قانون مساحة ومحيط المستطيل

كتابة - آخر تحديث: ٠٨:٣٤ ، ٥ أبريل ٢٠٢٠
قانون مساحة ومحيط المستطيل

نظرة عامة حول محيط ومساحة المستطيل

يمكن تعريف المساحة (بالإنجليزية: Area) بشكل عام بأنها مقدار المنطقة الموجودة داخل الشكل الهندسي ثنائي الأبعاد، أو التي يغطيها هذا الشكل وتُقاس بالوحدات المربعة، أما المحيط (بالإنجليزية: Perimeter) فيعبّر عن مقدار المسافة الكليّة المحيطة بهذا الشكل، وتُقاس بالوحدات الطولية،[١][٢] ولحساب مساحة ومحيط المستطيل قوانين عدة سيتم توضيحها في هذا المقال.


مساحة المستطيل

قانون مساحة المستطيل

يمكن قياس مساحة المستطيل باستخدام قوانين عدة وفق حالات محددة، وذلك كما يأتي:[٣][٤]

  • عند معرفة الطول والعرض، يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون البسيط الآتي:
    • مساحة المستطيل=الطول×العرض، وبالرموز:
    • م=أ×ب، حيث:
    • م: مساحة المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.


  • عند معرفة القطر وأحد الأبعاد، يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون الآتي:[٥]
    • مساحة المستطيل= الطول أو العرض×الجذر التربيعي لـ (مربّع القطر- مربع الطول أو مربع العرض)، وبالرموز:
    • م=أ×(ق²-أ²)√، أو م=ب×(ق²-ب²)√، حيث:
    • م: مساحة المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • ق: قطر المستطيل.


  • عند معرفة أحد أبعاده، ومُحيطه، يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون الآتي:
    • مساحة المستطيل = (المحيط ×الطول- 2× مربع الطول)/2 ، أو مساحة المستطيل = (المحيط×العرض-2×مربع العرض)/2 .
    • وبالرموز: م=(ح×أ-2×أ²)/2=(ح×ب-2×ب²)/2؛ حيث:
      • ح: محيط المستطيل.
      • أ: طول المستطيل.
      • ب: عرض المستطيل.


  • عند معرفة الزاوية الأصغر بين القطرين، وطول القطر، يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون الآتي:
    • مساحة المستطيل= (مربع طول القطر×جا(الزاوية الأصغر المحصورة بين القطرين)/2)، وبالرموز:
    • م=(ق²×جا(α))÷2؛ حيث:
      • ق: طول القطر.
      • α: الزاوية الأصغر المحصورة بين القطرين.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المستطيل يمكنك قراءة المقال الآتي: كيف نحسب مساحة المستطيل.


أمثلة على حساب مساحة المستطيل

  • المثال الأول: احسب مساحة مستطيل طوله 7سم، وعرضه 4 سم.[٣]
    • الحل: وفق القانون: م= الطول×العرض=7×4=28 سم².


  • المثال الثاني: إذا كانت مساحة إطار صورة على شكل مستطيل تُساوي 56سم²، وطوله يُساوي 7سم، فما عرضه.[٣]
    • الحل: وفق القانون: م= الطول×العرض=7×العرض=56سم²، ومنه العرض=8سم.


  • المثال الثالث: إذا كانت قياسات الغرف الصفية لإحدى المدارس كما يأتي:[٣]
الغرفة الصفية الطول (م) العرض (م)
الصف الأول 10 7
الصف الثاني 6 9
الصف الثالث 8 8

جد الغرفة الصفية الأصغر من بينها.

  • الحل:
    • وفق القانون:
    • مساحة الغرفة الصفية الأولى=الطول×العرض=7×10=70م².
    • مساحة الغرفة الصفية الثانية=الطول×العرض=9×6=54م².
    • مساحة الغرفة الصفية الثالثة=الطول×العرض=8×8=64م².
    • وبمقارنة المساحات أعلاه ينتج أن الغرفة الصفية الثانية هي أصغر الغرف الصفية.


  • المثال الرابع: إذا كانت هناك أرضية مستطيلة الشكل طولها 50م، وعرضها 40م، أراد أحمد تغطيتها ببلاط مستطيل الشكل طول كل بلاطة منها 2م، وعرضها 1م، جد عدد البلاط اللازم لتغطية كامل الأرض.[٥]
  • الحل:
    • وفق القانون:
      • مساحة الأرضية=الطول×العرض=50×40=2000م².
      • مساحة البلاطة الواحدة=الطول×العرض=2×1=2م².
      • عدد البلاط اللازم لتغطية الأرض=مساحة الأرضية/مساحة البلاطة الواحدة=2000/2=1000بلاطة.


  • المثال الخامس: إذا كان طول المستطيل (2س+1)، وعرضه (2س-1)، ومساحته 15سم²، جد قياس أبعاده.[٦]
  • الحل:
      • وفق القانون: المساحة=الطول×العرض=(2س+1)×(2س-1)=15، 4س²-1=15، ومنه: س=2سم.
      • تعويض قيمة س لحساب الطول: حيث طول المستطيل: 2س+1= 2×2+1=5سم.
      • تعويض قيمة س لحساب العرض: حيث عرض المستطيل: 2س-1= 2×2-1=3سم.


محيط المستطيل

قانون محيط المستطيل

يُمكن حساب محيط أي شكل هندسي ثنائي الأبعاد من خلال جمع جميع أطوال أضلاعه، وبالتالي فإنَّه يُمكن حساب محيط المستطيل كغيره عن طريق حساب مجموع أطوال أضلاعه، ويمكن التعبير عن محيط المستطيل رياضياً بالمعادلة الآتية:[٧]

  • محيط المستطيل =2×(الطول+العرض)؛ وبالرموز:
  • ح=2×(أ+ب)؛ حيث:
    • ح: محيط المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.


كما يمكن حسابه باستخدام أحد القوانين الآتية:[٤]

  • عند معرفة أحد أبعاده، ومساحته، يمكن حساب محيط المستطيل باستخدام القانون الآتي:
    • من العلاقة الموجودة أعلاه، وهي التي تربط بين مساحة المستطيل ومحيطه، مساحة المستطيل = (المحيط ×الطول- 2× مربع الطول)/2، أو مساحة المستطيل = (المحيط×العرض-2×مربع العرض)/2، يمكن إعادة ترتيبها لتصبح محيط المستطيل = 2×مساحة المستطيل+ 2× مربع الطول)/الطول ، أو مساحة المستطيل = (2×مساحة المستطيل+2×مربع العرض)/العرض ، وبالرموز:
    • ح=(2×م+ 2×أ²)/أ، أو ح=(2×م+ 2×ب²)/ب؛ حيث:
    • ح: محيط المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل


  • عند معرفة طول القطر وأحد أبعاده:
    • محيط المستطيل= 2×(الطول أو العرض+ (مربع القطر-مربع الطول أو مربع العرض)√)، وبالرموز: ح= 2×(أ+(ق²-أ²)√)، أو ح= 2×(ب+(ق²-ب²)√)؛ حيث:
      • أ: طول المستطيل.
      • ب: عرض المستطيل.
      • ق: طول قطر المستطيل.
      • ح: محيط المستطيل.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط المستطيل يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون محيط المستطيل.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول قطر المستطيل يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو قطر المستطيل.


أمثلة على حساب محيط المستطيل

  • المثال الأول: ما محيط المستطيل الذي طوله 7سم، وعرضه 4سم.[٨]
    • الحل: بتطبيق القانون: محيط المستطيل =2×(الطول+العرض)=2×(7+4)=22سم


  • المثال الثاني: مستطيل طوله 12سم، وعرضه 7سم، فما هو محيطه.[٩]
    • الحل: بتطبيق القانون: محيط المستطيل =2×(الطول+العرض)=2×(12+7)=38سم.

مساحة المستطيل = (المحيط ×الطول- 2× مربع الطول)/2


  • المثال الثالث: مستطيل يزيد طوله عن عرضه بمقدار 2سم، وقيمة عرضه 4√سم، جد محيطه.[٩]
    • الحل: بتطبيق القانون: محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)=2×((2+4√)+4√)=2×((2+2)+2)=12سم


  • المثال الرابع: إذا أراد أسامة تسييج حديقته مستطيلة الشكل، والتي يبلغ عرضها 2م، وطولها 4م، وكانت تكلفة السياج تعادل 1.75ديناراً لكل متر طولي، جد تكلفة تسييج الحديقة.[٩]
    • الحل:
      • بتطبيق القانون: محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)=2×(4+2)=12م.
      • تكلفة تسييج الحديقة=تكلفة تسييج المتر الواحد×محيط الحديقة=1.75×12=350دينار.


  • المثال الخامس: مستطيل مساحته 35م²، وطوله 5م، فما هو محيطه.[٩]
    • الحل:
      • بتطبيق القانون : ح=(2×م+ 2×أ²)/أ، ومنه:ح=(2×35+ 2×5²)/5=24سم


  • المثال السادس: مستطيل مساحته 20م²، وطوله 4م، فما هو محيطه.[٩]
    • الحل:
      • بتطبيق القانون : ح=(2×م+ 2×أ²)/أ، ومنه:ح=(2×20+ 2×4²)/4=18سم


  • المثال السابع: مستطيل مساحته 27م²، وطوله 3س، وعرضه س، فما هو محيطه.[٩]
    • الحل:
      • بتطبيق القانون: مساحة المستطيل=الطول×العرض، ينتج أن: 27=3س×س، ومنه: س=3م، وهو العرض لأن العرض=س.
      • تعويض قيمة س لحساب الطول لينتج أن: 3س=3×3=9م.
      • تعويض قيمتي الطول والعرض في قانون: محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)، لينتج أن: محيط المستطيل=2×(9+3)=24م.


لمزيد من المعلومات حول قوانين المستطيل يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو قانون المستطيل.


المراجع

  1. "Area", www.mathsisfun.com, Retrieved 3-3-2020. Edited.
  2. "Perimeter", www.mathsisfun.com, Retrieved 3-3-2020. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث "Area of rectangles review", www.khanacademy.org, Retrieved 4-8-2018. Edited.
  4. ^ أ ب Online M School Staff, "Rectangle. Formulas and Properties of a Rectangle"، www.onlinemschool.com, Retrieved 2016-11-28. Edited.
  5. ^ أ ب "Area of Rectangle", byjus.com, Retrieved 4-3-2020. Edited.
  6. "Perimeter of a Rectangle", www.web-formulas.com, Retrieved 4-3-2020. Edited.
  7. Bogna Haponiuk ,Hanna Pamuła, , "Area of a Rectangle Calculator"، www.omnicalculator.com, Retrieved 4-3-2020. Edited.
  8. "Calculating the area and the perimeter", www.mathplanet.com, Retrieved 5-5-2019. Edited.
  9. ^ أ ب ت ث ج ح "Basic Geometry : How to find the perimeter of a rectangle", www.varsitytutors.com, Retrieved 5-5-2019. Edited.