كيف احسب مساحة المستطيل

كتابة - آخر تحديث: ٢٠:٥٥ ، ١٨ يونيو ٢٠١٨
كيف احسب مساحة المستطيل

الأشكال الرباعية

الشكل الرباعي (بالإنجليزية: Quadrilateral) هو شكل هندسي مضلع يتكون من أربعة رؤوس (نقاط) ناتجة عن تقاطع أربع قطع مستقيمة، في حين أن أي ثلاث نقاط منها لا يمكن أن تقع على الاستقامة نفسها، أما بالنسبة لمجموع زوايا الشكل الرباعي فهي تساوي 360 درجة، ومن الأمثلة على الأشكال الرباعية متوازي الأضلاع، والمربع، والمستطيل، وأيضاً المُعين.[١]


متوازي الأضلاع

ويعرف متوازي الأضلاع (بالإنجليزية: parallelogram) على أنه شكل هندسي رباعي الأضلاع، مُحدّب، وسُمي بمتوازي الأضلاع لأن فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتطابقان، فإذا وجِد شكل رباعي مُحدّب أضلاعه المتقابلة متوازية ومتطابقة وزواياه المتقابلة متساوية في القياس، حيث أن كل زاويتين متتابعتين ومتاليتين متكاملتان (مجموعهما يساوي 180 درجة)، وكانت نقطة تقاطع قطريه (المركز) منصّفة لهذا الشكل فهو بالتأكيد متوازي أضلاع.[١]


المستطيل

وبناءً على ما سبق يُعرف المستطيل (بالإنجليزية:rectangle) على أنه شكل رباعي مغلق ومحدب، فيه أربعة رؤوس، ثلاثة منها ليست على استقامة واحدة، وفيه أيضاً أربعة أضلاع، حيث أن كل زوج من الأضلاع المتقابلة متوازية ومتطابقة في الطول، كما أن كل زاوية من زواياه تساوي 90 درجة، وبالتالي فإن كل زاويتين متقابلتين متطابقتان في القياس. ومن هنا فإن المستطيل إحدى الحالات الخاصة لمتوازي الأضلاع، لأنه طبق جميع شروط متوازي الأضلاع. كما يوجد للمستطيل محورا تماثل، وهما عبارة عن المنصفان العموديان لجوانب المستطيل.[١]


كيف تُحسب مساحة المستطيل

مساحة المستطيل في حال عُلم الطول والعرض

يعد المستطيل رباعي الأضلاع والجوانب، فارتفاعه يمثل أحد أضلاعه، أما مساحته فيتم إيجادها عن طريق ضرب أي جانبين متعامدين من جوانبه ببعضهما البعض، وغالباً ما يُسمّى الجانب الأطول بطول المستطيل، والجانب الأقصر بعرض المستطيل، وبما أن طوله يتعامد مع عرضه فإن مساحة المستطيل عبارةٌ عن حاصل ضرب طوله في عرضه، وبالتالي فإن المعادلة التي يتم عن طريقها إيجاد مساحة المستطيل هي:[٢][١]

مساحة المستطيل= الطول × العرض.

وعادةً ما يكون طول المستطيل وعرضه معلومين، أما إذا لم يكن كذلك فيمكن إيجاده عن طريق قياس أبعاد المستطيل الموجود وذلك باستخدام المسطرة أو الشريط القياسي، حيث يُقاس الطول ويدوّن الناتج جانباً، ثم يُقاس العرض ويدوّن الناتج أيضاً، ومن ثم يتم إيجاد المساحة عن طريق ضرب الناتجين المدونين جانباً ببعضهما البعض، حيث يُعبّر الناتج عن مساحة المستطيل ويُكتب بالوحدات المربعة، فمثلاً لو كان قياس الطول هو 10سم، والعرض هو 2سم، فإن المساحة تساوي حاصل ضرب العدد 10 في العدد2، ويكون حينها الناتج يساوي 20سم مربع، أو 20سم².[٢]


مساحة المستطيل إذا عُلم أحد الأضلاع والقطر

يقوم القطر الواصل بين الزاويتين المتقابلتين بتقسيم المستطيل إلى مثلثين، حيث إن كلاً منهما يمثل مثلثاً قائم الزاوية، ومن هنا فإنه يتم إيجاد طول الضلع المجهول عن طريق نظرية فيثاغورس التي تعمل على إيجاد الضلع الثالث في المثلث القائم الزاوية، وتم التعبير عن هذه النظرية عن طريق المعادلة الآتية:[٢]

(طول الوتر)²= (طول الضلع الأول)² +( طول الضلع الثاني)².

حيث إن الوتر هو عبارة عن الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة، أو أطول ضلع بالمثلث القائم.[٣][٤][٢]


أمثلة توضح كيفية حساب مساحة المستطيل

فيما يأتي بعض الأمثلة التي تبين كيفية إيجاد مساحة المستطيل.

  • مثال1: احسب مساحة مستطيل ما، إذا علمت أن طوله يساوي 1.5سم، وعرضه يساوي 2سم.
الحل:
بما أن الطول معلوم والعرض معلوم، نستخدم قانون مساحة المستطيل.
مساحة المستطيل= الطول× العرض.
يعوّض الطول والعرض بالقانون.
مساحة المستطيل= 1.5× 2
إذن: مساحة المستطيل= 3 سم².
  • مثال2: قاعة مستطيلة الشكل، يراد تبليطها، فإذا علمت أن طول القاعة يساوي 5.5م، وعرضها يساوي 12م، احسب كمية البلاط اللازم لتبليط القاعة.
الحل:
نلاحظ هنا بأن الطول والعرض معلومان، إذن: علينا استخدام قانون مساحة المستطيل = الطول× العرض.
يعوّض الطول والعرض بالقانون.
مساحة القاعة = 5.5 × 12.
مساحة القاعة = 66م².
إذن كمية البلاط اللازم لتبليط الغرفة يساوي 66م².
  • مثال3: لوح زجاجي مستطيل الشكل، فإذا علمت أن طوله يساوي 3 دسم، ومساحته تساوي 12 دسم²، جد عرض اللوح الزجاجي.
الحل:
نلاحظ هنا بأن الطول والمساحة معلومين، إذن:علينا استخدام قانون مساحة المستطيل =الطول× العرض.
نعوّض قيمة الطول والمساحة بالقانون.
مساحة اللوح الزجاجي= الطول×العرض.
12= 3 × العرض.
وبقسمة طرفي المعادلة على العدد 3، ينتج أن:
4 = العرض
إذن عرض اللوح الزجاجي يساوي 4 دسم.
  • مثال4: قطعة قماش مستطيلة الشكل، طولها يساوي 6 سم، وقطرها يساوي 10سم، جد مساحتها.[٢]
الحل:
نلاحظ هنا بأن الطول والقطر معلومين.
أولاً: نستخدم إذن نظرية فيثاغورس لإيجاد عرض قطعة القماش، (يمكن رسم مستطيل ووضع المعطيات عليه لتسهيل الحل).
(طول الوتر)² = (طول الضلع الأول)² +( طول الضلع الثاني)².
نلاحظ بأن طول القطر هو نفسه طول الوتر لأنه الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة في المثلث القائم الزاوية.
(10)² = (6)² +( طول الضلع الثاني)².
(100)= (36) +( طول الضلع الثاني)².
وبطرح العدد 36 من طرفي المعادلة ينتج أن:
36-100 = ( طول الضلع الثاني)².
64=( طول الضلع الثاني)².
وبأخذ الجذر التربيع للطرفين ينتج أن:
طول الضلع الثالث=8.
إذن عرض المستطيل (الضلع المجهول) يساوي 8 سم.
ثانياً:
يتم تطبيق قانون مساحة المستطيل بإيجاد المساحة.
مساحة المستطيل= الطول×العرض.
مساحة المستطيل= 6×8.
مساحة المستطيل= 48سم².
إذن مساحة قطعة القماش تساوي48سم².
  • مثال5: مستطيل طوله يساوي 3سم، وقطره يساوي 5سم، جد مساحته.
الحل:
نلاحظ هنا بأن الطول والقطر معلومان.
أولاً: نستخدام إذن نظرية فيثاغورس لإيجاد عرض المستطيل.
(طول الوتر)²= (طول الضلع الأول)² +( طول الضلع الثاني)².
(5)²= (3)² +( طول الضلع الثاني)².
(25)= (9) +( طول الضلع الثاني)².
وبطرح العدد 9 من طرفي المعادلة ينتج أن:
9-25 = (طول الضلع الثاني)².
16 = (طول الضلع الثاني)².
وبأخذ الجذر التربيع للطرفين ينتج أن:
4= طول الضلع الثالث.
إذن عرض المستطيل (الضلع المجهول) يساوي 4 سم.
ثانياً:
يتم تطبيق قانون مساحة المستطيل بإيجاد المساحة.
مساحة المستطيل= الطول × العرض.
مساحة المستطيل= 3×4.
إذن:مساحة المستطيل= 12سم².


المراجع

  1. ^ أ ب ت ث بواسطة معروف عبدالرحمن سمحان، نجلاد بنت عبدالعزيز التويجري،ليانا توبان، إصدارات موهبة : رياضيات الأولمبياد: الهندسة، صفحة 161-170. بتصرّف.
  2. ^ أ ب ت ث ج "How to Calculate the Area of a Rectangle", www.m.wikihow.com. Edited.
  3. شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم-إدارة المناهج والكتب المدرسيّة، صفحة: 106، 112-113/ملف(102-127)، ملف الاجابات 199-217الجزء الثاني. بتصرّف.
  4. "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 27-12-2017. Edited.