ما هي نظرية فيثاغورس

بواسطة: - آخر تحديث: ٠٧:٤٤ ، ٨ أغسطس ٢٠١٨
ما هي نظرية فيثاغورس

فيثاغورس

وُلِد العالم الرياضي العظيم فيثاغورس في سنة 480ق.م في جزيرة بساموس (بالإنجليزيّة: Samos)؛ وتقع هذه الجزيرة مقابل شواطئ الأناضول. يُعدّ فيثاغورس من أهم الفلاسفة الذين عاشوا قبل سقراط، وقد سافر فيثاغورس وهو في ريعان شبابه إلى العديد من البلدان، حيث زار مصر وبابل؛ لطلب المعرفة والعلم، والاطلاع على تراث هذه الدول وما يتعلق بالأعداد، ثم استقر به الحال في إيطاليا وتحديداً في كروتونا (بالإنجليزيّة: Crotona)، حيث أنشأ فيها مدرسته الفلسفية، التي عمل من خلالها على دراسة الأعداد والأشكال الهندسية وإثبات النظريات بشكل منطقي عن طريق البديهيات والمُسلّمات، ولكن أدى اكتشاف الأعداد غير العقلانية (غير المنتهية) إلى تعرقل مسيرة المشروع الفيثاغوري وتسبب بحدوث إشكاليات، لكنّ الفيثاغوريّين أبقوها مدفونةً فيما بينهم إلى أن قدِم أحد الأعضاء وهو هيباسيوس (بالإنجليزيّة: Hippasus) وكشفها، وما كان منهم إلا أن أسقطوه من السفينة ليموت في البحر الأبيض المتوسط غرقاً. وأدى اكتشاف هذه السر إلى نشأة الهندسة عند الإغريقيين؛ حيث تتعامل الهندسة مع المسطحات المستوية والخطوط المستقيمة والزوايا التي تعبر جميعها عن الاتصالية إلى مالانهاية.[١][٢]


أما وفاة العالم والفيلسوف الكبير فيثاغورس فكانت في عام 560ق.م، بعد أن قدّم للبشرية العديد من الإنجازات المهمة التي ما زالت تُدرَّس حتّى وقتنا الحالي، وكان لها دور كبير في تطور الرياضيات، مثل نظرية فيثاغورس التي تركت أثراً واضحاً في عالم المثلثات، كما أدرك أهمية الرياضيات وفوائدها، وقيمة الأعداد، بالإضافة إلى توصّله إلى مفهوم المثلث الحسابي.[١][٢]


نظرية فيثاغورس

لقد قُدّمت دراسات وأبحاث عديدة قبل ما يقارب ألفَي عام حول علم المثلّثات أدت إلى اكتشاف إحدى أهمّ النظريات في علم الرياضيات وهي نظريّة فيثاغورس، حيث يمكن من خلال استخدامها حساب الضلع الثالث في المثلّث القائم الزاوية، وذلك عن طريق تربيع الجانب المقابل للزاوية القائمة المُسمّى بالوتر، ومن ثمّ مساواته بمجموع مربّعَي الجانبين المتبقّيين، ويُعبَّر عن نظريّة فيثاغورس بالصيغة الآتية: مربع طول الوتر يساوي مجموع مربّعي ضلعي القائمة ، أي الضلعين الآخرين المجاورين للزاوية القائمة، وبصورة أخرى:[٣][٤]

(طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)²


ويُعرَّف المثلّث قائم الزاوية على أنه المثلث الذي إحدى زواياه قائمة؛ أي قياسها 90°،[٥] وبصورة أخرى يكون المثلّث قائم الزاوية إذا إذا كان مجموع مربّعَي أيّ جانبين في المثلّث مساوياً لمربّع طول الجانب الثالث،[٣] حيث يُسمى أطول جوانب المثلّث القائم الزاوية بالوتر. [٤]


أمثلة على نظرية فيثاغورس

فيما يأتي بعض الأمثلة التي توضّح كيفيّة إيجاد طول الضلع الثالث بتطبيق نظريّة فيثاغورس:[٤]

  • مثال (1): المثلّث أ ب ج قائم الزاوية في ب، فيه طول الضلع ب ج يساوي 12سم، وطول الضّلع أج 13سم، جد طول الضلع أ ب.
الحلّ: بما أنّ المثلّث قائم الزاوية عند الزاوية ب، نحدد الوتر والضلعين الآخريين ومن ثم نطبق نظرية فيثاغورس، كالتالي:
أ ج هو الضلع المقابل للزاوية القائمة ويساوي13سم، أما طول الضلع المجهول فهو أ ب.
نطبق نظريّة فيثاغورس، وهي:
(طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)².
نعوّض قِيمة الوتر والضلع الأول لإيجاد طول أ ب:
(13)²=(12)²+(أ ب)²
169=144+ (أ ب)²، وبطرح العدد 144 من طّرفي المعادلة، ينتج أن:
25= (أ ب)²، وبأخذ الجذر التربيعيّ لكلا الطّرفين، تصبح النتيجة:
طول الضلع أ ب=5سم.
  • مثال (2): مثلّث قائم الزاوية، فيه طول الضلع الأول يساوي 9سم، وطول الضلع الثاني يساوي 12سم، جد طول الوتر.
الحلّ: نعوض أطوال الأضلاع، لإيجاد طول الوتر.
نظريّة فيثاغورس: (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)².
نعوّض قيمتي الضّلع الأول والثاني في القانون
(الوتر)²=(9)²+(12)²
(الوتر)²=(81)+(144).
(الوتر)²=225، وبأخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، تصبح النتيجة:
طول الوتر=15سم.
  • مثال (3): نافذة مربعة الشكل، طول إحدى جوانبها يساوي متر واحد، جد طول قطر المربع.
الحلّ: بما أن الشكل مربع، بالتالي فإن جميع أطوال أضلاعه متساوية، قياس كل منها 1م، ولإيجاد طول القطر، نطبق نظرية فيثاغورس، مع العلم أن القطر يقسم المربع إلى مثلثين قائمين ومتطابقين وهو مقاالضلع المقابل للزاوية القائمة وبهذا فهو يمثل الوتر.
نظريّة فيثاغورس: (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)².
نعوّض قيمتي الجانب الأول والثاني في القانون.
(الوتر)²=(1)²+(1)².
(الوتر)²=2. وبأخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، تصبح النتيجة:
(الوتر)=الجذر التربيعي للعدد2، أوالوتر= 2½.
طول الوتر= 1.41421356م.
  • مثال (4): بناءً على نظرية فيثاغورس، بين إذا كانت الأطوال التالية: 24,26,10سم تمثل أطوال مثلث قائم الزاوية.
الحلّ: يتم تحديد الوتر من الضلعين الآخرين، أطول ضلع هنا طوله 26سم، وبهذا فهو الوتر.
نطبق نظرية فيثاغورس، فإذا تساوى الطرف الأيمن مع الأيسر فهذا يعني أن هذه الأطوال تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية، أما إذا لم يتساوى الطرفين فالأطوال لا تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم.
(طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)².
نعوّض القيم الموجودة.
(26)² هل تساوي (24)²+(10)²؟
(26)² هل تساوي (576+100)؟
676 هل تساوي (576+100)؟
676=676.
إذن المثلث قائم الزاوية.


المراجع

  1. ^ أ ب د. أيوب أبو دية، رحلة في تاريخ العلم: كيف تطورت فكرة لاتناه العالم؟ (الطبعة الأولى)، الفارابي، صفحة: 1518-1520، الجزء الأول. بتصرّف.
  2. ^ أ ب د. مرفت عبد الناصر، موسوعة تاريخ الأفكار: الجزء الأول (الطبعة الأولى)، القاهرة: نهضة مصر، صفحة: 71، الجزء الأول. بتصرّف.
  3. ^ أ ب شادية غرايبة، ومعن المومني، وياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم-إدارة المناهج والكتب المدرسيّة، صفحة: 106، 112-113/ملف(102-127)، الجزء الثاني. بتصرّف.
  4. ^ أ ب ت "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 6-12-2017. Edited.
  5. "Triangles", www.mathsisfun.com, Retrieved 5-6-2018. Edited.