قانون محيط شبه المنحرف

قانون محيط شبه المنحرف
يمكن إيجاد محيط شبه المنحرف عن طريق مجموعة من القوانين، وهي:[١]


حساب محيط شبه المنحرف من أطوال أضلاعه

محيط شبه المنحرف يساوي مجموع أطوال أضلاعه، وبالرموز: محيط شبه المنحرف = أ + ب + جـ + د؛ حيث:[٢]

  • أ، ب،ج، د: أضلاع شبه المنحرف.


حساب محيط شبه المنحرف من ارتفاعه

محيط شبه المنحرف= القاعدة العلوية+القاعدة السفلية+الارتفاع×((1/جا زاوية القاعدة اليمنى) + (1/جا زاوية القاعدة اليسرى)). [٣]


وبالرموز: محيط شبه المنحرف= أ+ب+ع×((1/جاس) + (1/جا ص))، حيث:[٣]

  • أ، وب: هما قياس الضلعين المتقابلين، والمتوازيين في شبه المنحرف.
  • ع: ارتفاع شبه المنحرف
  • س، ص: هما الزاويتان المحصورتان بين القاعدة السفلية، والضلعين غير المتوازيين.


حساب محيط شبه المنحرف متساوي الساقين

يمكن حساب محيط شبه المنحرف متساوي الساقين باستخدام القانون الخاص الآتي: محيط شبه المنحرف= أ+ب+2جـ، حيث:[٤]


حساب محيط شبه المنحرف القائم

وهو شبه منحرف فيه زاويتان قائمتان، ويمكن إيجادمحيط شبه المنحرف القائم من خلال العلاقة الآتية:

  • المحيط = أ+ع12+ الجذر التربيعي للقيمة (أ²+(ع2 - ع1؛ حيث:[٥]
  • أ: هي طول أحد أضلاع شبه المنحرف، وهو الضلع القائم على الضلعين الآخرين.
  • ع1: طول أحد الضلعين المتوازيين لشبه المنحرف (الضلع الأول).
  • ع2: طول أحد الضلعين المتوازيين لشبه المنحرف (الضلع الثاني).


حساب محيط شبه المنحرف باستخدام القانون العام

يمكن أيضاً حساب محيط شبه المنحرف باستخدام كل من نظرية فيثاغورس، والقانون العام لمحيط شبه المنحرف، في حال معرفة الارتفاع، وطول القاعدة العلوية، وطولي الضلعين غير المتوازيين؛ فمثلاً لو كان هناك شبه منحرف ارتفاعه 9سم، وطول قاعدته العلوية 6سم، وطول ضلعيه 6سم، والضلع الآخر 6سم فما هو محيطه:[٦]

  • لحل هذا السؤال يتم تقسيم شبه المنحرف إلى مثلثين قائمي الزاوية، ومستطيل، عن طريق رسم عمود من الزاويتين العلويتيتن لشبه المنحرف، وإسقاطهما نحو القاعدة، وبالتالي فإن جزءاً من القاعدة السفلية يساوي في طوله القاعدة العلوية، ويساوي 6سم، أما الجزأين الآخرين من القاعدة السفلية، والذي يمثّل كل منهما قاعدة المثلث قائم الزاوية، فيمكن حسابهما عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس، وذلك باستخدام طول كل من الضلعين غير المتوازيين في كل جهة من شبه المنحرف، والارتفاع؛ حيث: مربع الضلع الاول غير المتوازي لشبه المنحرف=مربع الارتفاع+مربع قاعدة المثلث قائم الزاوية؛ ليكون قياسهما بعد تطبيق النظرية: قياس القاعدة الأولى للمثلث القائم الأول= الجذر التربيعي للرقم 45، وقياس القاعدة الثانية للمثلث القائم الثاني=الجذر التربيعي للرقم 45، وبالتالي فإن القاعدة السفلية كاملة= 45√2+6.
  • بعد إيجاد طول القاعدة السفلية يمكن إيجاد محيط شبه المنحرف باستخدام قاعدة مجموع أطوال أضلاعه، وذلك كما يأتي:
    • محيط شبه المنحرف= طول ضلعي شبه المنحرف + طول القاعدة العلوية + طول القاعدة السفلية، ومنه: محيط شبه المنحرف= (45√2+6)+6+6+6=24+45√2سم.

ملاحظة: يمكن في بعض الأحيان الاستعانة بقوانين جيب الزاوية وجيب تمامها، في حال معرفة قياس زوايا شبه المنحرف، لحساب طول الأضلاع المجهولة ثم حساب قيمة المحيط باستخدام القانون العام لشبه المنحرف.


أمثلة متنوعة حول محيط شبه المنحرف

فيما يأتي مجموعة من الأمثلة المتنوعة لحساب محيط شبه المنحرف:


حساب محيط شبه المنحرف بمعرفة أطوال أضلاعه

أوجد محيط شبه المنحرف إذا كانت أطوال أضلاعه تساوي 5 سم، 3 سم، 10 سم، 6 سم.

الحل:

  • محيط شبه المنحرف= مجموع أطوال أضلاعه
  • محيط شبه المنحرف= 5 +3+10+6
  • محيط شبه المنحرف= 24 سم


حساب محيط شبه المنحرف باستخدام قانون فيثاغورس

احسب محيط شبه المنحرف الذي تبلغ طول قاعدته العلوية 13 سم وطول قاعدته السفلية 19 سم، في حين يبلغ طول الضلع الصغير القائم على قاعدتيه 10 سم.


خطوات للحل:

  • يجب إيجاد طول الضلع القائم على قاعدتي شبه المنحرف، وذلك من خلال استخدام نظرية فيثاغورس.
  • تقسيم شبه المنحرف إلى مثلثين قائمي الزاوية وذلك من خلال رسم قطر شبه المنحرف، بحيث يكون ضلع مشترك بين المثلثين.
  • حساب طول هذا القطر بواسطة نظرية فيثاغورس، ومن ثم تعويض قيمته مرة أخرى عند تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث الثاني لإيجاد طول الإرتفاع وطول الضلع القائم فيه.


الحل:

الخطوة الأولى:

  • بعد تقسيم شبه المنحرف إلى مثلثين، يُعوض في قانون فيثاغورس الآتي:
  • (الوتر)2 = (طول الضلع الأول)2+(طول الضلع الثاني)2
  • (الوتر)2=(10)2+ (19)2
  • (الوتر)2= 100+ 361
  • (الوتر)2= 461
  • (الوتر)2√=461√
  • الوتر=21.47 سم


الخطوة الثانية:

  • نعوض هذه القيمة مرة أخرى في المثلث القائم الآخر من خلال نظرية فيثاغورس كالآتي:
  • (الوتر)2 = (طول الضلع الأول)2+(طول الضلع الثاني)2
  • نعوض المعطيات ضمن القانون السابق:
  • (21.47)2= (19)2+ (طول الضلع الثاني)2
  • (21.47)2= (19)2+ (طول الضلع الثاني)2
  • 460.96= 361+(طول الضلع الثاني)2
  • (طول الضلع الثاني)2 = 99.96
  • (طول الضلع الثاني)2√ =99.96√
  • طول الضلع الثاني=9.9 سم
  • يمثل الضلع الثاني قيمة ارتفاع شبه المنحرف (ع)، طول الضلع الثاني = ارتفاع شبه المنحرف = ع
  • ع = 9.9 سم


الخطوة الثالثة:

  • نعوض في قانون محيط شبه المنحرف الآتي:
  • محيط شبه المنحرف= مجموع أطوال أضلاعه
  • محيط شبه المنحرف= 9.9+ 13+ 10+19
  • محيط شبه المنحرف= 51.9 سم


حساب محيط شبه المنحرف من أطوال أضلاعه

احسب محيط شبه منحرف تبلغ مساحته 100 سم2 ، وطول قاعدته العلوية 10 سم، وطول قاعدته السفلية 15 سم، حيث يبلغ طول ضلعه غير القائم على قاعدتيه 8 سم.


الحل:

  • لحساب محيط شبه المنحرف يجب أولاً إيجاد طول الضلع القائم على قاعدتيه والذي يمثل الارتفاع (ع)، وذلك من خلال قانون مساحة شبه المنحرف كالآتي:
  • مساحة شبه المنحرف= 1/2 x (طول القاعدة العلوية+ طول القاعدة السفلية) x الارتفاع.
  • 100 = 1/2 x(15+10) xالارتفاع
  • 100= 12.5 x الارتفاع
  • 100 /12.5= الارتفاع
  • الارتفاع = 8 سم
  • ولحساب محيط شبه المنحرف نعوض في قانون المحيط كالآتي:
  • محيط شبه المنحرف = مجموع أطوال أضلاعه
  • محيط شبه المنحرف= 10+15+8+8
  • محيط شبه المنحرف= 41 سم


حساب محيط شبه المنحرف القائم

إذا كانت طول القاعدة السفلية لشبه المنحرف القائم تساوي 4 سم، وطول القاعدة العلوية 6 سم، فأوجد ارتفاعه ومحيطه إذا علمت أنّ مساحته تساوي 15 سم².


الحل:

  • لإيجاد الارتفاع نُطبق قانون مساحة شبه المنحرف كالآتي:
  • مساحة شبه المنحرف القائم = 1/2 × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع
  • 15 = 1/2 × (6+4) × الارتفاع
  • 15 = 1/2 × 10 × الارتفاع
  • الارتفاع = 3 سم.
  • لإيجاد المحيط نُطبق القانون الخاص لحساب محيط شبه المنحرف القائم:
  • محيط شبه المنحرف القائم= الارتفاع + طول القاعدة العلوية + طول القاعدة السفلية + الجذر التربيعي ((الارتفاع)²+(القاعدة السفلية-القاعدة العلوية)²).
  • محيط شبه المنحرف القائم= 3 + 6 + 4 + ((3)²+(4-6)²)√ .
  • محيط شبه المنحرف القائم= 13 + (9+4)√.
  • محيط شبه المنحرف القائم= 13 + (13)√.
  • محيط شبه المنحرف القائم= 13 + 3.6
  • محيط شبه المنحرف القائم= 16.6 سم.


حساب محيط شبه المنحرف من أطوال أضلاعه

إذا علمت أنّ طول قاعدتي شبه منحرف يبلغ على التوالي (13 سم، 11سم)، وتبلغ مساحته 36 سم2، وقياس الزاوية المحصورة بين القاعدة السفلية والضلع الغير قائم على قاعدتيه تساوي 45 درجة، أوجد محيط شبه المنحرف.


الحل:

  • لإيجاد ارتفاع شبه المنحرف نعوض في قانون مساحته الآتي:
  • مساحة شبه المنحرف= 1/2 x (طول القاعدة العلوية+ طول القاعدة السفلية) x الارتفاع.
  • 36= 1/2× ( 11+ 13) x الارتفاع
  • 36= 1/2 x( 24) x الارتفاع
  • 36=x12الارتفاع
  • الارتفاع = 3 سم
  • لحساب محيط شبه المنحرف يجب إيجاد طول الضلع غير القائم على القاعدتين، وذلك من خلال قانون جيب تمام الزاوية المحصورة بين القاعدة السفلية والضلع الغير قائم على قاعدتي شبه المنحرف كالآتي:
  • جيب تمام الزاوية= المقابل / الوتر
  • المقابل هنا يمثل ارتفاع شبه المنحرف ويساوي 3 سم.
  • نعوض المعطيات في القانون السابق :
  • جيب تمام (45) = 3 / الوتر
  • 0.52 =3 / الوتر
  • الوتر = 3 /0.52
  • الوتر= 5.7 سم
  • ولحساب محيط شبه المنحرف نعوض في القانون الآتي:
  • محيط شبه المنحرف= مجموع أطوال أضلاعه
  • محيط شبه المنحرف= 13+11+ 5.7 + 3
  • محيط شبه المنحرف= 32.7 سم


حساب محيط شبه المنحرف القائم

أوجد محيط شبه منحرف قائم الزاوية طول قاعدتيه تساوي على التوالي (10 سم، 6 سم)، حيث يبلغ ارتفاعه 4 سم.


الحل:

  • نعوض في قانون شبه المنحرف قائم الزاوية الآتي:
  • محيط شبه المنحرف قائم الزاوية = أ+ع12+ الجذر التربيعي للقيمة (أ²+(ع2 - ع1
  • المحيط= 4+ 10+6+ (²4 (10-6)²)√
  • المحيط= 20+ (16x16)√
  • المحيط = 20 + 256√
  • المحيط = 20+ 16
  • المحيط = 36 سم


حساب محيط شبه المنحرف متساوي الساقين

شبه منحرف متساوي الساقين أطوال قاعدتيه كالآتي (16 سم، 4 سم)، وطول ساقيه يبلغ 3 سم، أوجد محيطه.

الحل:

  • نعوض في قانون محيط شبه المنحرف المتساوي الساقين كالآتي:
  • محيط شبه المنحرف متساوي الساقين= أ+ب+2جـ
  • المحيط= 16+4+2×3
  • المحيط= 20+6
  • المحيط= 26 سم


حساب طول قاعدة شبه المنحرف بمعرفة محيطه

يباغ محيط شبه منحرف قائم 40 سم، إذا علمت أنّ ارتفاعه 6 سم، وطول قاعدته العلوية 14 سم، وطول ضلعه غير القائم على قاعدتيه يساوي 10سم، ما هو طول قاعدته السفلية؟


الحل:

  • لحساب محيط شبه المنحرف نعوض في القانون الآتي:
  • محيط شبه المنحرف= مجموع أطوال أضلاعه
  • 40= 14+6+10+ طول قاعدته السفلية
  • 40= 30+ طول قاعدته السفلية
  • طول قاعدته السفلية= 40-30
  • طول قاعدته السفلية= 10 سم


حساب محيط شبه المنحرف من ارتفاعه

شبه منحرف يبلغ قياس زوايا قاعدته اليمنى واليسرى على التوالي ( 45ْ،30ْ)، إذا علمت أنّ ارتفاعه يساوي 8 سم، وطول قاعدته العلوية يساوي 12 سم، وطول قاعدته السفلية يساوي 15 سم، أوجد محيطه.


الحل:

محيط شبه المنحرف= القاعدة العلوية+القاعدة السفلية+الارتفاع×((1/جا زاوية القاعدة اليمنى) + (1/جا زاوية القاعدة اليسرى)).

المحيط= 12+15+8 × ((1/جا 30ْ)+ (1/جا 45ْ))

المحيط= 27 + 8 × ((-1.01)+(1.17))

المحيط= 27 + 8 ×(0.15)

المحيط= 27 + 1.2

المحيط= 28.2 سم


حساب محيط شبه المنحرف القائم

قم بحساب محيط شبه منحرف قائم الزاوية يبلغ فيه طول قاعدته الأولى 22سم، وطول قاعدته الثانية 16سم، مع العلم أنّ ارتفاعه يساوي 8سم.


الحل:

  • لحساب محيط شبه المنحرف القائم الزاوية نعوض في القانون الآتي:
  • محيط شبه المنحرف قائم الزاوية = أ+ع12+ الجذر التربيعي للقيمة (أ²+(ع2 - ع1
  • محيط شبه المنحرف قائم الزاوية = 8+22+16 + (²8 (22-16)²)√
  • محيط شبه المنحرف قائم الزاوية = 46+ ( 64 (36))√
  • محيط شبه المنحرف قائم الزاوية = 46 + ( 2304)√
  • محيط شبه المنحرف قائم الزاوية = 46 + 48
  • محيط شبه المنحرف قائم الزاوية = 94 سم


فيديو عن شبه المنحرف خصائصه ومساحته

للتعرف حول المزيد شاهد الفيديو:[٧]

المراجع

  1. "How to Find the Perimeter of a Trapezoid", study.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
  2. ساجدة أبو صوي (11/1/2021)، "قانون محيط شبه المنحرف"، موضوع، اطّلع عليه بتاريخ 15/10/2021.
  3. ^ أ ب "Area and Perimeter of a Trapezoid", www.efunda.com, Retrieved 25-3-2020. Edited.
  4. "Isosceles Trapezoid", mathworld.wolfram.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
  5. "Right Trapezoid", mathworld.wolfram.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
  6. "How to Find the Perimeter of a Trapezoid", www.wikihow.com, Retrieved 26 -3-2020. Edited.
  7. فيديو عن شبه المنحرف خصائصه ومساحته.
460 مشاهدة
للأعلى للأسفل