مساحة متوازي المستطيلات

كتابة - آخر تحديث: ٠٠:١٢ ، ٢٤ أبريل ٢٠١٨
مساحة متوازي المستطيلات

تعريف متوازي المستطيلات

هو مُجسّم هندسي ثلاثي الأبعاد، أي يمتلك ثلاثة أبعاد وهي العرض والطول والارتفاع. ويتكون من ستة أوجه مستطيلة الشكل، أربعة منها أوجه جانبية، أما الوجهان الآخران فهُما عبارة عن قاعدتي هذا المُجسم، وكل زوج من المستطيلات المتقابلة مُتطابِقَة تماماً. كما يتكون متوازي المستطيلات من قطع مستقيمة تسمى الأحرف، وتشكل الأضلاع المكوّنة للمستطيلات؛ حيث تتقاطع هذه الأضلاع عند نقاطٍ يطلق عليها رؤوس متوازي المستطيلات، أمّا قطر متوازي المستطيلات فهو عبارة عن القطعة المستقيمة الواصلة بين كل رأسين غير متجاورين ولا يشتركان بأي من الأوجه، ويتقابلان قطرياً على ارتفاعين مختلفين.[١][٢][٣] وبمعنى آخر فإن متوازي المستطيلات عبارة عن موشور رُباعي قائم (جميع زواياه قائمة)، يتكون من زوج من القواعد المتطابقة والمتوازية.[٤]


ولتلخيص أهم خصائص متوازي المستطيلات فهو كغيره من المجسمات والأشكال الهندسية يمتاز ببعض الصفات التي تخصه دون عن غيره من الأشكال، ومن بعض هذه الخصائص ما يأتي:[٣][٥][٤]

  • يُعد متوازي المستطيلات مجسماً ذا أبعاد ثلاثية، وهي: العرض، والطول، والارتفاع.
  • يتكوّن متوازي المستطيلات من ستة جوانب، كل منها عبارة عن مستطيل، وفيه كلّ جانبين متقابلين متطابقان تماماً.
  • يمكن أن يكون متوازي المستطيلات مكعباً عندما تتساوى أطوال الأضلاع.


مساحة متوازي المستطيلات

يتكوّن متوازي المستطيلات من عدة أوجه، ولحساب مساحته يتوجب علينا حساب مساحة كل وجه ومن ثم حساب مساحات أوجهه كاملة، وبما أن إحدى أهم خصائصه هي أن كل زوج من الجوانب المتقابلة متطابقة؛ فإن المساحة تساوي:[٥][٣]

2 × (مساحة الوجه الأول) + 2 × (مساحة الوجه الثاني) + 2 × (مساحة الوجه الثالث).
أي إن: المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.
أمّا المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع.
علماً بأنّ: مساحة المستطيل= الطول×العرض، ومحيط المستطيل= 2× (الطول+ العرض).[٤]


أمثلة على حساب مساحة متوازي المستطيلات

ومن بعض الأمثلة التي تُوضِّح كيفية إيجاد مساحة متوازي المستطيلات ما يأتي:

  • مثال1: جد مساحة صندوق على شكل متوازي مستطيلات، إذا علمت أنّ فيه طول القاعدة= 9سم، وعرضها= 17سم، وارتفاعها 6سم.[٦]
الحل: أولاً: يتم إيجاد المساحة الجانبية وهي: محيط القاعدة × الارتفاع.
المساحة الجانبية = 2 × (الطول+ العرض) ×الارتفاع.
المساحة الجانبية = 2 × (9+ 17) × 6.
المساحة الجانبية = 2×26×6.
المساحة الجانبية =312سم².
ثانياً: يتم إيجاد المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات وهي: المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= 312 + 2(9×17).
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= 312 + 2(9×17).
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= 312 + 2(153).
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= 312 +306.
إذن: المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= 618 سم².
  • مثال2: أرادت سلمى صناعة صندوق مجوهرات خاصاً بها من الكرتون المقوى، طوله يساوي 60سم، وعرضه 50 سم، أما ارتفاعه فيساوي 40سم، فما هي مساحة الكرتون اللازم لصناعة الصندوق؟[٦]
الحل:
أولاً: يتم إيجاد المساحة الجانبية وهي: محيط القاعدة× الارتفاع.
المساحة الجانبية للصندوق= 2×(الطول+ العرض) ×الارتفاع.
المساحة الجانبية للصندوق = 2×(60+ 50) ×40.
المساحة الجانبية للصندوق= 2×110×40.
إذن: المساحة الجانبية للصندوق= 8800سم².
ثانياً: يتم إيجاد المساحة الكلية للصندوق وهي: المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.
المساحة الكلية للصندوق= 8800 + 2(60×50).
المساحة الكلية للصندوق= 8800 + 2(3000).
المساحة الكلية للصندوق= 8800+6000.
إذن: مساحة الكرتون اللازم لصناعة الصندوق هي 14800سم².
  • مثال3: خزان مياه على شكل متوازي مستطيلات، فيه طول القاعدة يساوي 6م، وعرضها يساوي8م، أما ارتفاع الخزان فيساوي12م، جد مساحة الخزان.[٦]
الحل:
المساحة الكلية لخزان المياه = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.
المساحة الكلية لخزان المياه= 2×(الطول+ العرض) × الارتفاع+ 2×(الطول×العرض).
يتم تعويض قيمة الطول والعرض والارتفاع بالقانون.
المساحة الكلية لخزان المياه= (2×(6+8) ×12)+(2(6×8)).
المساحة الكلية لخزان المياه= (2×14×12)+(2(48)).
المساحة الكلية لخزان المياه= 336+96.
إذن: المساحة الكلية لخزان المياه= 432 م².
  • مثال4: أراد خالد طلاء صندوق خشبي دون غطاء على شكل متوازي مستطيلات أبعاده (الطول، العرض، الارتفاع) على التوالي 4 دسم، 3.5 دسم، 3 دسم، جد مساحة المنطقة التي تم طلاؤها.
الحل: أولاً: يتم إيجاد المساحة الجانبية وهي: محيط القاعدة × الارتفاع.
المساحة الجانبية للصندوق= 2× (الطول+ العرض) × الارتفاع.
المساحة الجانبية للصندوق = 2× (4+ 3.5) × 3.
المساحة الجانبية للصندوق= 2 × 7.5 ×3.
إذن: المساحة الجانبية للصندوق= 45دسم².
ثانياً: يتم إيجاد المساحة الكلية للصندوق وهي: المساحة الجانبية+ مساحة القاعدة الواحدة (لأن الصندوق يخلو من الغطاء وبهذا فإن الصندوق يحتوي على قاعدة سفلية فقط)
المساحة الكلية للصندوق= 45 + (4×3.5).
المساحة الكلية للصندوق=45 + 14.
إذن مساحة المنطقة التي تم طلاؤها هي 59دسم².


حجم متوازي المستطيلات

إن معرفة كيفية حساب حجم متوازي المستطيلات أمر في غاية الأهمية، فهنالك العديد من المجسمات الموجودة حولنا على شكل متوازي المستطيلات، فنحتاج لمعرفة سعة خزان مياه، أو حجم صندوق خشبي، وغيرها من الأمور، وبما أن متوازي المستطيلات عبارة عن مُجسّم فمقدار حجمه هو ناتج ضرب أبعاده الثلاثة (الطول، العرض، الارتفاع ) ببعضها البعض.[٥][٧]حجم متوازي المستطيلات= الطول × العرض× الارتفاع.[٧]


وإن كان موضوع القانون في حجم متوازي المستطيلات هو الطول؛[٦]

فإن: الطول= حجم متوازي المستطيلات/(العرض×الارتفاع).
أما إذا كان موضوع القانون هو العرض، فإن: العرض= حجم متوازي المستطيلات/(الطول×الارتفاع).
أما إذا كان موضوع القانون هو الارتفاع، فإن: الارتفاع= حجم متوازي المستطيلات/(الطول×العرض).


وفيما يأتي مثال يبين كيفية إيجاد حجم متوازي المستطيلات:

  • مثال: عُلبة ألوان على شكل متوازي مستطيلات، طول قاعدتها 2 سم، وعرضها 1.5 سم، أما ارتفاعها فيساوي 3سم، فجد حجمها.
الحل:
حجم متوازي المستطيلات= الطول × العرض× الارتفاع.
حجم متوازي المستطيلات= 2 ×1.5× 3.
إذن: حجم علبة الألوان= 9 سم³.


فيديو عن حجم ومساحة متوازي المستطيلات

للتعرف على هذا المجسم الهندسي تابع الفيديو.[٨]


المراجع

  1. "Space Diagonal", www.mathworld.wolfram.com, Retrieved 31-3-2018. Edited.
  2. "Cuboid", www.mathworld.wolfram.com, Retrieved 9-12-2017. Edited.
  3. ^ أ ب ت رجائي سميح العصار، ‏جواد يونس أبو هليل،‏محمد زهير أبو صبيح (2013)، مدخل إلى أولمبياد ومسابقات الرياضيات (الطبعة الأولى)، الرياض: جامعة الملك فهد للبترول والمعادن عمادة البحث العلمي_ مكتبة العبيكان، صفحة 84-86، جزء الأول. بتصرّف.
  4. ^ أ ب ت شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 130-133ملف128-155، جزء الثاني. بتصرّف.
  5. ^ أ ب ت "What is a Cuboid Shape? - Definition, Area & Properties", www.study.com, Retrieved 9-12-2017. Edited.
  6. ^ أ ب ت ث فدوى الحشاش، أمين المستريحي، محمد عربيات (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف السادس (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 102،103،104 الوحدة الثالثة القياس ملف91-122، جزء الأول. بتصرّف.
  7. ^ أ ب "Cuboids, Rectangular Prisms and Cubes", www.mathsisfun.com, Retrieved 9-12-2017. Edited.
  8. فيديو عن حجم ومساحة متوازي المستطيلات.