ارتفاع المثلث القائم

كتابة - آخر تحديث: ٠٦:٣٢ ، ٢٦ أبريل ٢٠٢٠
ارتفاع المثلث القائم

حساب ارتفاع المثلث القائم

يمكن تعريف ارتفاع المثلث بأنه طول العمود الساقط من إحدى زوايا المثلث وحتى الضلع المقابل لها، ويمتلك كل مثلث عادة ثلاثة ارتفاعات يرتبط كل منها بقاعدة مختلفة،[١] أما بالنسبة للمثلث قائم الزاوية فيتم عادة اعتبار إحدى ساقيه على أنها ارتفاعه، واعتبار الأخرى على أنها القاعدة، حيث يتكون المثلث قائم الزاوية عادة من الوتر وهو الضلع الأطول والمقابل للزاوية القائمة، وساقين أو ضلعين آخرين يحصران بينهما الزاوية القائمة،[٢] إلا أنه وفي بعض الأحيان يتم اعتبار الوتر هو القاعدة، وارتفاع المثلث هو العمود الواصل بين الزاوية القائمة للمثلث، ووتره، وفي هذه الحالة يتم حساب الارتفاع باستخدام العلاقة الآتية:[٣]

  • ارتفاع المثلث قائم الزاوية = طول الساق الأولى للمثلث×طول الساق الثانية للمثلث/الوتر.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون المثلث قائم الزاوية.


باستخدام المساحة

في بعض الأحيان تكون مساحة المثلث، وقاعدته معروفة، أما ارتفاعه فهو غير معروف، وبالتالي يمكن الحصول على الارتفاع من خلال إعادة ترتيب قانون مساحة المثلث، وذلك كما يلي: مساحة المثلث= 2/1×طول القاعدة×الارتفاع، وبالتالي فإن ارتفاع المثلث يساوي:[٤]

  • ارتفاع المثلث= (2×مساحة المثلث)/طول القاعدة.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة المثلث قائم الزاوية.


باستخدام نظرية فيثاغورس

يمكن استخدام نظرية فيثاغورس عند معرفة طول الوتر والقاعدة لمعرفة ارتفاع المثلث القائم، في حال اعتبار إحدى الساقين هي الارتفاع، والتي تنص على أن: مربع الوتر= مربع الضلع الأول (القاعدة)+مربع الضلع الثاني (الارتفاع)، وذلك كما في المثال الآتي:[١]

  • مثال: مثلث قائم أب جـ طول قاعدته 12سم، والوتر فيه 24 سم، فما هو ارتفاعه؟[١]
    • الحل: بالتعويض في نظرية فيثاغورس ينتج أن: 24² = 12²+ الارتفاع²، ومنه: 576 = 144+ الارتفاع²، ومنه: الارتفاع²= 432، وباخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: الارتفاع= 20.78سم.


لمزيد من المعلومات حول نظرية فيثاغورس يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون نظرية فيثاغورس.


باستخدام النسب المثلثية

يمكن حساب ارتفاع المثلث القائم الزاوية أيضاً باستخدام النسب المثلثية، وهي جيب، وجيب تمام الزاوية، وظلها، وذلك في حال معرفة قياس إحدى زواياه وطول القاعدة، أو طول الوتر، وذلك عند اعتبار إحدى الساقين هي الارتفاع؛ حيث إن:[٥]

  • جيب الزاوية (جا)= الضلع المقابل للزاوية/الوتر.
  • جيب تمام الزاوية (جتا)= الضلع المجاور للزاوية/الوتر.
  • ظل الزاوية (ظا)= الضلع المقابل للزاوية/الضلع المجاور للزاوية.


أمثلة متنوعة على إيجاد ارتفاع المثلث القائم

  • المثال الأول: إذا كانت مساحة المثلث القائم 45م2، وطول قاعدته 10م، فما هو ارتفاعه؟[٦]
    • الحل: بالتعويض في القانون: ارتفاع المثلث= (2×مساحة المثلث)/طول القاعدة = (2×45)/10= 9 م.


  • المثال الثاني: مثلث قائم طول قاعدته 8سم، ومساحته 24سم2، فما هو ارتفاعه؟[٧]
    • الحل: بالتعويض في القانون: ارتفاع المثلث= (2×مساحة المثلث)/طول القاعدة = (2×24)/8= 6 سم.


  • المثال الثالث: مثلث قائم مساحته 10سم، وطول قاعدته 5سم، فما هو ارتفاعه؟[٦]
    • الحل: بالتعويض في القانون: ارتفاع المثلث= (2×مساحة المثلث)/طول القاعدة = (2×10)/5= 4 سم.


  • المثال الرابع: وقف أحمد على بعد 30 دسم من قاعدة إحدى الأشجار، وكانت الزاوية المحصورة بين الخط الممتد من قدميه نحو قمة الشجرة، والخط الواصل بين قدميه وقاعدة الشجرة هو 57 درجة، جد ارتفاع هذه الشجرة.[٥]
    • الحل:
    • تصنع الشجرة مثلثاً قائم الزاوية مع أحمد وتره هو الخط الممتد من قدمي أحمد نحو قمة الشجرة، وارتفاعه هو ارتفاع الشجرة، أما طول قاعدته فهو طول الخط الممتد من قدمي أحمد نحو قاعدة الشجرة، وعليه يمكن حساب ارتفاع المثلث باستخدام قانون جيب تمام الزاوية وهو: جتا الزاوية= الضلع المجاور للزاوية/الوتر، وعليه:
      • جتا (57) = الخط الواصل بين قدمي أحمد وقاعدة الشجرة/ارتفاع الشجرة = 30/ارتفاع الشجرة، ومنه: ارتفاع الشجرة= 55.05 دسم.


  • المثال الخامس: إذا تم استخدام سلم بطول 6م للوصول إلى إحدى النوافذ في أحد المباني، وكانت الزاوية المحصورة بين السلم والأرض 60 درجة، جد ارتفاع النافذة عن سطح الأرض.[٨]
    • الحل:
    • تصنع النافذة مع السلم مثلثاً قائم الزاوية وتره هو السلم، أما الخط الممتد من قاعدة السلم نحو النافذة فهو القاعدة، وارتفاعه هو ارتفاع النافذة عن سطح الأرض، وعليه يمكن حساب ارتفاع النافذة عن سطح الأرض باستخدام قانون جيب الزاوية وهو: جا الزاوية= الضلع المقابل للزاوية/الوتر، وعليه:
      • جا (60) = ارتفاع النافذة عن سطح الأرض/طول السلم = ارتفاع النافذة عن سطح الأرض/6، ومنه: ارتفاع النافذة عن سطح الأرض= 5.2م.


  • المثال السادس: إذا كان طول الوتر في المثلث قائم الزاوية هو 5سم، وطول إحدى الساقين 3سم، جد ارتفاع المثلث الواصل بين الزاوية القائمة، والوتر.
    • الحل:
    • بالتعويض في القانون: ارتفاع المثلث= طول الساق الأولى للمثلث×طول الساق الثانية للمثلث/الوتر ينتج أن: ارتفاع المثلث= 3×طول الساق الثانية للمثلث/5، ولحساب طول الساق الثانية يجب التعويض في قانون فيثاغورس لينتج أن:
    • مربع الوتر= مربع الضلع الأول+مربع الضلع الثاني ، 5²= 3²+مربع الضلع الثاني، ومنه: الضلع الثاني= 4سم.
    • تعويض القيمة السابقة في القانون: ارتفاع المثلث= 3×4/5 = 3.75 سم.


  • المثال السابع: إذا كان ارتفاع مثلث قائم يقل بمقدار 7سم عن طول قاعدته، وكان طول وتره 13سم، جد قيمة ارتفاعه.[٩]
    • الحل:
    • اعتبار الارتفاع هو س، وطول القاعدة هو س+7، بالتعويض في القانون: مربع الوتر= مربع الضلع الأول+مربع الضلع الثاني ينتج أن: 13² = س²+ (س+7)²، ومنه: 169 = س²+ (س²+14س+49)، 2س²+14س-120=0، وبحل المعادلة التربيعية ينتج أن: س= 5سم، وهي قيمة الارتفاع.


  • المثال الثامن: إذا كان ارتفاع مثلث قائم يزيد بمقدار 8سم عن ضعف طول قاعدته، وكانت مساحته 96سم²، جد قيمة ارتفاعه.[١٠]
    • الحل:
    • اعتبار طول القاعدة هو س، والارتفاع هو: 8+2س، وبالتعويض في قانون: ارتفاع المثلث= (2×مساحة المثلث)/طول القاعدة، ينتج أن: 8+2س = (2×96)/س، وبضرب طرفي المعادلة في (س) ينتج أن: 8س+2س²= (96×2)، وبقسمة المعادلة على (2) ينتج أن: س²+4س-96=0، وبحل المعادلة التربيعية ينتج أن: س= 8سم، وهي قيمة طول القاعدة، أما الارتفاع فهو: 8+2س = 8+2×8 = 24سم.


لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حساب محيط المثلث القائم.


المراجع

  1. ^ أ ب ت "How to Find the Height of a Triangle", tutors.com, Retrieved 30-5-2019. Edited.
  2. Jon Zamboni (30-4-2018), "How to Find the Base of a Right Triangle"، sciencing.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.
  3. "Triangle Equations Formulas Calculator", www.ajdesigner.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.
  4. "How to Find the Height of a Triangle", sciencing.com, Retrieved 30-5-2019. Edited.
  5. ^ أ ب "Right Triangle Trigonometry", courses.lumenlearning.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.
  6. ^ أ ب "Basic Geometry : How to find the height of a right triangle", www.varsitytutors.com, Retrieved 30-5-2019. Edited.
  7. " Calculating the height of a right triangle", www.varsitytutors.com, Retrieved 30-5-2019. Edited.
  8. "Right-Triangle Word Problems", www.purplemath.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.
  9. " height of right triangle", brainly.in, Retrieved 26-4-2020. Edited.
  10. "A right triangle has a height 8 cm more than twice the length of the base.", www.slader.com, Retrieved 26-4-2020.