شرح نظرية فيثاغورس

كتابة - آخر تحديث: ٠٤:٣٥ ، ٢٥ أبريل ٢٠١٨
شرح نظرية فيثاغورس

فيثاغورس

وُلِدَ العالم فيثاغورس في جزيرة ساموس (بالإنجليزية: Samos) التي تقع قُبالة شواطئ الأناضول، وكان ذلك في سنة 560 قبل الميلاد، ويُعدّ فيثاغورس من أهم الفلاسفة الذين قَدِموا بعد الفيلسوف اليوناني الشهير سقراط، وقد أدرك فيثاغورس الأهمية البالغة لعلم الرياضيات، كما وأنّه استطاع الوصول للمثلث الحسابي، وجاء ذلك بعد قيام فيثاغورس بالتنقل بين الحضارات القديمة وهو في ريعان شبابه، ومن هذه الحضارات: الحضارة المصرية والحضارة البابلية؛ حيثُ تعرّف من خلال تجواله على كيفية دراسة تراث هذه الحضارات للأعداد، وبعد جولاته العدة قرر العودة لـ (كروتونا Crotona) في إيطاليا والاستقرار فيها؛ حيثُ أسس فيها مدرسته الخاصة الفلسفية التي تتناول مواضيع عدة؛ كدراسة الأعداد والأشكال الهندسية، ووضع النظريات، وأهمها نظريته الشهيرة (نظرية فيثاغورس) التي تركت بصمة واضحة في علم المثلثات؛ حيثُ ساعدت هذه النظرية على حل المثلثات من خلال إيجاد الضلع الثالث في المثلث القائم الزاوية، وعُبّر عن هذه النظرية بالمعادلة التالية: (طول الوتر)²= (طول الضلع الأول)² +( طول الضلع الثاني)²، أما عن وفاة فيثاغورس، فكان ذلك في سنة 480 قبل الميلاد.[١][٢][٣]


شرح نظرية فيثاغورس

إنّ ما يُميّز المثلث القائم الزاوية عن غيره من المثلثات الأخرى هو وجود زاوية قائمة قياسها 90 درجة، ويمكن تعريفه أيضاً على أنّه المثلث الذي فيه مربع طول أحد جوانبه مساوٍ تماماً لمجموع مربعي الجانبين الآخرين، ويُطلق مُسمّى الوتر على أطوال جوانب المثلث القائم، (وبمعنى آخر الوتر: هو الجانب الذي يُقابل الزاوية القائمة).[٣][٤]


ومن الأمثلة التي توضح كيفية استخدام نظرية فيثاغورس للمثلث القائم ما يلي:

  • مثال1: إذا علمت أن أطوال الجوانب التالية تُمثل أطوال جوانب مثلث وهي 8سم، 15سم، 17سم، فهل المثلث قائم الزاوية؟[٣]
الحل:
لا يوجد معلومة في السؤال تبين وجود زاوية قياسها 90 درجة، لذلك نلجأ لنظرية فيثاغورس وهي (مربع طول أحد جوانب المثلث (الوتر) مساوٍ تماماً لمجموع مربعي الجانبين الآخرين).
(17)²=289، (15)²=225، (18)²=64.
289= 225+ 64.
إذن المثلث قائم الزاوية.
  • مثال2: أ ب ج مثلث قائم الزاوية في ب، فيه أ ب=1سم، ب ج=1سم، جد طول الضلع أ ج؟[٣]
الحل:
من خلال الرسم التقريبي للمثلث وتسمية رؤوسه، نلاحظ بأنّ الضلع أج يُقابل الزاوية القائمة ب وبالتالي فإن أ ج هو الوتر، وبناءً عليه فإنّ:
(أ ج)²= (أ ب)² +( ب ج)².
(أ ج)²= (1)² +(1)².
(أ ج)²= 2
وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، تُصبِح النتيجة:
طول أج يساوي الجذر التربيعي للعدد 2، ويساوي تقريباً 1.41421
  • مثال3: المثلّث س ص ع قائم الزاوية في ص، فيه طول الضلع ص ع يساوي 12م، وطول الضلع س ص يساوي 5م، جد طول الضّلع س ع.[٥]
الحلّ: بما أنّ المثلّث قائم الزاوية عند ب، فإنّ الضلع المقابل لها هو أ ج؛ وهو الوتر، وحتّى نجد طول هذا الضّلع نتّبع الخطوات الآتية:
نُطبّق نظريّة فيثاغورس، وهي:
(طول الوتر)²= (طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)²
نعوّض طول الضلعين س ص، ص ع، لإيجاد الوتر:
(طول الوتر)²=(5)²+(12)²
(طول الوتر)²=25+144
(طول الوتر)²=169، وبأخذ الجذر التربيعيّ لكلا الطّرفين، تصبح النتيجة:
طول الضلع س ع=13م.
  • مثال4: أ ب ج مثلّث قائم الزاوية عند ب، فيه طول الضلع أ ب 3دسم، وطول الضلع ب ج 4دسم، جد طول الوتر.
الحلّ:
نطبّق نظريّة فيثاغورس، وهي:
(طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)².
نعوّض طول الضلعين أ ب، وطول ب ج، لإيجاد الوتر.
(الوتر)²=(3)²+(4)².
(الوتر)²=9+16.
(الوتر)²=25
وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، يَنتُج أنّ:
طول طول الوتر=5دسم.
  • مثال5: مثلّث قائم الزاوية، فيه طول الضلع الأول يساوي 12سم، وطول الوتر يساوي 15سم، جد طول الضلع المجهول.[٥]
الحلّ: نعوّض أطوال الأضلاع المعطاة في نظرية فيثاغورس.
نظريّة فيثاغورس: (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)².
نعوّض قيمة الوتر والضّلع الأول في القانون
(15)²=(12)²+(طول الضلع الثاني)²
225=144+(طول الضلع الثاني)²
بطرح العدد 144 من الطرفين، تُصبح المعادلة:
81=(طول الضلع الثاني)²
وبأخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، تكون النتيجة:
طول الضلع الثاني= 9سم.


الهندسة

تُعتبر الهندسة والجبر إحدى أهم أفرع علم الرياضيات التي ترتبط فيما بينها بشكل متين؛ إذ إنّ علم الهندسة يُطبّق علم الجبر؛ وذلك لمواكبة الحياة العملية التي يتوجّب فيها وجود مثل هذه العلاقات الرياضية، وتُعدّ الحضارة البابلية من أهم الحضارات التي كان لها تأثير كبير في علم الهندسة، فقد استطاع البابليون بحضارتهم وتاريخهم العريق معرفة بعض ميزات الأشكال والمجسمات الهندسية؛ كحجوم المخاريط ومتوازيات المستطيلات، وغيرها من المجسمات، كما وأنهم استطاعوا حساب مساحة ومحيط الشكل الدائري، ولم تتوقف اكتشافاتهم إلى هذا الحد بل فاقت ذلك؛ حيث أظهرت بعض النصوص القديمة في ذاك الوقت مسائل تبين استخدامهم لنظرية فيثاغورس قبل زمن فيثاغورس بكثير، ومن هذه المسائل (باب مستطيل طوله 40 وعرضه 10 فما هو قطره)، وكذلك مسألة أخرى تتحدّث عن (حقل على شكل شبه منحرف يُطلَب فيه إيجاد المساحة بعد إيجاد الارتفاع المطلوب)، كما وأنه تم اكتشاف مسألة هندسية جبرية؛ حيث كان مضمون هذه المسألة هو التعرُّف على ميزات المثلث القائم الزاوية (نظرية فيثاغورس)، وتشابه المثلثات (نظرية إقليدس)، وكان ذلك في سنة 2000 قبل الميلاد، وهذا يعني أن تاريخ هذه المسألة قبل فترة إقليدس بـ 1700 سنة.[٦]


المراجع

  1. الكتور أيوب أبو دية (-)، رحلة في تاريخ العلم: كيف تطورت فكرة لاتناه العالم؟ (الطبعة الأولى)، الفارابي، صفحة 1519-1540، جزء الأول. بتصرّف.
  2. الدكتورة مرفت عبد الناصر (-)، موسوعة تاريخ الأفكار: الجزء الأول (الطبعة الأولى)، القاهرة: نهظة مصر، صفحة 1-7، جزء الأول. بتصرّف.
  3. ^ أ ب ت ث شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم-إدارة المناهج والكتب المدرسيّة، صفحة: 106، 112-113/ملف(102-127)، ملف الاجابات 199-217الجزء الثاني. بتصرّف.
  4. "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 27-12-2017. Edited.
  5. ^ أ ب "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 6-12-2017. Edited.
  6. برهان الدين دلو (2014)، حضارة مصر و العراق : التاريخ الاقتصادي و الاجتماعي و الثقافي و السياسي (الطبعة الثانية)، بيروت: دار الفرابي، صفحة 208-209، جزء .. بتصرّف.