كيفية حل معادلة

كتابة - آخر تحديث: ١٢:٥٠ ، ٣ يناير ٢٠١٩
كيفية حل معادلة

المعادلة

هي جملة رياضيّة فيها ثلاثة مكوّنات رئيسيّة: تعبير رياضيّ على اليمين، تعبير رياضيّ على اليسار، وإشارة مساواة بينهما. حيثُ يكون هذين التعبيرين متساويين في القيمة.[١] وللتمثيل على ذلك انظر التالي:

  • 1+3= 5-1: كل طرف تساوي قيمته النهائية (4).
  • 3×4= 6+6: كل طرف تساوي قيمته النهائية (12).
  • 16÷8= 12-10: كل طرف تساوي قيمته النهائية (2).
ملاحظة: إنّ الأمثلة السابقة كانت لتبسيط شرح الفكرة التي تقوم عليها المعادلة: طرفين قيمتهما متعادلة أو متساوية.


المعادلة الجبريّة

إنّ أكثر المعادلات شهرةً هي التي تحتوي على مجهول واحد أو أكثر، يرمز له برمز معين.[١] ويكون الهدف من المعادلة هو إيجاد قيمة المجهول،[١] أو وصف علاقته مع بقيّة المجاهيل في المعادلة.[٢] لذلك تسمّى هذه المعادلات بالجبريّة، إذ إنّ الجبر أحد فروع علم الرياضيات، الذي يُعنى بالتعبير عن المجاهيل برموز رياضية، وإيجاد قيمتها.[٢] فيما يلي مجموعة من الأمثلة على معادلات جبريّة:
  • س - 2 = 4
  • 5ص = 20
  • 8ل + 2 = 10
  • (9 + 2ك) × 8 = 64


حلول المعادلة

حلّ المعادلة يقتضي إيجاد القيمة الرياضية للمجهول الذي يجعل المعادلة صحيحة، أي يحافظ على توازنها، فيبقي كل طرف مساوياً للآخر.[٣] لننظر للمثال الأول في البند السابق: (س - 2 = 4)، إنّ حل هذه المعادلة يعني إيجاد قيمة (س) التي تبقي (س-2) مساوية لل (4). وبتعبير آخر: ما العدد الذي إن طرح منه (2)، كانت النتيجة (4)؟ إنّه (6) بالتأكيد. إذا العدد (6) يمثّل حل للمعادلة (س-2 = 4).[٣]


هل من الممكن وجود أكثر من حل واحد صحيح للمعادلة؟ نعم ممكن، ومثلُ ذلك في المعادلات التربيعة، مثلا: 2 = 4)، حيث إن كلاً من (2) و (-2) تحقق المعادلة.[٣]لكننا هنا سنركّز على حل أبسط أنواع المعادلات الخطية ولن نتطرّق للأنواع الأعقد.


خطوات حلّ المعادلة

إنّ الرياضيات علمٌ يمتازُ باتّباعهِ المنطق، ومع التدريب سيجدُ الشخص نفسه يطبّق المبادئ الرياضية المنطقية في حياته اليومية دون أن يدرك ذلك، وفي هذا البند سنبسّط حل المعادلة ونعاملها كلعبة أو أحجية قواعدها محددّة، وعند التخطيط لأي مهمّة، نحتاج لتحديد الهدف، وتحديد ما هي الأفعال المسموح بها للوصول لهذا الهدف. فمثلا: في لعبة كرة القدم، مرام كل فريق تسديد أكبر قدر ممكن من الأهداف في مرمى الخصم. ولكنّ بالطبع، حتى يتمّ احتساب الهدف، يجب أن تُتّبع القواعد الصحيحة في اللعبة، من عدد اللاعبين، ومدة اللعب، ومواصفات الكرة المستخدمة في اللعب، وكيفية التسديد، ... إلخ. وبالتأكيد هناك حكم المباراة الذي يقوم بالتأكيد أنّ الهدف الذي سُددّ قد استوفى جميع شروط اللعبة، فيحتسبه للفريق.[٤]


سنسقط هذه الخطوط العريضة المذكورة سابقاً على حل المعادلة: نحدد الهدف، وطريقة الحلّ، ونعرّف القوانين التي لا يجب مخالفتها، ونتأكّد أنّ الحلّ الذي وصلنا له صحيحٌ يحقّق المعادلة.


الهدف[٣]
الوصول لقيمة المجهول في المعادلة، وذلك بجعل المجهول على طرف لوحده، والقيمة على الطرف الآخر، أي على صورة: س= عدد معيّن


القوانين التي لا يجب مخالفتها
يجب المحافظة على توازن المعادلة، لذلك أي عملية تُجرى على طرف، يجب إجراؤها على الطرف الآخر. فإذا ضربنا الطرف اليمين بعدد ما، يجب ضرب الطرف الآخر بنفس العدد، وينطبق ذلك على كافة العمليات الرياضية.[٥]
مراعاة أولويات العمليات، من الأبعد للأقرب من المجهول: فنتخلّص من الأعداد المجموعة أو المطروحة للمجهول، ثمّ من المعاملات المضروب بها أو المقسوم عليها. ويكون التخلّص عبر إجراء عملية رياضية معاكسة، فمثلا إذا كان العدد مجموع للمجهول نطرحه من طرفي المعادلة، والعكس صحيح. وإذا كان العدد مضروب بالمجهول نقسمه على طرفي المعادلة، والعكس صحيح أيضاً.[٣]


التأكّد من صحّة الحل[٥]
بالعودة لتعريف حل المعادلة، فإنّه يمكن التأكد من صحة الجواب الذي وصلنا له عبر وضعه مكان المجهول في المعادلة، فإن حافظ على توازن المعادلة بأن بقي الطرف اليمين مساوياً لليسار فهو صحيح، وإلّا فلا


بما أنّ أفضل طريقة لتعميق فهم المبادئ الرياضية هي الممارسة، فالتدريبات التالية توضّح خطوات حل المعادلة عمليّا:[٣]


5ص = 20
1- نتخلّص من العدد (5) المضروب بالمجهول (ص) عبر قسمة طرفي المعادلة على نفس العدد (5)، فيصبح:

الطرف الأيمن: 5ص ÷ 5 = ص، والطرف الأيسر: 20 ÷ 5 = 4.

2- بعد تنفيذ الخطوة السابقة يصبح شكل المعادلة: ص = 4، أي أنّ قيمة المجهول ص تساوي 4، وهو المطلوب
3- التأكد من صحّة الحل: هل وضع الحلّ (4) في المعادلة 5ص = 20 يبقي المعادلة متوازنة؟ لنرَ:

5 × 4 =؟ 20 ← 20 = 20، إذاً نعم الحل صحيح


8ل + 2 = 10
سنراعي أولويات العمليات الرياضية، فسنتخلّص من العدد (2) المجموع للمجهول (ل)، ثمّ نتخلّص من معامل (ل) المضروب بها وهو (8)
1- نطرح (2) من طرفي المعادلة، فيصبح لدينا:

الطرف الأيمن: 8ل + 2 - 2 = 8ل + 0 = ، والطرف الأيسر: 10 - 2 = 8

2- بعد تنفيذ الخطوة السابقة يصبح شكل المعادلة: 8ل = 8، وبقسمة طرفي المعادلة على معامل (ل) يصبح لدينا:

ل = 1، أي أنّ قيمة المجهول ل تساوي 1، وهو المطلوب

3- التأكد من صحّة الحل: هل وضع الحلّ (1) في المعادلة 8ل + 2 = 10 يبقي المعادلة متوازنة؟ لنرَ:

8 × 1 + 2 =؟ 10 ← 10 = 10، إذاً نعم الحل صحيح


(9 + 2ك) × 8 = 64
سنراعي أولويات العمليات الرياضية، فسنتخلّص من العدد (8) المضروبة بالحد الجبري (9 + 2ك)، ثمّ نتخلّص من (9) المجموعة للمجهول (ك)، ثمّ نتخلّص من معامل (ك) المضروب بها وهو (2)
1- نقسم طرفي المعادلة على (8)، فيصبح لدينا:

الطرف الأيمن: (9 + 2ك) × 8 ÷ 8 = (9 + 2ك) × 1 = 9 + 2ك، والطرف الأيسر: 64 ÷ 8 = 8

2- نطرح (9) من طرفي المعادلة، فيصبح لدينا:

الطرف الأيمن: 9 + 2ك - 9 = 2ك + 0 = ، والطرف الأيسر: 8 - 9 = -1

3- بعد تنفيذ الخطوة السابقة يصبح شكل المعادلة: 2ك = -1، وبقسمة طرفي المعادلة على معامل (ك) يصبح لدينا:

ك = -0.5، أي أنّ قيمة المجهول ك تساوي -0.5، وهو المطلوب.

4- التأكد من صحّة الحل: هل وضع الحلّ (-0.5) في المعادلة (9 + 2ك) × 8 = 64 يبقي المعادلة متوازنة؟ لنرَ:

(9 + 2 × -0.5) × 8 =؟ 64 ← (9-1) × 8 =؟ 64 ← 8 × 8 =؟ 64 ← 64 = 64 ، إذاً نعم الحل صحيح


المراجع

  1. ^ أ ب ت "Equation", mathopenref, Retrieved 2018-12-19. Edited.
  2. ^ أ ب Robert Coolman (2015-3-26), "What Is Algebra?"، livescience, Retrieved 2018-12-19. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث ج ح "Solving Equations", mathsisfun, Retrieved 2018-12-19. Edited.
  4. " القانون الدولي لكرة القدم ( 17 مادة )"، kooora، اطّلع عليه بتاريخ 2018-12-20. بتصرّف.
  5. ^ أ ب "Solving One-Step Linear Equations: Adding & Subtracting", purplemath, Retrieved 2018-12-19. Edited.