرف

ارتفاع شبه المنحرف هو القطعة المستقيمة الواصلة بين أية نقطة فيه والقاعدة المقابلة لها بحيث تصنع زاوية قائمة، وأهم قوانين يمكن بواسطتها إيجاد ارتفاع شبه المنحرف وفق ما يأتي:

  • القانون الأول:

الارتفاع = (2×مساحة شبه المنحرف)/(مجموع طول القاعدتين)

وبالرموز:

ع=(2×م)/(ق1 + ق2)

حيث أنّ:[٦]

  • م: مساحة شبه المنحرف.
  • ق1، ق2: قاعدتا شبه المنحرف المتوازيتان.
  • ع: ارتفاع شبه المنحرف.

القانون الثاني:

الارتفاع = طول أحد الضلعين الغير متوازيين في شبه المنحرف × جا أحد زوايا القاعدة السفلية

وبالرموز:

ع = جـ × جا س، أو ع = د × جا ص

حيث أنّ:[٧]

  • ع: ارتفاع شبه المنحرف.
  • س، ص: زوايا القاعدة السفلية.
  • جـ، د: طول الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف.


قانون حساب طول خط منتصف شبه المنحرف

خط منتصف شبه المنحرف هو الخط الواصل بين نقطة المنتصف لكل من الضلعين غير المتوازيين، ويساوي المتوسط الحسابي لطول كل من القاعدتين، ويُحسب وفق المعادلة الآتية:[٨]

طول خط منتصف شبه المنحرف = ½ ×(مجموع طول القاعدتين)

وبالرموز:

طول خط منتصف شبه المنحرف = ½ × (أ + ب)

حيث أنّ:

  • أ: طول القاعدة العلوية.
  • ب: طول القاعدة السفلية.


أمثلة على قوانين شبه المنحرف

تُساعد الأمثلة التوضيحية الآتية الطالب أو الباحث الذي يسعى لإيجاد الحل السليم للأسئلة اعتماداً على خصائص وقوانين شبه المنحرف المختلفة:


مساحة شبه المنحرف بمعرفة ارتفاعه وطول قاعدتيه

جد مساحة شبه المنحرف الذي ارتفاعه 8 سم، وطول قاعدته العليا 10 سم، وقاعدته السفلى 15 سم؟

  • نستخدم القانون: مساحة شبه المنحرف = (ع /2) × (ق1 + ق2).
  • م = (8/2) × (10 + 15)
  • م = 4 × 25 = 100 سم².


مساحة شبه المنحرف القائم الزاوية

جد مساحة شكل شبه منحرف قائم الزاوية ارتفاعه 6 سم، وطول قاعده العليا 7 سم، وقاعدته السفلى 9 سم؟

  • تم توضيح السؤال بأن الشكل شبه منحرف قائم الزاوية، فيُستخدم مباشرةً قانون مساحة شبه المنحرف قائم الزاوية: مساحة شبه المنحرف = ½ × (ق1 + ق2) × ع.
  • م = ½ × (9 + 7) × 6
  • م = ½ × 15 × 6
  • م = 45 سم².


محيط شبه المنحرف بمعرفة الضلع القائم على الضلعين الآخرين والضلعين المتوازيين

جد محيط شبه المنحرف القائم إذا علمت أنّ طول الضلع القائم هو 7 سم²، وطول القاعدة الأولى 11 سم² وطول القاعدة الثانية 14 سم².

  • يتم تطبيق القانون الآتي: م = أ+ع1+ع2+ (أ²+(ع2 - ع1)²) √،
  • وبتعويض القيم: م = 7 + 11 + 14 + (49 + (14-11)² √ ويساوي 32 + (49 + 9)√ ويساوي تقريبًا 39.61 سم.


محيط شبه المنحرف بمعرفة قياس الضلعين المتقابلين والمتوازيين وزوايا قاعدته وارتفاعه

شبه منحرف فيه طول الضلعين المتوازيين 6،8 سم، وارتفاعه يساوي 4 سم، وقياس زاويته المحصورة ما بين القاعدة السفلية وساق شبه المنحرف الأولى يساوي 60 درجة، وقياس زاويته المحصورة ما بين القاعدة السفلية وساق شبه المنحرف الثانية تساوي 30 درجة، جد محيط شبه المنحرف؟

  • يُستخدم القانون: محيط شبه المنحرف= أ + ب + ع ×((1/ جا س) + (1 / جا ص))
  • محيط شبه المنحرف= 8 + 6 + 4 ×((1/ جا 60) + (1/ جا 30)).
  • محيط شبه المنحرف= 14 + 4 ×((1/ 0.86) + (1 / ½)).
  • محيط شبه المنحرف= 14 + 4 ×(1.16 + 2).
  • محيط شبه المنحرف= 14 + 12.64
  • محيط شبه المنحرف= 26.64 سم.


ارتفاع شبه المنحرف بمعرفة مساحته وطول قاعدتيه

مساحة شبه منحرف 50 سم²، وطول قاعدته العليا 7 سم، وقاعدته السفلى 9 سم، جد ارتفاعه؟

  • نستخدم قانون ارتفاع شبه المنحرف: ع=(2×م)/(ق1 + ق2).
  • ع = (2×50)/(7+ 9).
  • ع = 100/ 16.
  • ع = 6.25 سم.


ارتفاع شبه المنحرف بمعرفة أحدى زوايا القاعدة السفلية وطول ضلع غير متوازي

شبه منحرف زاويتي قاعدته تساويان 30 درجة، وطول أحد أضلاعه 8 سم، فما ارتفاعه؟

  • نستخدم القانون: ع = جـ × جا س، أو ع = د × جا ص.
  • ع = 8 × جا 30.
  • ع = 8 × ½
  • ع = 4 سم.


إيجاد طول منتصف شبه المنحرف بمعرفة طول قاعدتيه

المثال الأول: جد طول منتصف شبه المنحرف الذي يبلغ طول قاعدته السفلية 8 سم والعلوية 5 سم؟

  • نستخدم القانون: خط منتصف شبه المنحرف = ½ × (أ + ب).
  • خط منتصف شبه المنحرف = ½ × (8 + 4).
  • خط منتصف شبه المنحرف = ½ × 12
  • خط منتصف شبه المنحرف = 6 سم.

المثال الثاني: شبه منحرف طول منتصفه 8 سم، وطول قاعدته السفلية 12 سم، جد طول قاعدته العلوية؟

  • نستخدم القانون: خط منتصف شبه المنحرف = ½ × (أ + ب).
  • لكن نريد إيجاد القيمة ب، لذى يتحول شكل القانون لما يأتي:
  • ب = (خط المنتصف × 2) - أ.
  • ب = (8 × 2) - 12.
  • ب = 16 - 12
  • طول قاعدته العلوية = 4 سم.


شبه المنحرف هو أحد الأشكال الهندسية رباعية الأضلاع، وفيه كُل زاويتين متجاورتين مجموعهما 180 درجة، بينما مجموع زواياه الأربعة الرئيسية 360 درجة، ولشبه المنحرف ثلاث أشكال رئيسية هي: شبه المنحرف قائم الزاوية، وشبه المنحرف متساوي الساقين، شبه المنحرف غير متساوي الأضلاع، ولكل منها القوانين الخاصة لحساب المساحة، أو المحيط، أو الطول، أو طول المنتصف.

المراجع

  1. ^ أ ب ت "Perimeter of a Trapezoid Formula - Trapezoid Area Formula"، Vedantu، اطّلع عليه بتاريخ 18/8/2021. Edited.
  2. ^ أ ب "Right Trapezoid"، Math world، اطّلع عليه بتاريخ 19/8/2021. Edited.
  3. ^ أ ب "Right Trapezoid", Mathworld, Retrieved 19/8/2021. Edited.
  4. ^ أ ب "Perimeter Of A Trapezoid Formula"، Efunda، اطّلع عليه بتاريخ 19/8/2021. Edited.
  5. Alida D., " How to Find the Perimeter of an Isosceles Trapezoid", Study, Retrieved 19/8/2021. Edited.
  6. "Trapezoid formula", byjus.com, Retrieved 29-3-2020. Edited.
  7. "Properties of a Trapezoid ", Moomoomath, Retrieved 19/8/2021. Edited.
  8. "Median and Mid-Segment of a Trapezoid", www.onlinemathlearning.com, Retrieved 1-4-2020. Edited.
518 مشاهدة
Top Down